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quinta-feira, 3 de dezembro de 2015

Explicação e exercícios sobre Números complexos


Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução 
da equação do 2 grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). 
Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado
 (normalmente no conjunto dos reais- R).A partir daí, vários matemáticos
 estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente 
conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto 
de números, chamado de números complexos, que representamos por C.

Resultado de imagem para numeros complexos


Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C,
 o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y) onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), 
podemos escrever que:z=(x,y)=x+yi

Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...Dessa forma, todo o números complexoz=(x,y) pode ser escrito
na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:
x=Re(z, parte real de z e y=Im(z), parte imaginária de z

Igualdade entre números complexos
Doisnúmeros complexos são iguais se, e somente se, apresentam
simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, 
se z1=a+bi e z2=c+di, temos que: z1=z2<==> a=c e b=d

Adição de números complexos 
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, 
separadamente, as partes reais e imaginárias desses números.
 Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que: z1+z2=(a+c) + (b+d)

Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos,
 separadamente, as partes reais e imaginárias desses números.
Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que: z1-z2=(a-c) + (b-d)

Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N,
com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades.
Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde é o
resto da divisão de n por 4.
Exemplo:
i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i

Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos
a multiplicação dois dois binômios, observando os valores das potência
de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1

Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-
=> z-= a-biExemplo:
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3

Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos
 o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]

Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro

Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretaçãogeométrica dos números
 complexos é que deu o impulso para o seu estudo.Assim, representamos
 o complexo z = a+bi da seguinte maneira
Forma polar dos números complexos
Da interpretação geométrica, temos que:

que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.Operações na forma polar
Sejam z1=ro1(cos t11)e z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:
a)Multiplicação

Divisão

Potenciação

Radiciação

para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1

Exercícios Resolvidos


1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2


2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2


3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58


4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5


5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 ( cos 315 + i sen 315 )


Lista de exercícios

1. (UFU-MG) Sejam os complexos z = 2x – 3i  e  t = 2 + yi,
 onde x  e  y são números reais. Se z = t, então o produto x.y é
     A) 6       B) 4       C) 3       D) –3       E) –6
2. (PUC-MG) Qualo é o quociente de (8 + i)/(2 - i) é igual a
     A) 1 + 2i       B) 2 + i       C) 2 + 2i       D) 2 + 3i       E) 3 + 2i
3. (UFV-MG) Dadas as alternativas abaixo
I.  i2 = 1        II. (i + 1)2 = 2i         III. ½4 + 3i½ = 5       IV. (1 + 2i).(1 – 2i) = 5 
pode-se dizer que
A) todas as alternativas acima estão corretas
B) todas as alternativas acima estão erradas
C) as alternativas I e III estão erradas
D) as alternativas II, III e IV estão corretas
E) as alternativas I e III estão corretas
4. (MACK-SP) Se I é um número complexo e Ī o seu conjugado, 
então, o número de soluções da equação Ī = I2 é:
A) 0       B) 1       C) 2       D) 3       E) 4
5. (ITA-SP) Os complexos u e I, de módulo igual a 1, são 
representados no plano de Argand-Gauss por dois pontos
 simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação
A) u. Ī = 1         B) u. I = 1       C) u + Ī = 0       D) u. I = 0       E) n.r.a
6. (CESGRANRIO-RJ) O módulo do complexo z, tal que z2 = i, é
A) 0       B) (Ö2)/2       C) 1       D) Ö2       E) 2
7. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) 
seja um imaginário puro?
A) 5       B) 6       C) 7       D) 8       E) 10
8. (MACK-SP) O conjugado de (2 - i)/i vale
A) 1 – 2i       B) 1 + 2i       C) 1 + 3i       D) –1 + 2i       E) 2 - i
9. Se n é um inteiro, então o conjunto solução em Z, da equação in + i-n = 0, 
onde i = Ö-1, é:
A)
{n Є Z/ n é ímpar}
B)
{n Є Z/ n é par}
C)
{n Є Z/ n > 0}
D)
{n Є Z/ n < 0}
E)
Z
10. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) 
seja um imaginário puro?
A)  5       B)  6       C) 7       D) 8      E) 10
11. Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
12. Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z .
13. (UCMG) O número complexo 2z, tal que 5I + Ī = 12 + 6i é:  
14. (UCSal) Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real, a deve ser:
15. (UFBA) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i  e  c = 4 - 3i , o valor de ac + b é:
16. (Mackenzie-SP) O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
17. Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
18. Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] : i96.240
19. Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi, 
sabendo-se que z + w é um número real e  z.w.é um imaginário puro , 
pede-se calcular o valor de b2 - 2a.
20. Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x10 + a = 0,
 então calcule o valor de a.
21- Determine o número complexo I tal que iI  + 2.Ī + 1 - i = 0.
22. (UFMG) Se z = (cos q + i senq)  é um número complexo na forma
 trigonométrica, mostra-se que zn = rn(cos q + i sen nq) para todo n Î IN. 
Essa fórmula é conhecida como fórmula de De Moivre.
A) Demonstre a fórmula de De Moivre para n = 2, ou seja, demonstre
 que z2 = r2(cos 2q + i sen 2q).
B) Determine todos os valores de n, n Є IN, para os quais  (Ö3 + i)n 
 seja imaginário puro.
23. (UFMG)
A) Dado o número complexo na forma trigonométrica I = 2[cos (3p/8) + i sen(3p/8)],
 escreva os números complexos Ī, I2 e na forma trigonométrica.
B) No plano complexo da figura abaixo, marque e identifique os números I, ĪI2 
e no item acima.
Nessa figura, os ângulos formados por dois raios consecutivos quaisquer 
têm a mesma medida.
24. (UFMG) Por três pontos não-colineares do plano complexo, z1, z2 e z3
passa uma única circunferência.
Sabe-se que um ponto z está sobre essa circunferência se, e somente se, 
for um número real.
Seja C a única circunferência que passa pelos pontos z1 = 1, z2 = -3i e z3 = -7 + 4i
  do plano complexo.
Assim sendo, determine todos os pontos do plano complexo cuja parte real é igual  
a –1  e que estão sobre a circunferência C.
25. (UFMG) 2002 - Observe esta figura:
    
Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4.
Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados 
geometricamente pelos pontos  P e Q.  
Considerando esses dados, escreva o número complexo z11 / i.w5 na forma
 a + bi, em que a e b são números reais.
26. (UEFS) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:
a) -3i      b) 1 – i      c) 5/2 + (5/2)i      d) 5/2 - (3/2)i       e) ½ - (3/2)i
27. (UEFS) Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i      b) 1 + 2i      c) 1 - 2i      d) 3 - 4i      e) 3 + 4i
28. (UEFS) Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10      b) 5 e 10       c) 7 e 9      d) 5 e 9      e) 0 e -9
29. (UEFS) A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado
 é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö13      b) Ö7       c) 13      d) 7      e) 5
30. (FESP/UPE) Seja  z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar 
que z8 é igual a:
a) 16      b) 161      c) 32      d) 32i      e) 32 + 16i
31. (UCSal) Sabendo que (1 + i)2 = 2i, então o valor da expressão y = (1 + i)48 - (1 + i)49 é:
a) 1 + i       b) -1 + i       c) 224 . i       d) 248 . i       e) -224 . i


1) Sendo z = (m^2 - 5m + 6) + (m^2 - 1) i, determine m de modo 

que z seja um imaginário puro.

Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve
 ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m = 2 ou m = 3.




2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)^12.

SoluçãoObserve que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos
 desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade
 importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua 
parte real é igual a -64.


3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)^200.

Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo
 o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, 
que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i)50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos 
que a sua parte imaginária é zero.




lista de exercícios

1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15, calcule Im(z).w + Im(w).z .
3 - UCMG - O número complexo 2.O, tal que 5z + Ō = 12 + 6i é:
4 - UCSal - Para que o produto (a + i). (3 - 2i) seja real, a deve ser:
5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:
6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
7 - Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.   Resp: 3
8 - Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] : i96.240.   Resp: 1 + 2i
9 - Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi , sabendo-se 
que z + w é um número real e z.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.   Resp: 50
10 - Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.  Resp: 32i
11 - Determine o número complexo z tal que i.O + 2.Ō + 1 - i = 0.
12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:
a) -3i       b) 1 - i       c) 5/2 + (5/2)i       d) 5/2 - (3/2)i       e) 1/2 - (3/2)i
13 - UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i       b) 1 + 2i       c) 1 - 2i       d) 3 - 4i       e) 3 + 4i
14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10       b) 5 e 10       c) 7 e 9       d) 5 e 9       e) 0 e -9
15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado 
é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö13      b) 7       c) 13       d) 7       e) 5
16 - FESP/UPE - Seja z = 1 + i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar
 que z8 é igual a:
a) 16       b) 161       c) 32       d) 32i       e) 32 + 16i

17 - UCSal - Sabendo que (1 + i)22 = 2i, então o valor da expressão
y = (1 + i)48 - (1 + i)49 é:
a) 1 + i       b) -1 + i       c) 224 . i       d) 248 . i       e) -224 . i

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