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sexta-feira, 23 de agosto de 2013

Potenciação : exercícios de vestibular, exemplos e teoria




Resultado de imagem para potenciaçao

O número real a é chamado de base e o número natural n é chamado de expoente da potência.Potência é um produto de fatores iguais.

Exemplos

a) 2⁴ = 2 . 2 . 2 .2 = 16
b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49
c) (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8
d) (1/2)² = (1/2) . (1/2) = ¼



CASOS PARTICULARES


1) Toda potência de expoente 1 é igual à base.

a¹ = a

exemplo: (-3)¹ = -3

2) Toda potência de espoente zero é igual a 1.

a⁰ = 1
exemplo: (-5)⁰ = 1

3) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo.

a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a≠0 e n inteiro)

exemplo: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8


EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) 7² = (R:49)
b) 4² = (R: 16)
c) 2⁵ = (R: 32)
d) 8¹ = (R: 8)
e) 9⁰ = (R: 1)
f) (-9)² = (R: 81)
g) (-5)³ = (R: -125)
h) (-1)⁷ = (R: -1)
i) (-15)¹ = (R: -15)
j) (-10)⁰ = (R: 1)
k) (+3)⁴ = (R: 81)
l) (-1)⁵⁶ = (R: 1)
m) (-10)⁵ = (R: -100000)



2) Calcule:

a) 2⁵ = (R: 32)
b) (-2)⁵ = (R: -32)
c) -2⁵ = (R: -32)
d) 2⁴ = (R: 16)
e) (-2)⁴ = (R: 16)
f) -2⁴ = (R: -16)
g) –(-3)⁴ = (R: -81)
h) –(-5)³ = (R: 125)
i) –(+2)⁶ = (R: -64)



3) Calcule:

a) (3/2)² = (R: 9/4)
b) (-1/2)⁴ = (R: 1/16)
c) (-1/3)³ = (R: (-1/27))
d) (-4/5)⁰ = (R: 1)
e) (-5/9)¹ = (R: (-5/9))
f) (+7/8)¹ = (R: 7/8)
g) (-1/2)⁵ = (R: (-1/32))
h) (-4/3)² = (R: 16/9)



4)Calcule:

a) 7⁻² = (R: 1/49)
b) 5⁻³ = (R: 1/125)
c) 2⁻⁴ = (R: 1/16)
d) 2⁻⁵ = (R: 1/32)
e) (-3)⁻² = (R: 1/9)
f) –(-3)⁻² = (R: (-1/9))



5)Calcule:

a) (3/2)⁻² = (R: 4/9)
b) (1/2)⁻³ = (R: 8)
c) (2/3)⁻² = (R: 9/4)
d) (-1/4)⁻² = (R: 16)
e) (5/2)⁻³ = (R: 8/125)
f) (-1/2)⁻⁴ = (R: 16)



6 Calcule:

a) (-4)² - 3 = (R: 13)
b) 1 + (-2)³ = (R: -7)
c) -2 + (-5)² = (R: 23)
d) 15 + (-1)⁷ -2 = (R: 12)
e) (-2)² + (-3)³ +1 = (R: -22)
f) (-9)² -2 –(-3) -6 = (R: 76)
g) (-2) . (-7) + (-3)² = (R: 23)
h) (-1)³ + 3 + (-2) . (-5) = (R: 12)



7) Calcule o valor das expressões:

a) (-4/3)² - 1 = (R: 7/9)
b) 3/2 + (-1/2)² -8 = (R: (-25/4))
a) (1 - ½)² + (-1 + ½)³ = (R: 1/8)
b) (1 + ½)² - ¼ = (R: 2)

POTÊNCIA COM MESMA BASE

Para facilitar as operações entre potencias, emprega-se as seguintes propriedades:

1) aⁿ . aⁿ = aⁿ ⁺ ⁿ
exemplo: 2³ . 2⁸ = 2¹¹

2) aⁿ : aⁿ = aⁿ ⁻ ⁿ
exemplo: 3¹⁰ : 3² = 3⁸

3) (aⁿ)ⁿ = aⁿ ˙ ⁿ
exemplo: (7³)⁴ = 7³ ˙ ⁴ = 7¹²

4) (a . b )ⁿ = aⁿ . bⁿ
exemplo (5 . 3)² = 5². 3²


EXERCÍCIOS

1) Classifique como verdadeiro ou falso:

a) 5⁷ . 5² = 5⁹ (v)
b) 3⁹ : 3⁴ = 3⁵ (v)
c) 8⁵ : 8⁻³ = 8² (f)
d) 7⁵ – 7³ = 7² (f)
e) 7⁶⁻⁵ = 7⁶ / 7⁵ (v)
f) (7³)² = 7⁵ (f)
g) ( 5 + 2 )² = 5² + 2² (f)
h) 3² + 3³ + 3⁵ = 3¹⁰ (f)

2) Simplifique, aplicando a propriedades de potência:

a) (3 . 7)⁵ . ( 3 .7 )² = (R: 3⁷ . 7⁷)
b) (5xy²) . (2x²y³) = (R: 10x³y⁵)
c) ( a² . b)² . (a . b)³ = (R: a⁷ . b⁵)
d) (7xy²)² . (x³y²)⁴ = (R: 49x¹⁴y¹²)

3) Calcule:

a) (-3)² + 6² = (R: 45)
b) 3² + (-5)² = (R: 34)
c) (-2)³ - (-1)³ = (R: -7)
d) 5² - 3⁴ - (-1)⁹ = (R: -55)
e) (-10)² - (-3) = (R: 103)
f) 5 . (-3)² + 1 - 6⁰ = (R: 45)
g) 4 . (-1) . (-3)² = (R: -36)
h) -4 . 6 . (-1)⁷ = (R: 24)
i) (-7)² - 4 . 2 . (-2) = (R: 65)
j) (-6)² - 4 . (-3) . (-3) = (R: 0)


 1) (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2(-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Solução:
 Para determinar o número de elementos distintos é suficiente que calculemos cada um deles. Assim temos:
 2 = 2 x 2 x 2 x 2 = 164
  • 42 = 4 x 4 = 16
  • 4 = 1/ 4 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)-22
  • (-4) = (-4) x (-4) = 16 (potência par de base negativa tem como resultado um número positivo)2
  • (-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem)
  • (-2)-4 = 1/(-2)4 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)
Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta é a b).

2) (FEI-SP) O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2)-1:(-3) é:

a) 1
b) -5/6
c) -5/3
d) -5/2
Solução:
 Todos sabem, após a leitura atenta do artigo sobre potenciação – propriedade e) -, que (-2)-1 = -1/2. Logo:
A = (-2) + (-3) x (-1/2) : (-3) = (-2) + (3/2) : (-3) = (-2) – [3/(2 x 3)]
Cancelando o 3 na expressão entre colchetes (note que nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as propriedades do produto de números relativos de mesmo sinal e a divisão de números relativos com sinais diferentes – lembram-se!):

A = (-2) – 1/2 = (-4 – 1)/2 = -5/2

Resposta d).

3) (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 108 . 4 . 10-3 é:
a) 206
b) 2 . 106
c) 2 . 109
d) 20 . 10-4
Solução:
 Como em um produto a ordem dos fatores não altera o resultado, podemos reescrever B como:
B = 5 . 4 . 108 . 10-3 = 20 . 108 . 10-3 = 20 . 108-3
Na última passagem utilizamos a propriedade b). E para finalizar, com o uso novamente da mesma propriedade:
B = 2 . 10 . 105 = 2 . 101+5 = 2 . 106
Resposta b).
4) (PUC-SP) O valor da expressão C = (10-3 x 105) / (10 x 104) é:
a) 10
b) 1000
c) 10-2
d) 10-3
Solução:
 Novamente, pela propriedade b) vem que:

C = 10-3+5 / 101+4 = 102 / 105

E, pela propriedade c) temos:

C = 102-5 = 10-3

Resposta d).

5) Se 53a = 64, o valor de 5-a é:

a) 1/4
b) 1/40
c) -1/4
d) 1/20

Inicialmente, observe que pela propriedade d):

53a = (5a)3 e que 64 = (22)3

Como os expoentes das potências são iguais, necessariamente também são suas bases. Ou se você preferir, extraindo-se a raiz cúbica dos termos, obtemos:

5a = 22 = 4

Invertendo os membros da igualdade vem:

1/5a = 1/4

E finalmente, pela propriedade e):

5-a = 1/4
Resposta a).
 01.  Calcular: 23; (-2)3; ; -23
02.  Calcular: (0,2)4; (0,1)3
03.  Calcular: 2-3; (-2)-3; -2-3 
 04.  O valor da expressão (-1)0 + (-6) : (-2) – 24 é: 

 a) 20
 b) -12
 c) 19,5
 d) 12
 e) 10  
  
05.  (USF) Dadas as expressões A = -a2 – 2a + 5 e B = b2 + 2b + 5: 
  
 a) Se a = 2 e b = -2, então A = B;
 b) Se a = 2 e b = 2, então A = B;
 c) Se a = -2 e b = -2, então A = B;
 d) Se a = -2 e b = 2, então A = B;
e) Se a = -2 e b = 2, então A = B. 

 06.  (UFSM)Números que assustam:

 * 5,68 bilhões de pessoas vivem hoje no planeta.
 * 5,7 bilhões de pessoas eram estimadas para viver no planeta hoje.
 * 90 milhões nascem a cada ano.
 * 800 milhões passam fome.
 * 8,5 é a média de filhos por mulher em Ruanda.
 * 1,4% da renda mundial está nas mãos dos 20% mais pobres.
 * 35 milhões de pessoas migraram do hemisfério Sul para o Norte nas últimas três décadas. (Fonte: ONU)  

De acordo com o texto, os números que representam a quantidade de pessoas que vivem no planeta, nasce a cada ano e passa fome são, respectivamente:  

a) 568 . 109; 9 . 106; 8 . 106
 b) 5,68 . 106; 9 . 106; 8 . 106
 c) 568 . 107; 9 . 107; 80 . 107
 d) 56,8 . 109; 90 . 109; 8 . 109
 e) 568 . 108; 90 . 106; 80 . 106 
  
07.  (FATEC) Das três sentenças abaixo: 
   
I. 2x+3 = 2x . 23
 II. (25)x = 52x
 III. 2x + 3x = 5x
  
a) somente a I é verdadeira;
b) somente a II é verdadeira;
c) somente a III é verdadeira;
d) somente a II é falsa;
 e) somente a III é falsa. 

 08.  Simplificando a expressão [29 : (22 . 2)3]-3, obtém-se: 
  a) 236
 b) 2-30
 c) 2-6
 d) 1
 e) a 

 09.  Se 53a = 64, o valor de 5-a é: 
  
a) –1/4
 b) 1/40
 c) 1/20
 d) 1/8
 e) ¼ 

 10.  (FUVEST) O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é: 

 a) 0,0264
 b) 0,0336
 c) 0,1056
 d) 0,2568
 e) 0,6256  

 Resolução:
 01. 23 = 8; (-2)3 = -8; -23 = -8
 02. (0,2)4 = 0,0016; (0,1)3 = 0,001 
  03. 2-3 = 0,125; (-2)-3 = -0,125; -2-3 = -0,125 
04 - A05 - C06 - C07 - E
08 - B09 - E10 - D

11) (UFRGS) O valor da expressão é:





(A) -4
(B) 1/9
(C) 1
(D) 5/4
(E) 9

12) (PUC-RS) A expressão





é igual a:

(A) 164
(B) 83
(C) 82
(D) 45
(E) 41

13) (FUVEST) Dos números abaixo, o que está mais próximo de





(A) 0,625
(B) 6,25
(C) 62,5
(D) 625
(E) 6250


Gabarito
01) E
02) E
03) E



 14)(PUC-SP) O valor da expressão :
                                               

a) 10
b) 10³
c) 10-2
d) 10-3

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