Operações com Polinômios: exercícios resolvidos e teoria

ADIÇÃO DE POLINÔMIOS

(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal

–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes

–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência

–3x³ – 2x² + 7x – 3



EXERCÍCIOS 

1) Efetue as seguintes adições de polinômios:

a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) _______ (R:5x² -2x + 1)
b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) ______ (R:3x² + 8x - 10)
c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) ________ (R:7x -4y +2)
d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) _______ (R:7x²+ 1)
e) (4x+3y+1)+(6x-2y-9) _________ (R:10x +1y-8)
f) (2x³+5x²+4x)+(2x³-3x²+x) _____ (R:4x³ +2x²+ 5x)
g) (5x²-2ax+a²)+(-3x²+2ax-a²) ____ (R: 2x²)
h) (y²+3y-5)+(-3y+7-5y²) ________ (R: -4y² + 2)
i) (x²-5x+3)+(-4x²-2x) __________ (R:-3x² - 7x + 3)
j) (9x²-4x-3)+(3x²-10) __________ (R:12x² -4x- 13)



SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS

EXEMPLO
(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal

–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes

–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência

3x³ – 2x² + 3x – 1


EXERCÍCIOS

1) Efetue as seguintes subtrações:
a) (5x²-4x+7)-(3x²+7x-1) _____ (R: 2x² - 11x + 8)
b) (6x²-6x+9)-(3x²+8x-2) _____ (R: 3x² - 14x + 11)
c) (7x-4y+2)-(2x-2y+5) _______ (R: 5x - 2y – 3)
d) (4x-y-1)-(9x+y+3) _________ (R: -5x – 2y – 4)
e) (-2a²-3ª+6)-(-4a²-5ª+6) _____ ( R: 2a² +2a)
f) (4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x) ___ (R: -3x³ - 5x)
g) (x²-5x+3)-(4x²+6) _________ (R: -3x² -5x -3)
h) (x²+2xy+y²)-(y²+x²+2xy) ____ (R: 0)
i) (7ab+4c-3a)-(5c+4a-10) ______ (R: 7ab -c-7a + 10)


MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS


EXEMPLOS
a)Multiplicação de polinômio por monômio

Para entendermos melhor, observe o exemplo:

(3x²) * (5x³ + 8x² – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação

15x⁵ + 24x⁴ – 3x³

b)Multiplicação de polinômio por polinômio

Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:

(x – 1) * (x² + 2x - 6)


x² * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)

(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)

x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.

x³ + x² – 8x + 6

Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.


EXERCÍCIOS

1) Calcule os produtos

a) 3(x+y) ____ (R: 3x +3y)
b) 7(x-2y) ___ (R: 7x - 14y)
c) 2x(x+y) ___ (R: 2x² + 2xy)
d) 4x (a+b) ___ (R: 4xa + 4xb)
e) 2x(x²-2x+5) _ (R:2x³ - 4x² + 10x)
f) (x+5).(x+2) __ (R: x² +7x +10)
g) (3x+2).(2x+1) __ (R: 6x² +7x + 2)
h) (x+7).(x-4) ____ (R: x² +3x -28)
i) (3x+4).(2x-1) ___ (R: 6x² +5x -4)
j) (x-4y).(x-y) ____ (R: x² -5xy + 4y²)
k) (5x-2).(2x-1) ___ (R: 10x² -9x + 2)
l) (3x+1).(3x-1) ___ (R: 9x² - 1)
m) (2x+5).(2x-5) __ (R: 4x² - 25)
n) (6x²-4).(6x²+4) __ (R:
o) (3x²-4x-3).(x+1) __ (R: 3x³ - 1x² - 7x -3)
p) (x²-x-1).(x-3) _____ (R: x³ - 4x² + 2x + 3)
q) (x-1).(x-2).(x-3) ____ (R: x³ - 6x² - 3x - 9)
r) (x+2).(x-1).(x+3) ____ (R: x³ + 4x² + 3x + 1)
s) (x³-2).(x³+8) _______ (R:
t) (x²+2).(x²+6) _______ (R:



DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM MONÔMIO

Vamos efetuar as divisões:

a) (8x⁵ - 6x⁴) : (+2x) = 4x⁴ - 3x³
b) (15x³ - 4x²) : (-5x) = -3x² + 4x/5


Conclusão:Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.

EXERCÍCIOS

1) Efetue as divisões:
a) ( 12x² - 8x) : (+2x) =
b) (3y³ + 6y²) : (3y) =
c) ( 10x² + 6x) : (-2x) =
d) (4x³ - 9x) : (+3x) =
e) ( 15x³ - 10x²) : (5x²)
f) (30x² - 20xy) : (-10x)
g) (-18x² + 8x) : (+2x)
h) (6x²y – 4xy²) : (-2x)

2) Efetue as Divisões:

a) ( x³ + 2x² + x ) : (+x) =
b) (x² + x³ + x⁴) : (+x²) =
c) (3x⁴ - 6x³ + 10x²) : (-2x²) =
d) (x⁷ + x⁵ + x³) : (-x²) =
e) (3x²y – 18xy²) : (+3xy) =
f) (7x³y – 8x²y²) : (-2xy) =
g) (4x²y + 2xy – 6xy²) : (-2xy) =
h) (20x¹² - 16x⁸ - 8x⁵) : ( +4x⁴) =
i) (3xy⁴ + 9x²y – 12xy²) : (+3xy) =




DIVISÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO
explicaremos como se efetua a divisão de polinômios pelo método de chaves, por meio de exemplos.

Exemplo 1 Vamos efetuar a divisão:

(2x² - 5x - 12) : ( x -4)

Observe que os polinômios estão ordenados segundo as potências decrescentes de x.

a)Coloque o polinômio assim:

















b) Divida o primeiro termo do dividendo (2x²) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o primeiro termo do quosciente (2x)
















c) Multiplique o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor , colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo. A seguir , reduza só termos semelhantes:




















Exemplo 2

Vamos calcular a divisão

Terminamos a divisão, pois o grau de x - 1 (resto) é inferior ao de 2x² - 3x + 1 (divisor)

logo: quociente : 3x² - x - 6
resto: x -1


EXERCÍCIOS

1) Calcule os quocientes:

a) ( x² + 5x + 6) : (x + 2)
b) (x² - 7x + 10 ) : ( x - 2)
c) (2x² + 6x + 4 ) : ( x + 1)
d) ( x³ - 6x² + 11x – 6) : ( x – 3)
e) ( 7x³ + 27x² - 3x + 4 ) : ( x + 4)
f) (2x³ + 3x² - x – 2) : ( 2x – 3)
g) ( x³ - 6x² + 7x + 4) : (x² - 2x – 1)
h) (3x³ - 13x² + 37x – 50 ) : ( x² -2x + 5)
i) ( 10x³ - 31x² + 26x – 3) : ( 5x² - 8x + 1)
j) ( 4x⁴ - 14x³ + 15x² -17x + 5 ) : (x² - 3x + 1)

(Material de referência http/jmpmat2.blogspot.com)

Exercícios de critérios de divisibilidade

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 

a) Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando termina em 0,2,4,6 ou 8 isto é quando é um número par.

Exemplos

a) 536 é divisível por 2 pois termina em 6.

b) 243 não é divisível por 2 pois termina em 3

EXERCÍCIOS

1) Quais desses números são divisíveis por 2 ?

a) 43

b) 58 

c) 62 

d) 93

e) 106 

f) 688 

g) 981

h) 1000 

i) 3214 

j) 6847

l) 14649

m) 211116 

n) 240377

o) 800001

p) 647731350 

b) Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplos

a) 267 é divisível por 3 porque a soma:

2 + 6 + 7 = 15 é divisível por 3.

b) 2538 é divisível por 3, porque a soma:

2 + 5 + 3 + 8 = 18 é divisível por 3.

c) 1342 não é divisível por 3, porque a soma:

1 + 3 + 4 + 2 = 10 não é divisível por 3

EXERCÍCIOS

2) Quais desses números são divisíveis por 3?

a) 72 

b) 83

c) 58

d) 96 

e) 123 

f) 431

g) 583

h) 609 

i) 1111

j) 1375

l) 1272 

m) 4932 

n) 251463 

o) 1040511 

p) 8000240

q) 7112610 

c) Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando os dois ultimos algarismos forem zero ou formarem um número divisível por 4.

Exemplos

a) 500 é divisível por 4 porque seus dois últimos algarismos são zero

b) 732 é divisível por 4 porque o número 32 é divisível por 4

c) 813 não é divisível por 4 porque 13 não é divisível por 4

EXERCÍCIOS

3) Quais desses números são divisíveis por 4?

a) 200 

b) 323

c) 832 

d) 918

e) 1020 

f) 3725

g) 4636 

h) 7812 

i) 19012 

j) 24714

l) 31433

m) 58347

n) 1520648 

o) 3408549

p) 5331122

q) 2000008

4) Dentre os números 42, 105, 222, 408, 512, 666, 705, 777, 800, 824, 900, 1005, 1124, 1260, 1344, 1455, 1600, 1737, 1824, 1946 e 2000, diga aqueles que são: 

a) Divisíveis por 2.

b) Divisíveis por 3.

c) Divisíveis por 4. 

d) Divisíveis por 5. 

e) Divisíveis por 6. 

f) Divisíveis por 8. 

g) Divisíveis por 9.

h) Divisíveis por 10.


5)Qual é o menor algarismo que podemos escrever no lugar da letra x para que o número:

a)    9 3 x seja divisível por 2.

b)    2 3 1 x seja divisível por 3.

c)    5 2 4 x seja divisível por 4.

d)    2 3 1 x seja divisível por 5.

Exercícios de multiplicação de números decimais

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

Fazemos a multiplicação normal e acrescentamos a vírgula no final. O números de casas decimais da continha é igual a soma do número de casas decimais dos fatores.

Exemplo





EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações

a) 2 x 1,7=
b) 0,5 x 4 =
c) 0,5 x 7 =
d) 0,25 x 3 =
f) 6 x 3,21 =

2) Efetue as multiplicações

a) 5,7 x 1,4 =
b) 0,42 x 0,3 =
c) 7,14 x 2,3 =
d) 14,5 x 0,5 =
e) 13,2 x 0,16 =
f) 7,04 x 5 =
g) 21,8 x 0,32 =
h) 3,12 x 2,81 =
i) 2,14 x 0,008 =
j) 4,092 x 0,003 =


3) Determine os seguintes produtos:

a) 0,5 x 0,5 x 0,5 =
b) 3 x 1,5 x 0,12 =
c) 5 x 0,24 x 0,1 =
d) 0,2 x 0,02 x 0,002 =
e) 0,7 x 0,8 x 2,1 =
f) 3,2 x 0,1 x 1,7 =

4) Calcule o valor das expressões

a) 3 x 2,5 - 1,5 =
b) 2 x 1,5 + 6 =
c) 3,5 x 4 - 0,8 =
d) 0,8 x 4 + 1,5 =
e) 2,9 x 5 - 8,01 =
f) 1,3 x 1,3 - 1,69 =



5) Calcule o preço total de uma impressora colorida que foi paga em 6 vezes iguais de R$ 58,16.

6) Um carro faz, em média, 12,5 quilômetros com um litro de gasolina. Quantos quilômetros terá rodado, em média, depois de consumir:

a) 6 litros de gasolina?
b) 25 litros de gasolina?
c) 38,5 litros de gasolina?

7) A velocidade de um navio são 20 nós. Mantendo essa velocidade, quantos quilômetros percorrerá em:

a) 2 horas?
b) 3,5 horas?

Obs: Um nó equivale a 1,852 quilômetros por hora.


8)Na mercearia, Elvis comprou 3 kg de arroz, 1 kg de feijão, 5 kg de batata e 2 kg de café. Calcule o preço total pago por Elvis, sabendo-se que:

1 kg de feijão custa R$ 2,30
1 kg de arroz custa R$ 2,15
1 kg de batata custa R$ 2,60
1 kg de café custa R$ 4,80

Problemas resolvidos com frações

1) Determine 2/3 de R$ 1200,00

2) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons.

3) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto medem 3/7 dessa peça ?

4) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros percorreu?

5) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos 3/4 . Quantos quilômetros já foram percorridos?

6) Um livro tem 240 páginas. Você estudou 5/6 do livro. Quantas páginas você estudou?

7) De um total de 240 pessoas, 1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de futebol?

8) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o restante de ônibus. Que distância eu percorri de ônibus?

9) Numa prova de 40 questões um aluno errou 1/4 da prova. Quantas questões ele acertou?

10) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe?

11) Eu tenho 60 fichas, meu irmão tem 3/4 dessa quantidade. Quantas fichas tem o meu irmão ?

12) Se 2/3 dos 42 alunos de uma sala usam óculos, calcule o número de alunos que não usam óculos.

13) Em um colégio há 1240 alunos. Em um certo dia, 1/8 dos alunos foi ao teatro. Qual o número de alunos que foram ao teatro? Quantos alunos ficaram na escola?

14) Um automóvel tem um tanque com capacidade para 64 litros de gasolina. O ponteiro do marcador de combustível está indicando 3/4 do tanque. Quantos litros de gasolina há no tanque? Quantos litros faltam para completar o tanque?

15) A distância entre duas cidades é de 540 km. Um carro já percorreu 5/9 dessa distância. Quantos quilômetros o carro já percorreu? Quantos quilômetros ainda faltam para chegar?

Respostas:
1) 800 reais
2) 32 bombons
3) 18m
4) 360 Km
5) 54 km
6) 200 páginas
7) 210 pessoas
8) 400 Km
9) 30 questões
10) 18 meninos
11) 45 fichas
12) 14 alunos
13) 155 alunos foram ao teatro e 1085 alunos não foram
14) 48 L
15)300 KM JÁ percorridos e 240 Km ainda faltam.