Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução
da equação do 2 grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0).
Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado
(normalmente no conjunto dos reais- R).A partir daí, vários matemáticos
estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente
conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto
de números, chamado de números complexos, que representamos por C.
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C,
o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y) onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1),
podemos escrever que:z=(x,y)=x+yi
Números Complexos
z = (x,y) onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1),
podemos escrever que:z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...Dessa forma, todo o números complexoz=(x,y) pode ser escrito
na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:
x=Re(z, parte real de z e y=Im(z), parte imaginária de z
Igualdade entre números complexos
Doisnúmeros complexos são iguais se, e somente se, apresentam
simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim,
se z1=a+bi e z2=c+di, temos que: z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos,
separadamente, as partes reais e imaginárias desses números.
Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que: z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos,
separadamente, as partes reais e imaginárias desses números.
Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que: z1-z2=(a-c) + (b-d)
Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N,
com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades.
Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o
resto da divisão de n por 4.
Exemplo:
i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos
a multiplicação dois dois binômios, observando os valores das potência
de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-)
=> z-= a-biExemplo:
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3
Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos
o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro
Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretaçãogeométrica dos números
complexos é que deu o impulso para o seu estudo.Assim, representamos
o complexo z = a+bi da seguinte maneira
Forma polar dos números complexos
Da interpretação geométrica, temos que:
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.Operações na forma polar
Sejam z1=ro1(cos t11)e z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:
a)Multiplicação
Divisão
Potenciação
Radiciação
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1
Exercícios Resolvidos
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...Dessa forma, todo o números complexoz=(x,y) pode ser escrito
na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:
x=Re(z, parte real de z e y=Im(z), parte imaginária de z
Doisnúmeros complexos são iguais se, e somente se, apresentam
Para somarmos dois números complexos basta somarmos,
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos,
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N,
com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades.
Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o
resto da divisão de n por 4.
Exemplo:
i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos
a multiplicação dois dois binômios, observando os valores das potência
de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-)
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3
Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos
o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro
Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretaçãogeométrica dos números
complexos é que deu o impulso para o seu estudo.Assim, representamos
o complexo z = a+bi da seguinte maneira
Da interpretação geométrica, temos que:
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.Operações na forma polar
Sejam z1=ro1(cos t11)e z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:
a)Multiplicação
Divisão
Potenciação
Radiciação
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 ( cos 315 + i sen 315 )
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 ( cos 315 + i sen 315 )
Lista de exercícios
1. (UFU-MG) Sejam os complexos z = 2x – 3i e t = 2 + yi,
onde x e y são números reais. Se z = t, então o produto x.y é
A) 6 B) 4 C) 3 D) –3 E) –6
2. (PUC-MG) Qualo é o quociente de (8 + i)/(2 - i) é igual a
A) 1 + 2i B) 2 + i C) 2 + 2i D) 2 + 3i E) 3 + 2i
3. (UFV-MG) Dadas as alternativas abaixo
pode-se dizer que
A) todas as alternativas acima estão corretas
B) todas as alternativas acima estão erradas
C) as alternativas I e III estão erradas
D) as alternativas II, III e IV estão corretas
E) as alternativas I e III estão corretas
4. (MACK-SP) Se I é um número complexo e Ī o seu conjugado,
então, o número de soluções da equação Ī = I2 é:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
5. (ITA-SP) Os complexos u e I, de módulo igual a 1, são
representados no plano de Argand-Gauss por dois pontos
simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação
A) u. Ī = 1 B) u. I = 1 C) u + Ī = 0 D) u. I = 0 E) n.r.a
6. (CESGRANRIO-RJ) O módulo do complexo z, tal que z2 = i, é
A) 0 B) (Ö2)/2 C) 1 D) Ö2 E) 2
7. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i)
seja um imaginário puro?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
8. (MACK-SP) O conjugado de (2 - i)/i vale
A) 1 – 2i B) 1 + 2i C) 1 + 3i D) –1 + 2i E) 2 - i
9. Se n é um inteiro, então o conjunto solução em Z, da equação in + i-n = 0,
onde i = Ö-1, é:
A)
|
{n Є Z/ n é ímpar}
|
B)
|
{n Є Z/ n é par}
|
C)
|
{n Є Z/ n > 0}
|
D)
|
{n Є Z/ n < 0}
|
E)
|
Z
|
10. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i)
seja um imaginário puro?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
11. Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
12. Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z .
13. (UCMG) O número complexo 2z, tal que 5I + Ī = 12 + 6i é:
14. (UCSal) Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real, a deve ser:
15. (UFBA) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac + b é:
16. (Mackenzie-SP) O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
17. Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
18. Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] : i96.240
19. Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi,
sabendo-se que z + w é um número real e z.w.é um imaginário puro ,
pede-se calcular o valor de b2 - 2a.
20. Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x10 + a = 0,
então calcule o valor de a.
21- Determine o número complexo I tal que iI + 2.Ī + 1 - i = 0.
22. (UFMG) Se z = (cos q + i senq) é um número complexo na forma
trigonométrica, mostra-se que zn = rn(cos q + i sen nq) para todo n Î IN.
Essa fórmula é conhecida como fórmula de De Moivre.
A) Demonstre a fórmula de De Moivre para n = 2, ou seja, demonstre
que z2 = r2(cos 2q + i sen 2q).
B) Determine todos os valores de n, n Є IN, para os quais (Ö3 + i)n
seja imaginário puro.
23. (UFMG)
A) Dado o número complexo na forma trigonométrica I = 2[cos (3p/8) + i sen(3p/8)],
escreva os números complexos Ī, I2 e na forma trigonométrica.
B) No plano complexo da figura abaixo, marque e identifique os números I, Ī, I2
e no item acima.
Nessa figura, os ângulos formados por dois raios consecutivos quaisquer
têm a mesma medida.
24. (UFMG) Por três pontos não-colineares do plano complexo, z1, z2 e z3,
passa uma única circunferência.
Sabe-se que um ponto z está sobre essa circunferência se, e somente se,
Seja C a única circunferência que passa pelos pontos z1 = 1, z2 = -3i e z3 = -7 + 4i
do plano complexo.
Assim sendo, determine todos os pontos do plano complexo cuja parte real é igual
a –1 e que estão sobre a circunferência C.
25. (UFMG) 2002 - Observe esta figura:
Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4.
Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados
geometricamente pelos pontos P e Q.
Considerando esses dados, escreva o número complexo z11 / i.w5 na forma
a + bi, em que a e b são números reais.
26. (UEFS) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:
a) -3i b) 1 – i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i e) ½ - (3/2)i
27. (UEFS) Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i b) 1 + 2i c) 1 - 2i d) 3 - 4i e) 3 + 4i
28. (UEFS) Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10 b) 5 e 10 c) 7 e 9 d) 5 e 9 e) 0 e -9
29. (UEFS) A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado
é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö13 b) Ö7 c) 13 d) 7 e) 5
30. (FESP/UPE) Seja z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar
que z8 é igual a:
a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32 + 16i
31. (UCSal) Sabendo que (1 + i)2 = 2i, então o valor da expressão y = (1 + i)48 - (1 + i)49 é:
a) 1 + i b) -1 + i c) 224 . i d) 248 . i e) -224 . i
1) Sendo z = (m^2 - 5m + 6) + (m^2 - 1) i, determine m de modo
que z seja um imaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve
ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m = 2 ou m = 3.
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m = 2 ou m = 3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)^12.
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos
desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade
importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua
parte real é igual a -64.
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)^200.
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo
o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante,
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante,
que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos
que a sua parte imaginária é zero.
lista de exercícios
1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15, calcule Im(z).w + Im(w).z .
3 - UCMG - O número complexo 2.O, tal que 5z + Ō = 12 + 6i é:
4 - UCSal - Para que o produto (a + i). (3 - 2i) seja real, a deve ser:
5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:
6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
7 - Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0. Resp: 3
8 - Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] : i96.240. Resp: 1 + 2i
9 - Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi , sabendo-se
que z + w é um número real e z.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a. Resp: 50
10 - Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a. Resp: 32i
11 - Determine o número complexo z tal que i.O + 2.Ō + 1 - i = 0.
12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:
a) -3i b) 1 - i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i e) 1/2 - (3/2)i
a) -3i b) 1 - i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i e) 1/2 - (3/2)i
13 - UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i b) 1 + 2i c) 1 - 2i d) 3 - 4i e) 3 + 4i
a) -1 + 2i b) 1 + 2i c) 1 - 2i d) 3 - 4i e) 3 + 4i
14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10 b) 5 e 10 c) 7 e 9 d) 5 e 9 e) 0 e -9
a) 1 e 10 b) 5 e 10 c) 7 e 9 d) 5 e 9 e) 0 e -9
15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado
é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö13 b) 7 c) 13 d) 7 e) 5
a) Ö13 b) 7 c) 13 d) 7 e) 5
16 - FESP/UPE - Seja z = 1 + i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar
que z8 é igual a:
a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32 + 16i
a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32 + 16i
17 - UCSal - Sabendo que (1 + i)22 = 2i, então o valor da expressão
y = (1 + i)48 - (1 + i)49 é:
a) 1 + i b) -1 + i c) 224 . i d) 248 . i e) -224 . i
y = (1 + i)48 - (1 + i)49 é:
a) 1 + i b) -1 + i c) 224 . i d) 248 . i e) -224 . i
Nenhum comentário:
Postar um comentário