Pages

sexta-feira, 31 de março de 2017

Prismas, Paralelepípedos e Cubo

Resultado de imagem para prismas regulares
Um prisma é caracterizado como um sólido que possui duas bases idênticas e paralelas. Ele é classificado de acordo com o formato de sua base e de acordo com o ângulo que as laterais formam com as bases. Mas independente do tipo do prisma que estamos lidando, é possível realizar sua planificação, isto é, reconstruir um sólido como uma figura plana. Podemos imaginar esse processo semelhante ao ato de abrir uma caixa ou mesmo como o processo de embalar uma caixa para presente;




1) Como  encontrar a área total de um prisma?
Devemos calculá-la em etapas. Primeiramente devemos encontrar o valor da área da base. Para isso, basta um só calculo, pois as bases são idênticas. A área da base deve ser multiplicada por dois, pois sempre haverá duas bases em um prisma. Feito isso, devemos encontrar a área lateral, verificando as medidas de um retângulo da lateral para calcular sua área. Então, multiplicamo-la pela quantidade de retângulos que compõem a lateral. Dessa forma, a área de um prisma será dada por:
At = Al + 2.Ab

At é a área total do prisma;
Al é a área lateral;
Ab é a área da base.



O volume do prisma é calculado pela multiplicação entre a área da base e a altura.
O volume determina a capacidade que possui uma figura geométrica espacial. Vale lembrar que, geralmente, ele é dado em cm3(centímetros cúbicos) ou m(metros cúbicos).

2) Como Calcular o volume do prisma?

Para calcular o volume do prisma utiliza-se a seguinte expressão:
V = Ab.h
Onde,
Ab: área da base
h: altura

Obs: Não se esqueça que para calcular a área da base é importante saber o formato que a figura apresenta. Por exemplo, num prisma quadrangular a área da base será um quadrado. Já num prisma triangular, a base é formada por um triângulo.
Resultado de imagem para planificação de prismas

1) Em um prisma regular triangular, cada aresta lateral mede 10 cm e cada aresta da base mede 6 cm. Calcular desse Prisma:
Resultado de imagem para planificação de prismas



a) a área de uma face lateral.
Af = (6.10) cm²
Af = 60 cm²

b) a área de uma base.

Cada base é um triângulo equilátero de lado 6 cm. Lembrando que a altura h de um triângulo equilátero de lado a é dada por 









Portanto, a área B de uma base é:







c) a área lateral.

A área lateral AL é a soma das áreas das três fases laterais, isto é:

AL = 3 . Af
AL = 3 . 60 cm²
AL = 180 cm²



d) a área total.
A área total At é a soma da área lateral AL com duas vezes a área B de uma base, isto é:

At = AL + 2B
At = (180 + 18 √3) cm²

2) Um prisma reto de altura 10 cm tem como polígonos das bases triângulos retângulos de catetos 3 cm e 4 cm. Calcule a área total desse prima.













Resolução: 


















3)Em uma piscina regular hexagonal cada aresta lateral mede 8 dm e cada aresta da base mede 4 dm. Calcule, desses prisma:

Resultado de imagem para planificação de prismas



a) a área de cada face lateral;
    Af = b . h
    Af = 4 .8
    Af = 32 dm²


b) a área de uma base;

    Ab = (6.10 √3) / 4
    Ab = 24 √3 dm²


c) a área lateral;

   AL = 6.4.8
   AL = 192 dm²


d) a área total;
    At = 2.24 √3 +192
    At = 48 √3 + 192 dm²

 

Diagonais do Paralelepípedo 

1) As dimensões de um paralelepípedo reto-retângular são 20 cm, 12 cm e 9 cm.Calcular a medida de uma diagonal desse paralelepípedo.


Resultado de imagem para planificação de prismas



Resolução:

D = √a² + b² + c²
D = √20² + 12² + 9²
D = √400 + 144 + 81
D = √625
D = 25 cm²



2) O comprimento EA, a largura EH e a altura EF do paralelepípedo reto-retângulo representado ao lado são 12 cm, 3 cm e 4cm, respectivamente, calcule:
Resultado de imagem para planificação de prismas

a) A medida de uma diagonal da face EFGH;

 D = √3²+4²
 D = √9 + 16
 D = √25
 D = 5 cm²



b) A
 medida de uma diagonal do paralelepípedo;

D = √3² + 4² + 12²
D = √9 + 16 + 144
D = √169
D = 13 cm²



c) a área total do paralelepípedo;
 A1 = 12 . 3          A2 = 4.3        At = A1 + A2
 A1 = 36               A2 = 12         At = 144 + 24
 A1 = 4.36            A2 = 2.12       At = 168 cm²
 A1 = 144             A2 = 24



d) o volume do paralelepípedo;
 V = b.h.l
 V = 12.3.4
 V = 169 cm³


Cubo 

1) A área total de um cubo é 54 cm². Calcule a medida da diagonal desse cubo.

Resultado de imagem para planificação de prismas


Resolução:

At = 6a²              d = a√3
54 = 6a²              d= 3√3cm²
54 /6 = a²
a = √9
a =3 cm 




2) A diagonal de um mede √75 cm .Calcule a área total desse cubo:

Resultado de imagem para planificação de prismas

Resolução:


d = √75
d = L√3
√75 = L√3
5√3 = L√3
L = (5√3) / √3
L = 5 cm 



3) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60 cm,então o volume desse cubo, em centímentros cúbicos, é:

Resultado de imagem para planificação de prismas

a) 125 cm³
b) 100 cm³
c) 75 cm³
d) 60 cm³
e) 25 cm³


Resolução:

12 arestas

60 cm / 12 = 5

V = 5³ = 125 cm³

Letra a) 125 cm³



4)(UFSCar SP/2016) Uma caixinha de papelão tem a forma de um prisma reto de base quadrada, com 6 cm de lado e altura h, conforme mostra a figura.

Sabendo que o volume dessa caixinha é 288 cm3, pode-se concluir corretamente que o valor da sua área lateral, em centímetros quadrados, é
a) 192.
b) 170.
c) 154.
d) 128.
e) 96.
Solução:
A estratégia para obter a área lateral desse prisma é calcular primeiramente a medida de sua altura. Como foi dada a medida do volume, podemos usar a fórmula para o cálculo do volume de um prisma para descobrir essa medida que falta.
Para tanto, o volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. Sendo assim, a fórmula é:
V = Ab·h
A base desse prisma é um quadrado, portanto, sua área é dada pelo quadrado da medida do lado. Assim, Ab = 62 = 36. Substituindo esse valor e a área da base na expressão acima, teremos:
288 = 36·h
36·h = 288
h = 288
     36
h = 8 cm
A área lateral é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como são todas congruentes, basta calcular uma e multiplicar o resultado por 4:
Al = 4·6·8 = 4·48 = 192 cm2
Gabarito: letra A.

segunda-feira, 27 de março de 2017

Poliedros(Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler)

Leonhard Paul Euler nasceu na Suíça, tornou-se físico e matemático e ficou conhecido pelas descobertas nos campos dos cálculos e teorias de gráficos.

Resultado de imagem para relação de euler

Resultado de imagem para relação de euler


01.(FAAP/SP)Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Solução:

De acordo com o enunciado, temos:

A = V + 6

Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

V + F = 2 + A

V + F = 2 + V + 6   F = 8

02.(FATEC/SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:

Do enunciado, sabemos que

Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:

3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12

2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6

4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20

Somando: 12 + 6 + 20 = 38

Atenção:

 As faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:

A = 38 
÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A

V + 9 = 2 + 19

V = 21 - 9  
 V =  12.

03.Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas é 12. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:

Usando a relação de Euler, temos:

V + F = A + 2

V + 8 = 12 + 2

V = 6

04.Um poliedro convexo possui 2 faces triangulares e 3 faces quadrangulares.Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro.

Solução:

Número de arestas 18 arestas

2 faces triangulares 2 x 3 = 6
                              
3 faces quadrangulares 3 x 4 = 12

Uma aresta é comum a 2 faces, então

2A = 18  A = 9.

Número de vértices:

V + F = A + 2 F = 2 + 3

V + 5 = 9 + 2 F = 5

V = 11 – 5     V = 6

05.Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

Solução:

Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:

12  5  = 60

O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 

20 . 6  = 120, 

logo: 

 F = 12 + 20 = 32

Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:

2A = 60 + 120  2A = 180(÷2)  A = 90

Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,

V – A + F = 2, portanto:

V – 90 + 32 =2

V = 2 + 90 – 32   V = 60


06.Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.

Solução:

Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6  4 = 24

O poliedro tem 4 faces triangulares: 4  3 = 12

Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é:

  A = (24+12)/2 = 18 A = 36/2  A = 18

Temos então

 F  = 10, A = 18.

Aplicando a relação de Euler:

V – A + F = 2

V – 18 + 10 = 2  V = 10


07.Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares.

Solução:

6 faces quadrangulares  6  4 = 24 arestas

4 faces triangulares  3 = 12 arestas

Número total de arestas = 36

Como cada aresta foi contada duas vezes, temos:

2A = 36(÷2)    A = 18

Aplicando a relação de Euler, temos:

A + 2 = V + F  18 + 2 = V + 10 20 – 10 =  V  10 = V

08.Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular o número de arestas.

 Solução:

A + 2 = V + F 

A + 2 = 12 + 8  ► A + 2 = 20 A = 18

09.Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais . Quantas faces tem de cada espécie , se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?

Solução:

S = 360(V-2)

6490 = 360(V-2) (÷90)

64 = 4(V-2) (÷4) 16 = V - 2

 16 + 2= V \ 18 = VV + F = A + 2

18 + F = 28 + 2 F = 30 – 18  F = 12

Sabemos que:

Número total de faces = 2Arestas

Sendo x  o número de faces triangulares, temos:

3.x + 7(12-x) = 2. 28   ► 3x + 84 - 7x = 56

4x = 28    x = 7

Portanto o poliedro possui 7 faces triangulares e 5 faces heptagonais.

10.A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 2520º . Dê o número de faces desse poliedro , sabendo que ele possui 17 arestas .

Solução:

S = (V – 2)3600

25200 = (V – 2)3600 (÷ 3600)

V – 2 = 7 V = 7 + 2  V = 9

V + F = A + 2

9 + F = 17 + 2

F = 19 – 9  F = 101

11.Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais .
Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 retos ?

A soma dos ângulos das faces é dada pela fórmula:

S = (V - 2)
4r

Então:

(V - 2)
4r = 32r   (V - 2) = 32r/4r

V - 2 = 8   
  V = 8 + 2 = 10

Usando a formula de Euler( V - A + F = 2), temos:

10 -15 + F =2  
 F = 2 + 5 = 7

Chamando de x o número de faces quadrangulares e y o número de faces pentagonais, temos:

x + y = 7  x = 7 – y

Sabemos que:

Número total de faces = 2Arestas

Logo, vem:

4x + 5y = 215

4(7 – y) + 5y = 30 28 – 4y + 5y = 30

y = 30 – 28   y = 2

Logo, x = 5

Portanto, o poliedro possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais



http://cantinhodocalazans.blogspot.com.br

POLIEDROS/ Relação de Euler /Poliedros regulares e irregulares/Poliedros convexos e não convexos

Relembrando a geometria plana : Polígonos

Em geometria, uma figura plana (duas dimensões) com três ou mais lados. Os polígonos comuns têm nomes que definem o número de lados (por exemplo, triângulo, quadrilátero, pentágono).


Polígonos regulares

Resultado de imagem para poligonos regulares diferença não regular



Obs. Estas figuras são regulares pois temos lados e ângulos internos congruentes, ou seja, eles são equiláteros e equiângulo.

Na figura abaixo temos um polígono convexo e outro não convexo.

Resultado de imagem para poligonos convexos e não convexos

Agora vamos falar de figuras em 3 dimensões:

Resultado de imagem para lados = 2 arestas



Poliedros Poliedro  é todo sólido limitado por polígonos de modo que dois desses polígonos não pertencem a um mesmo plano ...



Na Geometria Espacial temos Poliedros convexos e côncavos 

Poliedros convexos e não-convexos Um poliedro é  convexo  quando o segmento de reta que ligar dois pontos distintos quaisq...

*Convexo : quando qualquer segmento de reta ficará inteiramente contido no poliedro.
*Não convexo ou côncavo é quando algum segmento de reta não está inteiramente contido no poliedro.


Agora essa famosa relação serve para todo poliedro convexo:


Relação de Euler O matemático suíço Leonard Euler ( 1707 – 1783) descobriu uma propriedade importante dos poliedros convex...

ou dessa forma:
Resultado de imagem para relação de euler

Aplicando essa relação em alguns exemplos:


Resultado de imagem para relação de euler




Em um poliedro, também podemos relacionar que o número de lados é igual ao dobro do número de arestas, assim:

 N = 2. A

Onde N = número de lados e A = número de arestas.

Ou    de outo modo temos:
                                                                           A =  N/2

Resultado de imagem para numero de lados é dobro das arestas

Imagem relacionada

Para calcular a soma das medidas dos ângulos internos das faces de um poliedro sabendo somente o número de arestas utilize a relação que segue:
S = 360º . ( V - 2)
Onde:
S = soma dos ângulos internos
V = vértices


Por exemplo:
Resultado de imagem para vertices cubo
Dados 8 vértices de um cubo, calcule a soma de seus ângulos internos.

Resposta:
S = 360º . (8 - 2) = 2160º








Poliedros Regulares e irregulares 
*No poliedro regular teremos todas as faces polígonos regulares congruentes entre si e de cada vértice parte o mesmo números de arestas.
Poliedros regulares Um poliedro convexo se diz  regular  quando suas faces são polígonos regulares congruentes entre si, e...


*Já no poliedro irregular os polígonos das faces não são congruentes.



 Resultado de imagem para poliedros não regulares
Note essas três fórmulas para vocês calcularem Face (F), Aresta (A) e Vértice (V) somente para os poliedros convexos regulares: tetraedro regular, cubo, octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular como podem visualizar abaixo:


Veja a tabela dos cinco poliedros convexos regulares e algumas fórmulas para calcular Face (F), Aresta (A) e Vértice (V) de cada um deles tendo n = lados e p = arestas.



Agora a tabela dos cinco poliedros convexos regulares e suas planificações:

Destaque!!!!!!!!!!!

Aula criativa de matemática sobre a conversão do dólar

Um emprego em um navio de cruzeiro pode ser uma grande chance de conhecer lugares novos e ganhar um bom salário. Quanto melhor for seu ingl...