Semelhança de triângulos: exercícios resolvidos e teoria

Duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma (não importa o tamanho).


EXEMPLOS

-- Duas circunferências são sempre semelhantes.

-- Dois quadrados são sempre semelhantes.

TRIÂNGULO SEMELHANTES

Observe que:

-- Os ângulos correspondentes são congruentes.

-- Os lados correspondentes são proporcionais

Então:

Dois triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais

em simbolos:

Observação: A constante K é chamada razão de semelhança

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Solução:

Como os triângulos são semelhantes, temos:

a) 3/6 = x/8 =y/11

3/6 = x/8

6x= 24/6

x = 4

b) 3/6 = y/11

6y = 33

y = 5,5

EXERCÍCIOS

1) Sabendo-se que os triângulos são semelhantes, calcule x e y

TEOREMA FUNDAMENTAL

Toda a reta paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados determina um triângulo semelhante ao primeiro.

Devemos provar que os triângulos ADE e ABC têm os três ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

1º parte

 2º Parte

Nos triângulos os lados correspondentes são proporcionais 
.

CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULO

Não é necessário conhecer todas as condições de semelhança de triângulos para chegar à conclusão de que eles são semelhantes basta algumas delas. 

1) CASO AA (ângulo - ângulo)

Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos correspondentes congruentes.

2) CASO LAL (lado - ângulo - lado)

Dois triângulos são semelhantes se têm dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo correspondente entre eles congruentes.

3) CASO LLL (lado --lado--Lado)

Dois triângulos são semelhantes se têm os lados correspondentes proporcionais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Na figura abaixo, os triângulos são semelhantes. Calcular x

2) Na figura abaixo, os triângulos são semelhantes. Calcule x.

EXERCÍCIOS 

2) Calcule y:

3) Calcule x:

4) Calcule y , sabendo que os triângulos são semelhantes:

(Material de referência http/ jmpgeograafia.blogspot.com.br)

Área de polígonos: exercícios resolvidos e teoria

A superfície de polígono é a reunião do polígono com o seu interior.

Área de um polígono é a medida de superfície desse polígono.

Nota: Por comodidade, a área da superfície de um polígono será denominada área de um polígono.

Dois polígonos se dizem equivalentes se têm a mesma área.


  ÁREAS DOS PRINCIPAIS POLÍGONOS

Nota:

Nas fórmulas, para facilitar,usamos apenas a palavra:
= lado em vez de medida do lado.
= base nem vez de medida da base, e assim por diante.


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Calcular a área da figura abaixo, supondo as medidas em centimetros.

EXERCÍCIOS

1) Calcule a área das figuras, supondo as medidas em cm:

2) Calcule a área da figura, supondo as medidas em cm:

3) Calcule a área dos polígonos, supondo as medidas em cm:

8) Calcule a área da figura sombreada, sabendo que o lado do quadrado maior mede 8m e do quadrado menor 5 m.

9) Calcule a áreada figura, supondo as medidas em cm:

10) Calcule a área dos polígonos,supondo as medidas em cm: