Analise combinatória: princípio fundamental da contagem teoria e exercícios com gabarito

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações, são cálculos que permitem a formação de grupos relacionados à contagem, de forma que faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.

Por isso, a análise combinatória é muito utilizada nos estudos sobre probabilidade e lógica.Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.

Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.

Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.

Vamos ver um vídeo demonstrativo:

Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:

Vamos ver alguns exemplos:

1)De quantas maneiras distintas podemos combinar todo o vestuário que esta no quite de roupa?

Então como podemos ver , são 4 formas diferentes.

2) Quantos tipos de sanduíche podemos fazer?

3) Quantos tipos de combinações de roupas podemos fazer?

Exercícios com gabarito

01. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?

a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16

02. (VUNESP) De uma  urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?

a) 120
b) 72
c) 24
d) 18
e) 12

03. (MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado com uma única cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é:

a) 100
b) 240
c) 729
d) 2916
e) 5040

04. (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?

a) 861
b) 1722
c) 1764
d) 3444
e) 242

05. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O número de equipes de trabalho que poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é:

a) 240
b) 360c) 480d) 600e) 720

06. (MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:

a) 83
b) 84
c) 85
d) 168
e) 169

07. (MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é:

a) 120
b) 108
c) 160
d) 140
e) 128

08. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?

a) 90
b) 21
c) 240
d) 38
e) 80

09. (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é:

a) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56

10. (MACK) Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é:

a) 4
b) 5c) 6d) 7c) 122

Respostas:

01. C	02. C	03. D	04. B
05. E	06. E	07. A	08. A
09. E	10. C

(coladaweb.com.br)

Estatística: população, amostra e variáveis ( Conceitos e exercícios resolvidos)

Toda pesquisa estatística precisa atender a um público alvo, pois é com base nesse conjunto de pessoas que os dados são coletados e analisados de acordo com o princípio da pesquisa. 



População é o público alvo e constitui um conjunto de pessoas que apresentam características próprias, por exemplo: os usuários de um plano de saúde, os membros de uma equipe de futebol, os funcionários de uma empresa, os eleitores de um município, estado ou país, os alunos de uma escola, os associados de um sindicato, os integrantes de uma casa e várias situações que envolvem um grupo geral de elementos. A população também pode ser relacionada a um conjunto de objetos ou informações. 

Amostra diz respeito a uma parte do grupo. Em alguns casos seria impossível entrevistar todos os elementos de uma população, pois levaria muito tempo para concluir o trabalho ou até mesmo seria financeiramente inviável, dessa forma, o número de entrevistados corresponde a uma quantidade determinada de elementos do conjunto, uma amostra. 


Essa pesquisas podem ter objetivos diferentes, ai entram as  variáveis  e podem ser classificadas em qualitativas ou quantitativas. 



As variáveis qualitativas não podem ser expressas numericamente, pois relacionam situações como a cor da pele, cor dos olhos, marca de refrigerante, marca de automóvel, preferência musical entre outras. Elas podem ser divididas em ordinais e nominais. 

a)Variáveis qualitativas ordinais,  não são numéricas mas obedecem a uma relação de ordem, por exemplo: conceitos como ótimo, bom, regular e ruim, classe social, grau de instrução, etc.
b)Variáveis qualitativas nominais não estão relacionadas à ordem, elas são identificadas apenas por nomes, por exemplo, as cores: vermelho, amarelo, preto, azul, rosa, verde, etc. Também como exemplo de nominais temos as marcas de carros, nome de bebidas, local de nascimento entre outros.

Variáveis quantitativas usamos a representação numérica. Elas podem ser classificadas em discretas e contínuas. 
a)Variáveis quantitativas discretas , são representadas por números inteiros, por exemplo: número de revistas vendidas, quantidade de consultas médicas, número de filhos de um casal. 
b)Variáveis quantitativas contínuas, já são representadas por números reais, como exemplo podemos citar: o peso de um produto, altura dos alunos de uma escola, velocidade de objetos, entre outras situações.





Exercícios resolvidos:

1. Pretendia-se fazer um estudo sobre o número de irmãos dos alunos do 10º ano de escolaridade de uma Escola Secundária.
Para isso, efetuou-se um inquérito ao qual responderam 60 alunos.
Indique:	a) a população em estudo
	b) a amostra escolhida;
	c) a variável em estudo e classifique-a. Resposta: População em estudo: todos os alunos do 10º ano da escola. Amostra escolhida: os 60 alunos que responderam ao inquérito. Variável em estudo: n.º de irmãos de cada aluno do 10º ano. Esta variável é quantitativa discreta

2) O gráfico representa a taxa de desemprego na grande São Paulo, medida nos meses de abril, segundo o Dieese:

Analisando o gráfico, podemos afirmar que a maior variação na taxa de desemprego na Grande São Paulo ocorreu no período de

a) abril de 1985 a abril de 1986

b) abril de 1995 a abril de 1996

c) abril de 1997 a abril de 1998

d) abril de 2001 a abril de 2002

(Resposta:  C)

3) As Olimpíadas são uma oportunidade para o congraçamento de um grande número de países, sem discriminação política ou racial, ainda que seus resultados possam refletir características culturais, socioeconômicas e étnicas. Em 2000, nos Jogos Olímpicos de Sydney, o total de medalhas de ouro conquistadas apresentou a seguinte distribuição entre os 196 países participantes, como mostra o gráfico.

Esses resultados mostram que, na distribuição das medalhas de ouro em 2000:

a) cada país participante conquistou pelo menos uma

b) cerca de um terço foi conquistado por apenas três países.

c) os cinco países mais populosos obtiveram os melhores resultados

d) os cinco países mais desenvolvidos obtiveram os melhores resultados

e) cerca de um quarto foi conquistado pelos Estados Unidos.

  (Resposta:  B)

4) As figuras apresentam dados referentes aos consumos de energia elétrica e de água relativo a cinco máquinas industriais de lavar roupa comercializadas no Brasil. 

A máquina ideal, quanto a rendimento econômico e ambiental, é aquela que gasta, simultaneamente, menos energia e água. Com base nessas informações, conclui-se que, no conjunto pesquisado:

a) quanto mais a máquina de lavar roupa economiza água, mais ela consome energia elétrica.

b) a quantidade de energia elétrica consumida pela máquina de lavar roupa é inversamente proporcional à quantidade de água consumida por ela.

c) a máquina I é ideal, de acordo com a definição apresentada

d) a máquina que menos consome energia elétrica não é a que consome menos água.

e) a máquina que mais consome energia elétrica não é a que consome mais água.

  (Resposta:  D)

5) O índice de confiabilidade na economia é um número entre 0 e 100 que mede a confiança dos empresários na economia brasileira. Os gráficos ilustram os valores desses índices para grandes e médios empresários, de outubro de 2002 a outubro de 2003, em dados trimestrais.

Analise a veracidade das afirmações seguintes, escrevendo V para verdadeiro e F para falso, acerca dos índices de confiabilidade na economia brasileira dos grandes e médios empresários, representados no gráfico anterior. O crescimento e decrescimento citados nas afirmações são relativos ao trimestre anterior.

(  ) O índice dos médios empresários sempre cresceu, de jan. 2003 a out. 2003.

(  ) Quando o índice dos médios empresários cresceu, ocorreu o mesmo com o índice do grandes empresários.

(  ) Quando o índice dos grandes empresários decresceu, o índice dos médios empresários decresceu.

(  ) O índice dos grandes empresários sempre foi superior ao índice dos médios empresários.

(  ) Em outubro, o crescimento percentual do índice dos grandes empresários foi igual ao dos médios empresários.

  (Resposta:FVFVF)

6) Na dose certa

O psiquiatra Içami Tiba diz que amor em excesso não é bom na educação dos filhos. A revista Veja quis saber se os leitores concordam com essa afirmação. O resultado:

Considerando que o diagrama representa os percentuais de respostas de 3700 pessoas, o número de pessoas que discordam do psiquiatra é:

a) 3145

b) 2960

c) 2886

d) 2775

 (Resposta:C)

  7) Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas (contínuas ou discretas):

a) Universo: alunos de uma faculdade.Variável: cor dos cabelos

(Resposta: Qualitativa)

 b) Universo: casais residentes em uma cidade.Variável: número de filhos

(Resposta: Quantitativa Discreta/ situação limitada)

 c) Universo: as jogadas de um dado.Variável: o ponto obtido em cada jogada

(Resposta: Quantitativa Discreta/ situação limitada)

 d) Universo: peças produzidas por certa máquina.Variável: número de peças produzidas por hora 

(Resposta: Quantitativa Discreta/ situação limitada)

 8) Quais das variáveis abaixo são discretas e quais são contínuas:

a) População: alunos de uma cidade.Variável: cor dos olhos.

(Resposta: Qualitativa discreta)

 b) População: estação meteorológica de uma cidade.Variável: precipitação pluviométrica, durante um ano. 

(Resposta:Quantitativa Contínua)

c)População: Bolsa de Valores de São Paulo.Variável: número de ações negociadas. 

(Resposta:Quantitativa Contínua)

 d) População: funcionários de uma empresa.Variável: salários. 

(Resposta: Quantitativa Discreta)

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Construindo poliedros com palito de dente e bala de goma

Atividade de matemática 2º Ano do Ensino Médio :Quando estudamos matemática aprendemos sobre geometria, e consequentemente sobre os poliedros que são sólidos geométricos formados por vértices, arestas e faces. Cada face de um poliedro é um polígono, podendo ser triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos e muitos outros. Os cálculos do volume, área lateral, área total, área da base, diagonais e apótemas são feitos através de fórmulas, bem como a relação entre os elementos desses sólidos geométricos.