MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números chama-se mínimo múltiplo comum (m. m. c.)
exemplo:
consideramos os conjuntos dos múltiplos de 2 e 3
M2 = { 0,2,4,6,8,10,12..........}
M3 = { 0,3,6,9,15..........}
obtemos o múltilplo comum fazendo a intersecção dos conjuntos
M2 e M3 = { 0, 6 , 12 ...}
excluindo o zero, o menor múltiplo comum é 6. e indicamos o mínimo múltiplo comum de 2 e 3 assim: m.m.c.(2,3) = 6
PROCESSO PRÁTICO PARA DETERMINAR O m.m.c.
Por decomposição em fatores primos (fatoração completa)
1) determinar o m.m.c. de 120 e 80
120,80 I 2
060,40 I 2
030,20 I 2
015,10 I 2
015,05 I 3
005,05 I 5
001,01
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240
logo m.m.c. (120,80) = 240
2) Determinar o m.m.c. de 14, 45 e 6
14, 45, 06 I 2
07, 45, 03 I 3
07, 15, 01 I 3
07, 05, 01 I 5
07, 01, 01 I 7
01, 01, 01 I
2 x 3 x 3 x5 x7 = 630
logo m.m.c ( 14, 45, 06) = 630
EXERCÍCIOS
1) Determine o m.m.c. pelo processo da decomposição
a) m.m.c.(15,18) ( R: 90)
b) m.m.c.(10,12) (R: 60)
c) m.m.c.(10,6,15) (R: 30)
d) m.m.c( 12,20,3) (R: 60)
e) m.m.c(15,3) (R:15)
f) m.m.c.( 10,15) (R: 30)
g) m. m. c. ( 18, 30) (R: 90)
h) m.m.c. ( 21, 12 ) (R: 84)
i) m.m.c. ( 35,10) (R: 70)
j) m.m.c. ( 25, 80) (R: 400)
l) m.m.c.( 140,10) (R: 140)
m) m.m.c ( 8,10,25) (R: 200)
n) m.m.c.( 3,12,32) (R: 96)
o) m.m.c.(2,3,5,10) (R: 30)
p) m.m.c. ( 18, 24, 36) (R: 72)
2) Determine o m.m.c
a) m.m.c. ( 50,75) (R: 150)
b) m.m.c. ( 60,24) (R: 120)
c) m.m.c. ( 21,30) (R: 210)
d) m.m.c. ( 28,48) (R: 336)
e) m.m.c ( 2,4) (R: 4)
f) m.m.c. ( 7,5) (R: 35)
g) m.m.c. ( 9,1) (R: 9)
h) m.m.c.( 21,7) (R: 21)
i) m.m.c. ( 8,9) (R: 72)
j) m.m.c. ( 13,26) (R: 26)
l) m.m.c ( 2,4,6) (R: 12)
m) m.m.c. ( 3,6,9) (R: 18)
n) m.m.c. ( 10,12,45) (R: 180)
o) m.m.c ( 6,8,12,15) (R: 120)
p) m.m.c ( 12,18,36,40) (R: 360)
3) calcule o m.m.c.
a) m.m.c (4,6,9,15) = (R: 180)
b) m.m.c. ( 2,10,15,45) = (R: 90)
c) m.m.c.(8,36,28,72) = (R: 505)
d) m.m.c( 45,96,10,180) = (R: 1440)
e) m.m.c( 20,30,48,120) = (R: 240)
f) m.m.c( 7,2) = (R: 14)
g) m.m.c( 8,10) = (R: 40)
h) m.m.c ( 14,21) = ( R: 42)
i) m.m.c ( 50 ,25) = (R: 50)
j) m.m.c ( 40 , 60 ) = (R: 120)
l) m.m.c.( 80,56) = (R: 560)
m) m.m.c ( 2,3,4) = (R: 12)
n) m.m.c. ( 4,6,8) = (R: 24)
o) m.m.c. ( 6,8,12) = (R: 24)
p) m.m.c.(4,8,16) = (R: 16)
q) m.m.c ( 12, 18, 36) = (R: 36)
r) m. m.c ( 12, 10, 8) = (R: 120)
s) m.m.c ( 6,8,10,12) = (R: 180)
4) Usando a decomposição em fatores primos, determine:
a) m.m.c (10,12) (R:60)
b) m.m.c. ( 6,10,15) (R: 30)
c) m.m.c. ( 14,21,30) (R: 210)
d) m.m.c. ( 100, 150, 200) (R: 600)
e) m.m.c. (70,110) (R: 770)
f) m.m.c. (30, 75) (R:150)
g) m.m.c. (18,60) (R: 180)
h) m.m.c. (21, 35,84) (R: 420)
i) m.m.c. ( 66, 102) (R: 1122)
j) m.m.c. ( (90, 36, 54) (R: 540)
l) m.m.c. ( 48, 20, 40, 36) (R: 720)
m) m.m.c (12,36) (R:36)
n) m.m.c. ( 20,28) (R: 140)
o) m.m.c. ( 9,10) (R: 90)
p) m.m.c. ( 63,105) (R: 315)
q) m.m.c. (32,48,108) (R: 864)
r) m.m.c. (36,12,18) (R:36)
5)
O planeta Júpiter
completa uma volta em torno do Sol em aproximadamente 12 anos, e o planeta
Saturno em aproximadamente 30 anos. Supondo que os dois planetas comecem seu
percurso agora, partindo de um mesmo ponto, calcule o m.m.c. desse fenômeno e descubra daqui a quantos anos esses planetas voltarão a
ficar nesta mesma posição?
(R: daqui a 60 anos)
6)
(FAAP-SP) Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B. O planeta
gira em torno do sol e os satélites em torno do planeta de forma que o
alinhamento sol-planeta -lua A ocorre a cada 18 anos, e o alinhamento
sol-planeta-lua B ocorre a cada 48 anos. Se no ano em que estamos
ocorrer o alinhamento sol-planeta lua A - lua B. Calcule o m.m.c. desse
fenômeno e descubra daqui a quantos anos isso se repetirá?
(R: Daqui a 144 anos)
7) (UNESP)
Uma certa propaganda passa no canal A a cada 22 minutos, no canal B a cada 30
minutos e no canal C a cada 45 minutos.
A propaganda passou simultaneamente nos três canais às 06h15 min. O horário em
que passará novamente nos três canais, ao mesmo tempo, é?
(R Às 22:45hs)
8 ) Um
pai e um filho são pescadores. Cada um tem um barco e ambos vão para o mar no
dia 12 de janeiro. O pai volta para
casa a cada 20 dias e o filho a cada
15 dias. Resolva cada item a seguir.
a)
Calcule de quantos em quantos dias o pai se encontrará com seu filho em
casa.
(R: a cada 60 dias)
b)
Calcule o próximo dia e mês que os dois se encontrarão em casa.
(R:12 de março)
9) De um aeroporto, partem todos os dias, 3 aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz a rota de ida e volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias. Se num certo dia os três aviões partem simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões partirão novamente no mesmo dia?
10) Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm período de translação em torno do Sol de aproximadamente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois de uma observação, para que eles voltem a ocupar simultaneamente as mesmas posições em que se encontram no momento de observação?
11) Duas pessoas fazendo seus exercícios diários partem de um mesmo ponto e contornam, andando, uma pista oval que circula um jardim. Uma dessas pessoas andando de forma mais acelerada, dá uma volta completa na pista em 12 min , enquanto a outra, andando mais devagar, leva 20 min para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida?
12) A editora do livro “Matemática” recebeu pedidos de três livrarias sendo que um pedido de 1300 livros, o segundo pedido de 1950 livros e o terceiro pedido de 3900 livros. A editora deseja remeter em n pacotes iguais de tal forma que n seja o menor possível. Calcule o valor de n.
13) Três peças de tecido medem respectivamente, 180m, 252m e 324m. Pretende-se dividir em retalhos de igual comprimento. Qual deverá ser esse comprimento de modo que o número de retalhos seja o menor possível? Em quantos pedaços as peças serão dividas?
