Produtos Notáveis : exercícios com gabarito e teoria

Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

Exemplos :

1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²


Exercícios

1) Calcule

a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)
b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²)
h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)
i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²)
j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²)
l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²)
m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²)
n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25)
o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²)
p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²)
q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1)
r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9]
s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²]
t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²]
u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4)
v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4)
x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4]

QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²

2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²

Exercícios

2) Calcule

a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)
b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)
c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)
e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)
f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)
h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)
i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1)
j) (x² - 1)² =  (R: x⁴ - 2x² + 1)                        
l) (9x² - 1)² = (R:  81x⁴- 18x² + 1)
m) (x³ - 2)² = (R:  x⁶ - 4x³ + 4)
n)  (x – 5y³)² = (R :x² - 10xy³ +25x⁶ )
o) (1 - mx)² = (R: 1 -2mx +m²x²)
p) (3x + 5)² = ( R :9x² + 30 x + 25)

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS




conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²

EXERCÍCIOS

3) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²)
b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : y² - 49)
c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 )
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16)
g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² )
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² )
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² )
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) = (R: 1 - 49x⁴)
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) = ( R: 9x² - 16)
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) = (R: 9x⁴ - y⁴)
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) = ( R : x² - 1/4)
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) = ( R: x² - 4/6)
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) = (R: x²/16 - 4/9)

4) Desenvolva os seguintes produtos notáveis abaixo:

a) (2a+3)² = (R: 4a² + 12a + 9)

b) (2 + 9x)² = ( R: 4 + 36x + 81x² )

c) (6x - y)² = (R: 36 x² - 12xy + y²)

d) (a - 2b)² = (R: a² - 4ab+ 4b²)

e) (7a +1) (7a - 1) = (R: 49 a² -1)

f) (10a - bc) (10a + bc) = (R:100a² - b²c²)

g) (x² + 2a)² = (R: x⁴ + 4x²a + 4a²)

h) (x - 5) (x + 5) = (R: x² - 25)

i) (9y + 4 ) (9y - 4) = (R:81y² -16)

j) (m - n)² = (R: m² - 2mn + n²)

5) Sabendo que x² + y² = 153 e que xy = 36, calcule o valor de (x+y)².

(R: 235)

6) Qual o valor numérico da expressão (a - 2b)², sabendo-se que a² + 4b² = 30 e ab = 5. 

(R: 10)

7) Simplifique as expressões:

a) (x+y)²–x²-y²

(x+y)²–x²-y²  =  x²+2xy+y²–x²-y²   =  2xy

b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)

(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)  =  x²+(2+(-7))x+2.(-7) + x²+(-5+3)x+3.(-5)  = 

x²-5x-14+ x²-2x-15  =  2x²-7x-29

c) (2x-y)²-4x(x-y)

(2x-y)²-4x(x-y)  =  (2x)²-2.2x.y+y²-4x²+4xy  =  4x²-4xy+y²-4x²+4xy =  y²

8) Desenvolva:

a) (3x+y)²

(3x+y)² = (3x)²+2.3x.y+y² = 9x²+6xy+y²

b) ((1/2)+x²)²

((1/2)+x²)² = (1/2)²+2.(1/2).x²+(x²)² = (1/4) +x²+x⁴

c) ((2x/3)+4y³)²

((2x/3)+4y³)² = (2x/3)²-2.(2x/3).4y³+(4y³)²= (4/9)x²-(16/3)xy³+16y⁶

d) (2x+3y)³

(2x+3y)³ = (2x)³+3.(2x)².3y+3.2x.(3y)²+(3y)³ = 8x³+36x²y+54xy²+27y³

e) (x⁴+(1/x²))³

(x⁴+(1/x²))³ = (x⁴)³+3.(x⁴)².(1/x²)+3.x⁴.(1/x²)²+(1/x²)³ = x¹²+3x⁶+3+(1/x⁶)

f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)

(2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)²-(4y/5)² = (4/9)x²-(16/25)y² 

9) Se  x - y = 7 e xy = 60, então o valor da expressão x² + y² é:

a) 53

b) 109

c) 169

d) 420

Solução:

Do problema, temos a seguinte equação x - y = 7, a princípio não está muito claro o valor de x² + y², mas vamos traçar uma estratégia para resolução da questão:

Na equação x - y = 7, vamos elevar os dois membros ao quadrado, ficando assim:

(x - y)² = 7², desenvolvendo temos:

x² - 2xy + y² = 49, veja que já apareceram o x² e y², arrumando 

x² + y² = 49 + 2xy, mas xy = 60 e daí

x² + y² = 49 + 2.60, resolvendo:

x² + y² = 49 + 120, logo x² + y² = 169.

Utilizamos a estratégia de elevar os dois membros da equação ao quadrado - podemos fazer isto, desde que façamos em ambos os membros - e logo apareceu x² + y².

10)A expressão (x - y)² - (x + y)² é equivalente a:

a) 0

b) 2y²

c) -2y³

d) -4xy

Solução:

Primeiro vamos desenvolver os binômios separadamente:

(x - y)² - (x + y)² 

(x-y)² = x² - 2xy + y² e (x + y)² = x² + 2xy + y²

Após desenvolver, voltamos para a expressão e substituímos:

(x - y)² - (x + y)² =  x² - 2xy + y² - (x² + 2xy + y²) = x² - 2xy + y² - x² - 2xy - y² = 

x² - x² - 2xy - 2xy + y² - y² = -2xy - 2xy = - 4xy

Logo, (x - y)² - (x + y)² = - 4xy

11) (TRT-2011) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu:

- O número de processos que arquivei é igual a  (12,25)^2-(10,25)^2

Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que:

a)38 < X < 42.                                                                                                                                     

b) X > 42.                                                                                                                                            

c) X < 20.                                                                                                                                       

d)20 < X < 30.                                                                                                                                

e)30 < X < 38

Solução:

Temos que o produto da soma pela diferença de dois termos pode ser vista como:

12) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = 
b) (y – 7 ) . (y + 7) =
c) (x + 3) . (x – 3) =
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = 
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) =
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) =
g) (3x + y ) (3x – y) =
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = 
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) =
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = 
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) =

13) Desenvolva:

a) ( x + y)³ = 
b) (x – y)³ = 
c) (m + 3)³ =
d) (a – 1 )³ = 
e) ( 5 – x)³ =

14) Calcule o valor numérico de 

110M, sabendo que M+2=a2b2+b2a2+2−−−−−−−−−−−√, a=0,998 e b=1.

a) 249.500
b) 24950
c) 2495
d) 249,5
e) 24,49

15) A expressão (a + b + c)² é igual a

a) a² + 2ab + b² + c²
b) a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
c) a² + b² + c² + 2abc
d) a² + b² + c² + 4abc
e) a² + 2ab + b² + 2bc + c²

16) (FEI 95)Simplificando a expressão, (imagem abaixo)  obtemos:

a) a + b
b) a² + b²
c) ab
d) a² + ab + b²
e) b - a

17) Seja N o resultado da operação 375²-374². A soma dos algarismos de N é:

a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22

18) Efetuando-se (579865)² - (579863)², obtém-se

a) 4
b) 2 319 456
c) 2 319 448
d) 2 086 246
e) 1 159 728

19) O produto (x + 1)(x² - x +1) é igual a:

a) x³-1
b) x³ + 3x² - 3x + 1
c) x³ + 1
d) x³ - 3x² + 3x - 1
e) x² + 2

Gabarito:

12) a) (R : x² - y²)  b) ( R : y² - 49)  c) ( R: x² - 9)  d) ( R: 4x² - 25)  e) ( R: 9x² - 4 )   

f) ( R: 25x² - 16) g)  (R: 9x² - y² )  h) ( R: 1 - 25x² )  i)  ( R: 4x² - 9y² )   j)  (R: 49 - 36x²)  l) (R: 1 - 49x⁴)

13) a) (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³)   b)  (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³)  c)  ( R: m³ + 9m² + 27m +27)

d) (R: a³ - 3a² + 3a -1)   e) (R: 125 - 75x + 15x² -x³)

14) B

15) B
16) D
17) C
18) B
19) C

Equações fracionárias: exercícios resolvidos e teoria

São relações de igualdade entre duas expressões algébricas (aquelas que contêm letras e números) que apresentam frações em algum dos seus membros, como em:

                                                

A incógnita (o valor a ser descoberto) pode aparecer tanto no numerador quanto no denominador. Para resolver essas operações, é essencial determinar as condições de existência, isto é, descobrir quais valores proibidos para x a fim de que ele não anule o denominador e gere uma divisão por zero (impossível de solucionar). Feito isso, define-se o mínimo múltiplo comum entre os denominadores para então concluir os cálculos.

Exemplo 1 comentado:

Exemplo 2

Exemplo 3

Sempre que resolver uma equação desse modelo, fique atento aos sinais existentes e ao jogo de sinal em algumas multiplicações. Ao trocar um elemento de membro, não se esqueça de inverter o sinal. Veja mais exemplos resolvidos detalhadamente:

Exemplo 4

Exemplo 5

EXERCÍCIOS

1- Resolva as equações fracionárias:

Resolução:

Mais exercícios: 1) Calcule x:

Exercícios de Razão e Proporção

RAZÕES

1) Qual é a razão:
a) de 18 para 6
b) de 3 para 9
c) de 2 para 1
2) Calcule a razão do 1º número para o segundo número, em cada item:
a) 1,25 e 0,25
b) 4 e 2,5
c) 0,333 e 3
d) 1,4 e -2,1

3) Qual é a razão entre a altura de Beatriz (altura: 150 cm) e a altura de Clóvis (altura: 120 cm)?
4) Certo refrigerante é vendido por R$0,90 em latas de 350 ml, e por R$1,90 em garrafas de 2l. Qual das duas embalagens é mais econômica para o consumidor?
5) Qual é a razão entre as áreas de um quadrado A com 4 cm de lado e de um quadrado B com 8mm de lado?
6)O gráfico abaixo informa a quantidade de calorias gastas por uma pessoa, no período de 1 hora, quando faz determinadas atividades:
Analisando os dados apresentados no gráfico, pergunta-se:
a) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao jogar basquetebol?

b) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao cavalgar e ao correr?

c) As razões obtidas nos itens a) e b) formam uma proporção?

d) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao nadar?

e) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao nadar e ao correr?



f) As razões obtidas nos itens d) e e) formam uma proporção?

PROPORÇÕES

7) Dadas as sucessões 3, 7, 11 e 15, 35, 55, calcule as razões de cada termo da primeira para o termo respectivo da segunda sucessão. Os números da primeira sucessão são diretamente proporcionais aos da segunda?

8) Os números da sucessão 1, 4, 9, 32 e -1, -4, -9, -32 são diretamente proporcionais?

9) Quais das sucessões abaixo são formadas por números proporcionais aos da sucessão 3, 4, 5 ,6 ,7?

a) 6, 8, 10, 12, 14
b) 9, 12, 15, 18, 21
c) 7, 6, 5, 4, 3
d) 13, 14, 15, 16, 17

10)Resolva as seguintes proporções:

a)  

b) 

c) 

11) Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção .

12) Sabendo que a + b = 55, determine a e b na proporção .



13) As medidas do desenho foram ampliadas proporcionalmente. Quanto é a altura do barco maior?

• 
  

Fração geratriz dízima periódica: Exercícios com gabarito e teoria

A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica.

Aqui, vamos dar dicas de como achar as frações geratrizes de dízimas periódicas simples e compostas, de uma forma bem prática.

Dízimas periódicas simples

a) 0,2222...
Período: 2

Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.

a)

Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero.

Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:

Dízimas periódicas compostas

a) 0,27777...
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador. 

No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 
(parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo)

Assim:







b) 1,64444...








c) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)







d) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)








Por que dá certo?

Veja a explicação na forma como geralmente se aprende a achar a fração geratriz na escola:

Chama-se a fração geratriz de x:







Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte decimal







E subtraem-se as duas igualdades







Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração geratriz.

Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação: 164 - 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.

No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a mesma parte decimal nos dois números a serem subtraídos:

Exercício:

1)Calcule as geratrizes das dízimas periódicas :

17) 0,555...	18) 1,030303...
19) 2,(36)	20) 0,003003003...
21) 1,(09)	22) 2,027027027...
23) 5,018018018...	24) 0,0666...
25) 1,04727272...	26) 2,06818181...
27) 1,32(4)	28) 1,291666...
29) 1,05(3)	30) 3,61666

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Atividade: a proporção do pudim de chocolate

PUDIM DE CHOCOLATE




INGREDIENTES:
1 colher sopa de manteiga
4 gemas
6 colheres de sopa de chocolate
1 lata de leite condensado (400 g)
1 copo de leite (300ml)

PREPARO:
Bater ligeiramente no liquidificador todos os ingredientes.
Cozinhar em banho-maria na forma caramelada por 50 minutos.
Levar ao refrigerador.
Desenformar na hora de servir.
Observação: receita para 12 porções


Estamos programando um churrasco para domingo, cuja sobremesa será pudim de chocolate. Foram convidadas 12 pessoas.
Na sexta-feira fomos avisados que viriam 30 convidados.

1)· Faça uma lista dos ingredientes necessários para fazer sobremesa para todos.
 Quantos pudins seriam necessários?

2) Haveria repetição para alguns convidados? Quantos?

3) Comparar as quantidades de cada ingrediente da receita dada com a nova receita. O que pode ser observado? Há alguma relação entre estes valores? Ela pode ser escrita em forma de fração?

4) Caso não tenhamos sido avisados, o que fazer se vierem 18 convidados e quisermos servir sobremesa para todos, tendo apenas um pudim? Que fração do pudim representaria cada pedaço.

5) Calcular a quantidade de cada ingrediente para fazer um pudim maior que servisse 18 pessoas com porções idênticas à receita original.

Vídeo - Matemática na Vida - Razão e Proporção: Conceito no dia-a-dia-7º Ano

Testes: concurso e vestibulinho com gabarito

1) Um camelô comprou 30 ursinhos de pelúcia por R$ 165,00. Desejando lucrar R$ 75,00 com a venda desses ursinhos, por quanto o camelô deve vender cada um?

a) R$ 9,00
b) R$ 8,50
c) R$ 8,00 X
d) R$ 7,50
e) R$ 6,50
  
2) Se 250 g de azeitonas custam R$ 4,60, qual será o preço de 3/4 de quilo de azeitonas?

a) R$ 9,20
b) R$ 10,60
c) R$ 12,80
d) R$ 13,80 X
e) R$ 14,60

3) Como o velocímetro do automóvel estava quebrado, o motorista marcou o tempo que levou para ir do marco do quilômetro 102 até o marco do quilômetro 104. Nesse percurso, ele demorou 90 s. Qual era a velocidade do automóvel?

a) 60 km/h
b) 75 km/h
c) 80 km/h X
d) 100 km/h
e) 120 km/h

4) Em um bazar trabalham duas funcionárias, uma há três anos e a outra há dois anos. A dona do bazar, desejando gratificar suas funcionárias, dividiu entre elas a quantia de R$ 600,00 em partes diretamente proporcionais aos tempos de serviço de cada uma. Quanto recebeu a funcionária mais antiga?

a) R$ 360,00 X
b) R$ 320,00
c) R$ 240,00
d) R$ 200,00
e) R$ 120,00

5) A média salarial dos dez funcionários de uma empresa é R$ 420,00. Nessas condições, é verdade que:

a) cinco desses funcionários podem ganhar R$ 900,00 cada um.
b) três desses funcionários podem ganhar R$ 1050,00 cada um, recebendo os demais R$ 150,00 cada um. X
c) necessariamente, cada um dos funcionários ganha R$ 420,00.
d) três desses funcionários podem ganhar R$ 800,00 cada um, recebendo os demais R$ 200,00 cada um.
e) seis desses funcionários podem ganhar R$ 800,00 cada um.
  
6) A tabela foi convertida num gráfico de setores:
No gráfico, qual é o ângulo correspondente ao setor que representa 4 horas?

a) 120º X b) 130º c) 150º d) 160º e) 180º

7) Um aquário tem a forma de um bloco retangular, com arestas de 60 cm,40 cm e 30 cm. Quantos litros de água cabem no aquário cheio?

a) 720
b) 640
c) 130
d) 72 X
e) 13

8) Na figura abaixo,3 horas representa quanto por cento das horas totais?
a) 45%
b) 40%
c) 35%
d) 30%
e) 25% X

9) O cafezinho vendido na rede Hans aumentou de R$ 0,60 para R$ 0,70. Esse aumento, em termos percentuais, foi de aproximadamente:

a) 17% X
b) 20%
c) 23%
d) 25%
e) 28%

10) Se 35% de todo o meu dinheiro correspondem a R$ 105, quanto possuo no total?

a) R$ 150
b) R$ 250
c) R$ 300 X
d) R$ 375
e) R$ 450