“Divisão e Conquista: é uma técnica valiosa usada em momentos complicados, onde dividimos um grande problema em problemas menores até ser resolvido". Anatolii Karatsuba
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quinta-feira, 8 de outubro de 2015
Construção do ângulo de 60 º com compasso
quinta-feira, 27 de agosto de 2015
Exercícios sobre ângulos: correspondentes, colaterais internos e externos, alternos internos e externos.
Duas retas r e s, interceptadas pela transversalo t, formam oito ângulos.
Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são assim determinados:
= Correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7
= Colaterais Internos: 4 e 5, 3 e 6
= Colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7
= Alternos internos: 4 e 6, 3 e 5
= Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8
ILUSTRANDO:
= COLATERAIS (ambos do mesmo "lado" da transvwesal)
EXERCÍCIOS
a) a e g
b) a e e
c) d e h
d) c e g
e) c e e
f) a e f
g) b e h
h) b e f
i) d e f
j) c e e
l) c e h
m) b e e
PROPRIEDADES
Considere duas retas paralelas e uma transversal.
Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que são validas as seguintes propriedades:
= Os ângulos correspondentes são congruentes= Os ângulos alternos externos são congruentes
= Os ângulos alternos internos são congruentes.
= Os ângulos colaterais externos são suplememntares.
= Os ângulos colaterais internos são suplementares
EXERCÍCIOS
1) Sabendo que r//s, determine a medida dos ângulos indicados:
a)
b)
c)
d)
2) Sabendo que r // a , calcule x:
a)
b)
c)
Exercícios sobre ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois , opostos pelo vértice
Na figura:
â e c são opostos pelo vértice.
m e n são opostos pelo vértice
TEOREMA
Dois ângulos opostos´pelo vértice são congruentes.
prova:
Sejam os ângulos a e b opostos pelo vértice.
1) m(â) + m(^c) = 180°
2) m(b) + m(c) = 180°
comparando : m(â) + m(c) = m(b) + m(c)
m(â) = m(b)
Se a e b têm a mesma medida, eles são congruentes.
EXECÍCIOS
1) Quais são os 3 pares de ângulos opostos pelo vértice?
2) Se x = 50° , determine y, m e n:
3) Calcule os ângulos x,y, z e w da figura:
4) Calcule os ângulos x, y e z das figuras:
5) Calcule x:
6) Calcule x:
7) Calcule x :
8) Calcule x:
9) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por 15x - 14° e 3x + 10°. Quanto vale x?
10) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por (2m - 50) e (m + 35). Quanto vale m?
Exercícios sobre ângulos suplementares somam 180º
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°
m(AÔB) + m(BÔC) = 180°
Exemplos:
= 50° e 130° são angulos suplementares, porque 50° + 130° = 180°
= 125° e 55° são ângulos suplementares, porque 125° + 55º = 180°
EXERCÍCIOS
a) Um ângulo de 70° e um de 110° são suplementares?
R: (
b) Um ângulo de 155° e um de 25° são suplementares?
2) Calcule o suplemento dos seguintes ângulos:
a) 30° = (R:
b) 85° = (R:
c) 72° = (R:
d) 132° 30´ = (R:
e) 140° 20´ = (R:
f) 151° 40` =(R:
3) Determine x, sabendo que os ángulos são suplementares:
4) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:
5) Calcule x:
6) A quarta parte da medida de um ângulo mede 30°. Calcule a medida do seu suplemento.
7) A medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo.
8) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento.
9) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.
10) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do suplemento desse ângulo é 250°. Calculo a medida do ângulo.
11) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 2/3 do seu suplemento.
12) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é 110° . Quanto mede o ângulo?
Exercícios sobre ângulos complementares somam 90°
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Dois angulos são complementares quando am soma de suas medidas é 90°
m(AÔB) + m((BÔC) = m(AÔC)
Exemplos:
65° e 25° são ângulos complementares , porque 65° + 25° = 90°
EXERCÍCIOS
1) Responda:
a) Um ângulo de 20° e um de 70° são complementares?
b) Um ângulo de 35° e um de 65° são complementares?
c) Um ângulo de 73° e um de 27° são complementares?
d) Um ângulo de 58° e um de 32° são complementares?
2) Calcule o complemento dos seguintes ângulos:
a) 34°
b) 72°
c) 84°
d) 18° 25´
e) 40° 30´
f) 51° 20´
3) Resolva as equações abaixo, onde a inc´gnita x é um ângulo (medido em graus)
a) 2x = 90°
b) x + 17° = 90°
c) 4x + 10° = 90°
d) x + 8x = 90°
e) 5x - 20° = 1° = 2x
f) x = 2( 90° - x)
g) 4( x + 3° 0 = 20°
h) ( 3x - 20° ) + 50° = 90°
I) 3( x + 1°) = 2( x + 7°)
J) 2x + 2 (x + 1° ) = 4° + 3 ( x + 2°)
4) Determine x, sabendo que os ângulos são complementares:
5) Dado um ângulo de medida x, indicar:
a) o seu complemento.
b) o dobro do seu complemento
c) o triplo do seu complemento.
d) a metade do seu complemento
e) a terça parte do seu complemento
7) A medida de um ângulo é igual à medida de seu comprimento, quanto mede esse ângulo?
8) A medida de um ângulo é a metade da medida do seu comprimento. Calcule a medida desse ângulo.
9) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento.
10) A diferença entreo o dobro da medida de um ângulo e o seu complemnto é 45° Calcule a medida desse ângulo.
11) A terça parte do complemento de um ângulo mede 20°. Qual a medida do ângulo?
12) Dois ângulos complementares têm suas medidas expressas em graus por 3x + 25° e 4x - 5° . Quanto medem esses ângulos?
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