Quadriláteros: exercícios e teoria

QUADRILÁTEROS


CONCEITO

QUADRILÁTERO é um poligono de quatro lados.

No quadrilátero ao abaixo destacamos:

- Vértices: A, B, C, D
- Lados : AB, BC, CD e DA
- Ângulos internos : A, B, C, e D
- Lados opostos : AB e CD, AD e BC
- Ângulos opostos : A e C, B e D

Lembre-se de que um quadrilatero é convexo quando qualquer sgmento com extremeidades no quadrilatero está contido nele.

Estudaremos apenas os quadriláteros convexos.

DIAGONAL

O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado diagonal.

Na figura, AC e BD são diagonais.


EXERCÍCIOS

1) Observe o quadrilátero e responda:

a) Quais são os lados ?
b) Quais são os vértices?
c) Quais são os ângulos internos?
d) Quais são as diagonais indicadas?

2) Considere o quadrilátero ABCD

a) Nomeie os dois pares de lados oposto.
b) Nomeie os dois pares de ângulos opostos.

3)  Perímetro de um quadrilátero mede 41 cm . Quanto mede cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2, 3x + 1  e  2x -4?


SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM QUADRILÁTERO

ABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide em dois triângulos

veja:

A soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos ângulos internos do quadrilátero, logo:

A soma dos ângulos internos de um quadrilatero é : 180° + 180° = 360°

EXERCICIOS

4) Calcule o valor de x nos quadrilateros;

5) Calcule o valor de x nos seguiontes quadrilateros:

6) Calcule o valor de x nos quadriláteros:

7) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras:

8) Calcule x na figura:

PARALELOGRAMOS

Paralelogramo é o quadrilatero que tem os lados opostos paralelos

tipos de paralelogramos

Retangulo - Possui quatro ângulos retos

Losango - Possui os quatro lados congruentes.

Quadrado - Possui os qutro lados congruentes e os quatro ângulos retos

note que:

- todo o quadrado é um losango

- todo quadro é um retângulo

TEOREMA

Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

Prova:

Exercicios Resolvidos

9) Determine as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:

Solução:

a) Pelo teorema anterior : x = 50°

b) y + 50° = 180°  ( os ângulos não opostos são suplementares)

----y = 180° - 50°

----y = 130°

c) Pelo teorema anterior: z = 130°

2) Calcule o valor de x no paralelogramo abaixo:

EXERCÍCIOS

10) Observe a figura e calcule as medidas de x,y,z e w

11) Baseado nos resultados do exercícios anteriores, responda:

Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes?

12) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes:

13) Calcule o valor de x nos paralelogramos abaixo:

14) Calcule o valor de x nos paralelogramos abaixo:

Problemas resolvidos sistemas de equações com 2 incógnitas

 1) Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km em duas etapas, de modo que na primeira etapa percorra 60 km a mais que na segunda. Quantos quilômetros ele deverá percorrer em cada etapa?

 2) A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3. Determinar esses números.

 3) Um número é o quádruplo de outro e a soma dos dois é 40. Quais são os números?

 4) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130, e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Qual é o números de automóveis e bicicletas que se encontram no pátio?

 5) No zoológico há cisnes e girafas. São 96 cabeças e 242 patas. Quantos são os cisnes? E as girafas?

 6) Um tomate e um pepino pesam juntos 140g. Para fazer o equilíbrio da balança é preciso colocar 5 tomates de um lado e 2 pepinos do outro.Quanto pesa um tomate? E um pepino?

 7) A soma de dois números é 2 e a diferença é 6. Quais são os números?

 8) Quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00. Cinco camisetas e sete calções custam R$ 138,00. Qual é o preço de cada peça?

 9) Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de 15, e as guardou numa caixa. Contou em seguida 108 patas. Quantas aranhas e joaninhas ele apanhou? (lembre se que a aranha tem 8 patas e a joaninha 6)

 10) A diferença entre dois números é 3. O maior é 3/2 do menor. Quais são os números?


Resolução:
1)
Y = X + 60 
X + Y = 780 
X + X + 60 = 780 
2X = 780 - 60 
2X = 720 
X = 720/2 
X = 360 
Y = X + 60 
Y = 360 + 60 = 420 
Logo : 1a. Etapa 420 km, e 2a. Etapa 360 Km 

2)

A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3. Determine esses números. 
X + Y = 15 
X - Y = 3 = X = 3 + Y 

3 + Y + Y = 15 
2Y = 15 - 3 
Y = 12/2 
Y = 6 

X = 3 + Y 
X = 3 +6 
X = 9 

Logo os números são 6 e 9 

3)

Um número ao quádruplo de outro e a soma de dois é 40. Quais são os números? 
Y = 4X 
Y + X = 40 
4X + X = 40 
5X = 40 
X = 40/5 
X = 8 

Y = 4X 
Y = 4.8 = 32 

Logo os números são 8 e 32 

4)

4x+2y=130--------2y=(130-4x), y=(130-4x)/2 
y=3x 
3x=(130-4x)/2 
6x+4x=130 
10x=130 
x=130/10 
x=13, são os carros 
y=3x 
y=3*13 
y=39, são as bicicletas 
total:39+13=52 veículos

5)

25 girafas e 71 cisnes

6) Pepino 100 gr e tomate 40 gr

7) x=4 e y= -2

8) 9 Calções  e 15 camisetas

9) 9 aranhas e 6 joaninhas

10) 9 e 6