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quinta-feira, 20 de setembro de 2012

Triângulos: exercícios com gabarito e teoria

TRIÂNGULOS

Conceito: Triângulo é um polígono de três lados





















Na figura acima:
= Os pontos A, B e C são vértices do triângulo.
= Os segmentos AB, BC e CA são os lados do triângulo.
= Os ângulos A, B e C são ângulos internos do triângulo

ÂNGULOS EXTERNO


Angulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno




















PERÍMETRO

O perímetro de um  triângulo é igual à soma das medidas dos seus lados .


Perímetro ABC = AB + AC + BC




CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS 



Quanto aos lados os trângulos se classificam em:


Equilátero quando tem os três lados congruentes.

Isósceles quando tem dois lados congruentes
Escaleno quando não temlados congruentes



















Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em: 

Acutângulo quando te três ângulos agudos 

Retângulo quando tem um ângulo reto.
Obtusângulo quando tem um angulo obtuso



















Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa.


















EXERCÍCIOS


1) Observe o triângulo retangulo e responda:




















a) Quais são os vértices?
b) Quais são os lados?
c) Quais são os ângulos?

2) O perimetro de um triângulo é 25 cm. Dois lados medem respectivamente 7,8 cm e 8,2 cm.  Calcule a medida do terceiro lado?


3) Determine o comprimento do lado BC, sabendo que o perímewtro do triângulo ABC é 48 cm.




















4) O perímetro do triângulo ´34 cm . Determine o comprimento do menor lado.



















5) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos lados.



















6) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos ângulos ;



















7) Observe a figura e responda:



















a) Que nome recebe o lado BC?

b) Que nome recebem os lados AB e AC?



ELEMENTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO


 Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.




















Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um ponto chamado baricentro

Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.




Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um ponto interior chamado incentro.

Altura de um triângulo é o segmento de perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento


Todo o trângulo tem três alturas que se encontram em um ponto chamado ortocentro


SOMA DAS MEDIDAS DOS ANGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO


Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos




















Vamos à demonstração desse teorema.

TEOREMA


Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180° 


Prova




EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 Calcular x no triângulo abaixo:



Calcule x no triângulo abaixo:


 Calcule x no triângulo abaixo:


EXERCÍCIOS

8) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo?

9) Copie e complete o quandro, sendo A,B e C ângulos internos de um triângulo.


10) Determine x em cada um dos triângulos








11) Determine x em cada um dos triângulos:














12) Determine a medida dos ângulos x, y e z.






TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Prova:

consideremos um triângulo ABC. vamos provar que m(ê) = m(Â) + m (B) 




Exemplos

Calcule o valor de x no triângulo abaixo:


EXERCÍCIOS

13) Determine a medida do ângulo externo indicado em cada triângulo:













14) Calcule o valor de x nos triângulos dados:







15) Calcule o valor de x nos triângulos dados:




16) Calcule o valor de x nos triângulos dados:




















17) Calcule o valor de x:







18) Calcule w e y :




CONCRÊNCIA DE TRIÂNGULOS


Intuitivamente, dois triângulos ABC e RST são congruentes se for possivel transportar um deles sobre o outro, de modo que eles coincidam.


Definição

Dois triângulos são chamados congruentes quando os lados e os angulos correspondentes são congruentes.

logo:



CASOS DE  CONGRUÊNCIA

O estudo dos casos de congruência de dois triângulos tem por finalidade estabelecer o menor número de condições para que dois triângulos sejam congruêntes.

1º CAS0 : L. L. L. ( lado, lado, lado)

Dois triângulos que têm os três lados respectivamente congruentes são congruentes.



2º CASO L. A. L. (lado, ângulo,  lado)

Dois treângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formados respectivamente congruentes são con gruentes.


3º CASO A. L. A. ( ângulo, lado , ângulo)

Dois triângulos que tem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.

4º CASO : L. A. A° ( lado , ângulo, ângulo oposto)

Dois trângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.



EXERCÍCIOS

19) Cite, em cada item, o caso de congruência dos triângulos.












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