Operações com Frações representadas em figuras

Probabilidade: teoria e exercícios

Espaço amostral e evento são termos ligados à probabilidade, ciência que estuda as chances de um fenômeno acontecer. A realização de um experimento repetidas vezes respeitando as mesmas condições, não deve apresentar os mesmos resultados. É nesse aspecto que a probabilidade conceitua suas regras, demonstrando os resultados através de números, em forma de porcentagem. Para o cálculo da probabilidade de algo acontecer, precisamos entender os termos: espaço amostral e evento.

Espaço amostral é o conjunto estabelecido por todos os possíveis resultados de um experimento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por “cara” ou “coroa”. No lançamento de um dado, o espaço amostral é representado pelas faces enumeradas 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Em um baralho de cartas, o espaço amostral envolve 52 cartas.

Evento: é um conjunto de resultados do experimento, em termos de conjuntos, é um subconjunto S. em particular, S e Φ (conjunto vazio) são eventos. S é dito o evento certo e Φ o evento impossível.

Se usarmos as operações com conjuntos, podemos formar novos eventos:

a) A ∩ B → é o evento que ocorre se A ocorreu ou B ocorre ou ambos ocorrem;
b) A ∪ B → evento que ocorre se A e B ocorrerem;
c) Ā → é o evento que ocorre se A não ocorre.

Exemplo: Considere o experimento: jogar duas moedas e observar os resultados:
S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}

Evento A: ocorrer faces iguais.
Logo A = {(c, c), (k, k)}

Exemplo 2:


Considere o experimento “lançar 2 dados simultaneamente” .

O espaço amostral será

E = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,

(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,

(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,

(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) ,

(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) ,

(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } e n(E) = 36.

Considere o evento A: a soma dos pontos é 5.

Então esse evento será representado pelo conjunto

A = { (1,4) , (4,1) , (2,3) , (3,2) }


Eventos mutuamente exclusivos

Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se AB = Φ

Exemplo: Considere o experimento: jogar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sejam os eventos:
A = ocorrer número par e B = ocorrer números impar.
Logo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}

A e B são considerados mutuamente exclusivos pois A ∩ B = Φ

OPERAÇÕES COM EVENTOS

Considerando A e B dois eventos quaisquer de um espaço amostral E, e representando por x um ponto amostral de E, diremos que:

i) x  A  B  A ou B ocorrer (ou ambos)

ii) x  A  B  A e B ocorrerem simultaneamente

iii) x   = E - A  A não ocorrer

iv) x  A – B  A ocorre, mas B não ocorre

Isto é,

i) A  B = { x E | x A ou x B } (reunião de conjuntos)

ii) A  B = { x E | x A e x B } (intersecção de conjuntos)

iii)  = E - A = { x E | xA } (complementar de A)

iv) A – B = { x E | x A mas xB } (diferença de conjuntos)

Quando acontece A  B = Φ (conjunto vazio), dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

EXEMPLO: Seja E = {1,2,3,4,5,6} o espaço amostral do experimento "tirar uma

bola de uma urna, contendo 6 bolas numeradas de 1 a 6, e

observar o número obtido".

Considerando os eventos A = {1,2} , B = {1,3,5} e C ={2,4,6}, temos que

A  B = {1,2,3,5}

A  B = {1}

 = {3,4,5,6}

 = {2,4,6}

A – B = {2}

B – A = {3,5}

B  C = Φ , (portanto B e C são mutuamente exclusivos)

Questões sobre espaço amostral e eventos

1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.

Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim:

A probabilidade desta bola ser verde é 5/12

2) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?

Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3:

Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3:

A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }

Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4:

B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }

Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos, logo .

Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção, temos:

Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:

Repare que 13 é o número total de peças que possuem 3 ou 4, desconsiderando-se a ocorrência que se repete (o (4 ,3) da intersecção dos dois eventos).

A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face é 13/28.

3) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel?

A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual ¹/₂.

A probabilidade de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é ³/₈ e como a probabilidade de escolhermos a primeira travessa é ¹/₂, temos:

A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda travessa é 4 em 6, isto é ⁴/₆ e como a probabilidade de escolhermos a segunda travessa é igual a ¹/₂, temos:

Então a probabilidade de escolhermos um pastel é igual a:

A probabilidade de se ter pegado um pastel é 25/48.

4) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?

Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas.

Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.

Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:

A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou ainda 25%.

Exercícios:

1) De um baralho de 52 cartas, determine, sob a forma de fração irredutível, a probabilidade de sair:

a) uma dama .

b) uma carta vermelha.

c) uma carta de paus.

2) Um teste tem 4 questões, havendo para cada uma quatro respostas das quais apenas uma é correta.

Respondendo totalmente ao acaso, que probabilidade tem um aluno de acertar em metade das questões?

Apresente a resposta sob a forma de percentagem com uma casa decimal.

3) Lança-se um dado perfeito, de faces numeradas de 1 a 6, 3 vezes seguidas.

Determine, sob a forma de fração irredutível, a probabilidade de:

a) Obter a face com o número 5 .

b) Obter a face com o número 4 e 6 .

c) Obter número par.

d) Obter número ímpar.

 Uma caixa contém 10 bolas numeradas de 1 a 10, sendo as 4 primeiras azuis e as seis últimas vermelhas.

  

4)Retiram-se, sucessivamente e sem reposição duas bolas da caixa.

a) Determine a probabilidade de sair uma bola azul.

b) Determine a probabilidade de sair uma bola vermelha.

5)Numa turma de 30 alunos, 14 praticam basquetebol, 20 futebol e 7 não praticam qualquer modalidade. Escolhendo um aluno ao acaso, determine, sob a forma de fração irredutível, a probabilidade de ele:

a) praticar apenas futebol?

b) não praticar futebol?

c) praticar as duas modalidades?

6)  (PUC-RIO 2010)Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda?

A)	1/8
B)	2/9
C)	1/4
D)	1/3
E)	3/8

 7)(PUC-RIO 2009)Jogamos dois dados comuns. Qual a probabilidade de que o total de pontos seja igual a 10?

A)	1/12
B)	1/11
C)	1/10
D)	2/23
E)	1/6 (http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/)

Comprimento de Circunferência: teoria e exercícios resolvidos

1) Calcule o comprimento de uma circunferência de raio 40 cm.
(Use π = 3,14 )

2) Medindo o comprimento de uma circunferência com um barbante, obteve-se
94,2 cm. Qual a medida do raio e do diâmetro dessa circunferência?
(Use π = 3,14 )

3) O raio da roda de uma bicicleta mede 25cm.
a) Qual o comprimento da circunferência da roda?
b) Quantos centimetros a bicicleta percorrerá após a roda efetuar 30 voltas?
(Use π = 3,14 )

4) Considerando que uma circunferência tem 25cm de raio, responda e assinale a opção correta. (Use π = 3,14 )
a) essa circunferência tem 1.570 cm de comprimento
b) essa circunferência tem 75 cm de diâmetro
c) essa circunferência tem 157 cm de comprimento

5)O raio de uma circunferência mede 10 cm. Determine o comprimento da circunferência?

(Use π = 3,14 )

6)Em cada item abaixo, determine o comprimento da circunferência:

(Use π = 3,14 )
a) o raio mede 5 cm
b) o diametro mede 30 cm

7) O comprimento da circunferência de uma das rodas de uma bicicleta ,mede 125,6 cm. Determine o raio. (Use π = 3,14 )

Respostas:

1 - C = 251,2 cm

2 - d = 30 cm ; r = 30 : 2 = 15 cm

3 - a) C = 157 cm; b) 157 x 30 = 4710 cm

4 - c é a correta

5 - 62,8 cm

6 - a) 31,4 cm; b) 94,2 cm

7 - r = 20 cm

8)Prova Resolvida CFO PM ES 2013 – Exatus – . Donato, patrulheiro militar, utiliza uma bicicleta no exercício da sua função, que é patrulhar uma região turística de Vitória-ES. Sabe-se que o pneu dessa bicicleta possui formato circular de diâmetro medindo 70 cm. Considerando que na última quinta-feira Donato percorreu 21,4 km com essa bicicleta em serviço de patrulhamento, é correto afirmar que o pneu dessa bicicleta deu: (Dado π= 3)

Resolução:

Vamos primeiro calcular quanto o patrulheiro anda após uma volta do pneu.

Pela fórmula do comprimento de uma circunferência:

C = 2.π.r = 2.3.35 = 210 cm = 2,1 metros

Repare que usamos r = 35 cm pois o diâmetro da roda é 70 cm.

Temos que 21,4 km equivalem a 21400 metros.

Como em uma volta ele anda 2,1 metros, e no total ele andou 21400 metros, basta efetuar a divisão:

21400/2,1 = 10190,4 voltas

9)Prova Resolvida PM ES 2013 – Exatus –  Para realizar o teste físico em determinado concurso da PM, os candidatos devem correr ao redor de uma praça circular cujo diâmetro mede 120 m. Uma pessoa que dá 9 voltas ao redor dessa praça percorre: (Dado: π = 3).

a) 1620 m

b) 3240 m

c) 4860 m

d) 6480 m

e) 8100 m

Resolução:

Comprimento de uma circunferência = 2π.r = 2.3.60 = 360m

Como a pessoa dá 9 voltas: 9×360 = 3240m

10)Prova Resolvida PM SC 2011 – Cesiep –  Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50% então o acréscimo percentual em seu comprimento será igual a:

a) 25%

b) 50%

c) 100%

d) 150%

Resolução:

Relembrando a fórmula do comprimento de uma circunferência:

C = 2.π.r

Temos uma função afim.

Claramente se o raio dobra, o comprimento também dobra, se cresce 50%, o comprimento também cresce 50%…

11)Prova Resolvida PM Pará 2012 –  Uma empresa possui em sua sala de reunião uma mesa de vidro redonda que possui lugar para 10 pessoas. Sabendo-se que cada pessoa ocupa um espaço de 50 cm. O diâmetro que essa mesa possui é:

Cabem 10 pessoas na mesa, onde cada uma ocupa 50 cm, então o comprimento da mesa é de 50.10 = 500 cm.

Para calcularmos o raio, precisamos utilizar a fórmula do comprimento de uma circunferência:

C = 2.π.r

500 = 2π.r

r = 500/2π

r = 250/π

Como o diâmetro é o dobro do raio:

D = 2.(250/π) = 500/π