A análise combinatória é um dos tópicos que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los.
Veja um exemplo de um problema de análise combinatória e como montamos os seus agrupamentos.
Dado o conjunto B dos algarismos B = { 1,2,3,4}. Qual a quantidade de números naturais de 3 algarismos que podemos formar utilizando os elementos do grupo B?
Esse é um tipo de problema de análise combinatória, pois teremos que formar agrupamentos, nesse caso formar números de 3 algarismos, ou seja, formar agrupamentos com os elementos do conjunto B tomados de 3 em 3.
Veja como resolveríamos esse problema sem a utilização de critérios ou fórmulas que o estudo da análise combinatória pode nos fornecer.
Esse esquema construído acima representa todos os números naturais de 3 algarismos que podemos formar com os algarismos 1,2,3,4, portanto, concluindo que é possível formar 24 agrupamentos.
Para descobrir essa quantidade de agrupamentos possíveis não é necessário montar todo esse esquema, basta utilizar do estudo da análise combinatória que divide os agrupamentos em Arranjos simples, Combinações simples, Permutações simples e Permutações com elementos repetidos. Cada uma dessas divisões possui uma fórmula e uma maneira diferente de identificação, que iremos estudar nessa seção.
O estudo da análise combinatória é dividido em:
Princípio fundamental da contagem
Fatorial
Arranjos Simples
Permutação Simples
Combinação Simples
Permutação com elementos repetidos.
Fatorial:
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2.
Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2.
Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1
Exemplos:
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) observe que 6! = 6.5.4!
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 10! = 10.9.8.7.6.5!
f ) 10! = 10.9.8!
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) observe que 6! = 6.5.4!
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 10! = 10.9.8.7.6.5!
f ) 10! = 10.9.8!
Princípio fundamental da contagem - PFC:
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Exemplo:
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução:
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução:
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?
Permutações simples:
4.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é
Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .
Exemplos:
a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.
Exemplo:
Os possíveis anagramas da palavra REI são:
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.
Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .
Exemplos:
a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.
Exemplo:
Os possíveis anagramas da palavra REI são:
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.
Permutações com elementos repetidos:
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, belementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:
Exemplo:
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)
Solução:
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever:
k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Resposta: 151200 anagramas.
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)
Solução:
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever:
k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Resposta: 151200 anagramas.
Arranjos simples:
Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
6.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k(taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:
Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)
Exemplo:
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?
Solução:
As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:
10.9.8 = 720.
Observe que 720 = A10,3
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?
Solução:
As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:
10.9.8 = 720.
Observe que 720 = A10,3
Combinações simples:
Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k(taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os nelementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.
Exemplo:
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
Exemplo:
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:
Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:
Exemplo:
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Solução:
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Solução:
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003
Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?
Resp: 120
Resp: 120
02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados?
Resp: 84
Resp: 84
03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
Resp: 48
Resp: 48
Exercício resolvido:
Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?
Solução:
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
N = 2.2.2.2.2.2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.
Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?
Solução:
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
N = 2.2.2.2.2.2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.
