Operações com Radicais

​OPERAÇÕES COM RADICAIS

Da mesma forma que ocorre com os números, podemos executar as operações básicas com os radicais: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação

 Adição e subtração: os radicais não são semelhantes

Neste caso, tiramos as raízes de cada termo e somamos ou subtraímos os resultados. Observe os exemplos abaixo:

a) $\sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9$

b) $\sqrt{64} - \sqrt{36} = 8 - 6 = 2$

 Adição e subtração: os radicais são semelhantes

Basta somar ou subtrair os números que multiplicam o radical. Observe os exemplos abaixo:

a) $4\sqrt{2} + \sqrt{2} = (4 + 1)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

b) $8\sqrt[3]{6} - 5\sqrt[3]{6} = (8 - 5)\sqrt[3]{6} = 3\sqrt[3]{6}$

 

Adição e subtração: os radicais tornam-se semelhantes depois de simplificados

Este é o caso mais complexo, pois é necessário simplificar os radicais. Observe o exemplo abaixo:

$3\sqrt{3} + \sqrt{12} = 3\sqrt{3} + \sqrt{2^2 . 3}$;

$= 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$;

$= 5\sqrt{3}$

 Redução de radicais ao menor índice comum

Reduzir $\sqrt[3]{7}, \sqrt{3} e \sqrt[4]{5^2}$ ao mesmo índice comum.

Para isso, calculamos o m.m.c. dos índices e dividimos o m.m.c. pelos índices de cada radical e multiplica-se o quociente obtido pelo expoente do radicando.

 O m.m.c. dos índices 

$3$, $2$ e $4$ vale $12$.

Dividimos o número $12$ (novo índice comum) pelos índices de cada radical e multiplica-se o quociente obtido pelo expoente do radicando.

$$\sqrt[12]{7^4}, \sqrt[12]{3^6} e \sqrt[12]{5^6}

 Multiplicação e divisão:  os radicais têm o mesmo índice

Neste caso, basta multiplicar ou dividir os radicandos.

a) $\sqrt{3} . \sqrt{4} = \sqrt{3 . 4} = \sqrt{12}$

b) $\sqrt[4]{20} : \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{20 : 4} = \sqrt[4]{5}$

 

 Multiplicação e divisão: os radicais não tem o mesmo índice

Neste caso, é necessário reduzi-los ao mesmo índice.

$\sqrt[3]{2} . \sqrt{5} = \sqrt[6]{2^2} . \sqrt[6]{5^3}$

= $$\sqrt[6]{4} . \sqrt[6]{125} = \sqrt[6]{500}

 Potenciação de radicais

Neste caso, basta elevar o radicando a potência. Observe o exemplo abaixo:

$$\left (\sqrt[7]{2} \right )^5 = \sqrt[7]{2} . \sqrt[7]{2} . \sqrt[7]{2} . \sqrt[7]{2} . \sqrt[7]{2} = \sqrt[7]{2.2.2.2.2} = \sqrt[7]{2^5}

 

Podemos generalizar o exemplo acima:

$\left (\sqrt[n]{a} \right )^p = \left (\sqrt[n]{a^p} \right )$

 Radiciação

Neste caso, temos uma raiz “dentro” de outra raiz. Assim, basta multiplicar os índices de todas as raízes. Observe o exemplo abaixo:

$\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64}$

 

Os índices $3$ e $2$ são multiplicados e o índice final é $6$ ($3 . 2 = 6$).

$\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64}$

 

Podemos generalizar o exemplo acima:

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m.n]{a}

Exercícios:

 1. Calcule o valor da expressão:

 Resolução

 2. Calcule o valor da expressão:

 

Resolução

 

 3. Simplifique a expressão:

 

 

Resolução

 

 

 4. Ache o resultado da expressão:

 

 

 

Resolução