Matemática por trás dos jogos: Xadrez

 

O xadrez é frequentemente associado à estratégia, inteligência e concentração. Mas por trás das jogadas e táticas engenhosas, há uma estrutura profundamente matemática que dá forma a esse jogo milenar.  Desde o arranjo das peças até os movimentos que cada uma pode fazer, tudo no xadrez pode ser analisado e compreendido por meio da matemática.

Neste artigo, irei explorar três aspectos fascinantes: o tabuleiro e suas combinações, o número impressionante de partidas possíveis e como a geometria entra em cena com os movimentos das peças.

O Tabuleiro: Composições e Possibilidades

O tabuleiro de xadrez é um quadrado de 8 linhas por 8 colunas — um total de 64 casas. Pode parecer simples à primeira vista, mas as possibilidades crescem rapidamente quando começamos a mexer as peças. No início do jogo, as peças brancas têm 8 peões que podem se mover 1 ou 2 casas (totalizando 16 possibilidades) e 2 cavalos que podem ir para 2 posições diferentes cada (mais 4 possibilidades), que totalizam 20 jogadas possíveis na primeira rodada das brancas. Quando consideramos as respostas das pretas, já estamos diante de 400 combinações possíveis (20 jogadas das brancas × 20 jogadas das pretas). E isso é só o começo. À medida que o jogo avança, o número de movimentos se multiplica rapidamente. Em poucas jogadas, já existem milhões de posições diferentes possíveis.

O Número de Shannon: Uma Complexidade Imensurável

Em 1950, o matemático Claude Shannon (considerado o pai da teoria da informação) tentou estimar quantas partidas diferentes de xadrez podem ser jogadas do início ao fim. Ele chegou a um número aproximado de: 10120 partidas possíveis. Mas, quão grande o número de Shannon é? Só para começar a entender, este número tem 120 zeros! Para comparar: Estima-se que existam cerca de 1080 átomos no universo observável, ou seja, o número de partidas possíveis de xadrez é muito maior que o número de átomos do universo!

Isso evidencia o porquê do xadrez ser um jogo tão rico e porque não existe uma maneira simples de decorar todas as possibilidades. Os jogadores precisam confiar em padrões, estratégias e… matemática.

A Geometria dos Movimentos das Peças

Cada peça no xadrez tem um padrão específico de movimento. Entender esses padrões é um exercício de geometria — mais especificamente de geometria discreta. Vamos ver como isso se aplica às peças:

Torre: Move-se em linha reta, na horizontal ou vertical. No tabuleiro, segue as linhas e colunas.

Bispo: Move-se nas diagonais, como se estivesse indo “na transversal”. Segue as casas da mesma cor sempre (branca ou preta).

Cavalo: O mais especial: anda em forma de “L”. Dois passos em uma direção (vertical ou horizontal) mais um passo em ângulo reto. Ele “salta” por cima de outras peças, algo que nenhuma outra peça faz.

Rainha: Combina o movimento da torre e do bispo. Pode andar em linha reta ou nas diagonais, para qualquer direção.

Rei: Move-se uma casa por vez, em qualquer direção.

Esses movimentos criam trajetórias previsíveis no tabuleiro. Por isso, muitos jogadores experientes “visualizam” o tabuleiro como um plano cartesiano e usam essa intuição para prever ataques e defender posições.

Funções heurísticas: Análise da vantagem ou desvantagem

Além dos padrões geométricos, jogadores e programas de computador usam o que chamamos de funções heurísticas. Trata-se de uma fórmula simples que ajuda a avaliar rapidamente uma posição no tabuleiro, sem precisar calcular todas as jogadas possíveis. Um computador pode usar uma função que atribui pontos a cada peça:

Peão: 1 ponto

Cavalo e bispo: 3 pontos

Torre: 5 pontos

Rainha: 9 pontos

Somando os pontos de cada lado, o programa “estima” quem está em vantagem naquele momento. Jogadores experientes fazem essa avaliação frequentemente para ajudar a decidir os próximos movimentos. Essas funções não são perfeitas, mas ajudam a tomar decisões rápidas, especialmente quando há bilhões de possibilidades para analisar.