Fatoração:exercícios resolvidos, testes e teoria

O QUE SIGNIFICA FATORAR?

Fatorar significa transformar em produto

FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios .
A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidencia. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.

1) FATOR COMUM
Vamos fatorar a expressão ax + bx + cx

Ax + bx + cx = x . (a + b + c)

O x é fator comum e foi colocado em evidência.

Exemplos


Vamos fatorar as expressões

1) 3x + 3y = 3 (x + y)
2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2)
3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)

EXERCÍCIOS

1) Fatore as expressões:

a) 4x + 4y = R: 4 ( x + y)
b) 7a – 7b = R: 7 (a - b)
c) 5x – 5 = R: 5 (x - 1)
d) ax – ay = R: a (x - y)
e) y² + 6y = R: y (y + 6)
f) 6x² - 4a = R: 2 (3x² - 2a)
g) 4x⁵ - 7x² = R: x² ( 4x³ - 7)
h) m⁷ - m³ = R : m³( m⁴- 1)
i) a³ + a⁶ = R: a³ ( 1 + a³)
j) x² + 13x = R: x(x + 13)
k) 5m³ - m² = R: m²( 5m -1)
l) x⁵⁰ + x⁵¹ = R: x⁵⁰(1 + x)
m) 8x⁶ - 12x³ =R: 4x³( 2 x³ - 3)
n) 15x³ - 21x² =R: 3 x² (5 x - 7)
o) 14x² + 42x =14x (x +3)
p) x²y + xy² =xy (x + y)

2) Fatore as expressões:

a) 2a – 2m + 2n = (R: 2 (a -m+n))
b) 5a + 20x + 10 = (R: 5(a + 4x + 2))
c) 4 – 8x – 16y = (R: 4(1 - 2x - 4y))
d) 55m + 33n = (R: 11(5m + 3n))

e) 35ax – 42ay = (R: 7a(5x -6y)
f) 7am – 7ax -7an =  (R: 7a(m - x - n))
g) 5a²x – 5a²m – 10a² = (R: 5a² ( x -m-  2))
h) 2ax + 2ay – 2axy = (R: 2a(x + y -xy))

3) Fatore as expressões:

a) 15x⁷ - 3ax⁴ =
b) x⁷ + x⁸ + x⁹ =
c) a⁵ + a³ - a² =
d) 6x³ -10x² + 4x⁴ =
e) 6x²y + 12xy – 9xyz =
f) a(x -3) + b(x -3) =
g) 9 ( m + n )- a( m –n)


2) AGRUPAMENTO
Vamos fatorar a expressão ax + bx + ay + by

ax + bx + ay + by
x( a + b) + y ( a+ b)
(a + b) .( x +y)

Observe o que foi feito:

Nos dois primeiros temos “x em evidencia”
Nos dois últimos fomos “y em evidência”
Finalmente “ (a + b) em evidência”
Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum

Exemplos:

Vamos fatorar as expressões:

1º exemplo

5ax + bx + 5ay + by
x.( 5a + b) + y (5a + b)
(x + y) (5a + b)

2º exemplo 

x² + 3x + ax + 3a
x(x + 3) + a ( x + 3)
(x + 3) . ( x + a)


EXERCÍCIOS

1) Fatore as expressões:

a) 6x + 6y + ax + ay =
b) ax + ay + 7x + 7y=
c) 2a + 2n + ax +nx=
d) ax + 5bx + ay + 5by =
e) 3a – 3b + ax – bx =
f) 7ax – 7a + bx – b =
g) 2x – 2 + yx – y =
h) ax + a + bx + b =

2) Fatore as expressões:

a) m² + mx + mb + bx=
b) 3a² + 3 + ba² + b =
c) x³ + 3x² + 2x + 6 =
d) x³ + x² + x + 1 =
e) x³ - x² + x – 1 =
f) x³ + 2x² + xy + 2y =
g) x² + 2x + 5x + 10 =
h) x³ - 5x² + 4x – 20 =


3) DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS Vimos que : ( a+ b ) (a –b) = a² + b²
Sendo assim: a² + b²= ( a+ b ) (a –b)
Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois termos.

1º exemplo

x² - 49 = (x + 7) ( x – 7)


2º exemplo 

9a² - 4b² = ( 3a + 2b) (3a – 2b)

Exercícios

1) Fatore as expressões:

a) a² - 25 =
b) x² - 1 =
c) a² - 4 =
d) 9 - x² =
e) x² - a² =
f) 1 - y² =
g) m² - n² =
h) a² - 64 =

2) Fatore as expressões

a) 4x² - 25 =
b) 1 – 49a² =
c) 25 – 9a² =
d) 9x² - 1 =
e) 4a² - 36 =
f) m² - 16n² =
g) 36a² - 4 =
h) 81 - x² =
i) 4x² - y²=
j) 16x⁴ - 9 =
k) 36x² - 4y² =
l) 16a² - 9x²y² =
m) 25x⁴ - y⁶ =
n) x⁴ - y⁴ =


4) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

Vimos que:

(a +b)² = a² + 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)²

(a -b)² = a² - 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)²

Observe nos exemplos a seguir que:
Os termos extremos fornecem raízes quadras exatas.
Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes.
o resultado terá o sinal do termo do meio.

EXERCÍCIOS

1) Coloque na forma fatorada as expressões:
a) x² + 4x + 4 = R:(x + 2)²
b) x² - 4x + 4 = R:(x -2)²
c) a²+ 2a + 1 = R: (a + 1)²
d) a² - 2a + 1 = R: (a – 1)²

e) x²- 8x + 16= R: ( x – 4)²
f) a² + 6a + 9 = R: (a + 3)²
g) a² - 6a + 9 = R: (a + 3)²
h) 1 – 6a + 9a² = R: (1 – 3a)²


2) Fatore as expressões
a) m² -12m + 36=
b) a² + 14a + 49 =
c) 4 + 12x + 9x² =
d) 9a² - 12a + 4 =
e) 9x² - 6xy + y² =
f) x² + 20x + 100 =
g) a² - 12ab + 36b² =
h) 9 + 24a + 16a² =
i) 64a² - 80a + 25 =
j) a⁴ - 22a² + 121
l) 36 + 12xy +x²y²
m) y⁴ - 2y³ + 1

3) Fatore: (a + 1)2 + 2 (a + 1) + 1
a)	a (a + 4)
b)	(a + 1)2
c)	(a + 2)2
d)	(a - 2)2
e)	(a + 1) (a + 1 + 1)

4) Fatore x2 - 4x + 4 + 3 (x - 2) (x + 1)
a)	(x - 2) + 3 (x - 1)
b)	(x - 2) (3x2 - 5)
c)	5x - 7
d)	(x - 2) - (4x - 5)
e)	(2x - 2) (2x - 5)

5) Fatore (x2 + 9)2 - 36x2
a)	3 (x2 - 12x2 + 3)
b)	(x + 3)2 . (x - 3)2
c)	(x + 3) . (x - 3)
d)	(x - 3)2 . (x - 3)2
e)	(x + 3)4

6) Fatore: x2 + 6x + 9
a)	(x - 3)2
b)	(x + 3)2
c)	x2 + 3
d)	(x - 9)2
e)	3 (x + 3)2

7) Fatore: x4 - y4
a)	(x2 - y2) (x - y) (x - y)
b)	(x2 + y2) (x + y) (x + y)
c)	(x2 + y2) x2
d)	(x2 + y2) y2
e)	(x2 + y2) (x + y) (x - y)

8) Fatore a expressão: abd - abe + acd - ace
a)	a2 . (d + e) (b + c)
b)	a . (d + e) (b - c)
c)	a . (d - e) (b + c2)
d)	a . (d - e) (b2 + c2)
e)	a . (d - e) (b + c)

9) Efetue o produto (x - y) . (x + y) . (x2 + y2).
a)	x4 - y4
b)	x4 + 4x2y2 + y4
c)	x4 - 2x2y2 + y4
d)	x4 + y4
e)	x4 + 2x2y2 + y4

10) Fatore: 9x2 - 12x + 4
a)	(x + 2)2
b)	(6x + 3)2
c)	(3x - 2)2
d)	(3x + 2)2
e)	3 (3x2 - 4x)

11) Fatore: (x + y)2 - 2 (x + y) + 1
a)	(x + y)2 - 2 (x + y)
b)	(x + y + 1)2
c)	(x - y)2
d)	2 (x + y) + 12
e)	(x + y)2 + (x - y)

12) Fatore: x2 - 2xy + y2 - z2
a)	(x - z + z) . (x - y - z)
b)	(x - y)2 - z2
c)	(x - y)2
d)	(x - y) (x - y - z)
e)	(x - y - z)2

13) Fatore: 4x2 - z2 + 4xy + y2
a)	(2x - y - z)2
b)	(2x + z) (2x + y)
c)	(2x + y + z)2
d)	(2x + y)2 - z2
e)	(2x + y + z) (2x + y - z)

14) Fatore 3xy2z3 + 6xyz3 - 3xz2.
a)	3xyz . (yz + 2yz + 1)
b)	32x2y2z . (y2z + 2yz + 1)
c)	3xz2 . (y2z + 2yz - 1)
d)	3x3 . (y2z + 2yz - 1)
e)	3xz3 . (y2z + 2yz + 1)

15) Fatore a expressão: -5x2 + 25x
a)	-5x2 . (x2 + 5)
b)	-5x . (x + 5)
c)	-5x2 . (x - 5)
d)	-5x . (x2 - 5)
e)	-5x . (x - 5)

16) Fatore a expressão: 15xy2 - 10x2y2
a)	10xy (3 + x)
b)	15x2y2 (3 - x)
c)	5xy2 (3 - x)
d)	5xy2 (3 + x)
e)	5xy (3 - x)

17) Fatore a expressão: 27x3y3 + 81x2y4
a)	27x2y3 . (x + 3y)
b)	27x3y3 . (x + y)
c)	81xy . (x + 3y)
d)	81x2y2 . (x - 3y)
e)	9x2y3 . (x - 3y)

18) Fatore a expressão: 14a2b3 + 17b3
a)	b . (7a2 + 17)
b)	b3 . (14a2 + 17)
c)	b3 . (7a2 + 17)
d)	b2 . (14a + 17)
e)	b2 . (2a + 17)

19) Fatore a expressão: 11a3b2 - 15a2b
a)	ab . (11ab - 10)
b)	a2b2 . (11ab - 15)
c)	a2b . (11ab - 15)
d)	a2b . (11ab 15 15)
e)	a2b2 . (11ab + 15)

20) Fatore a expressão: ax + a + x + 1
a)	(x - 1) . (a + x)
b)	(x + 1) . (a + 1)
c)	(x - 1) . (a + 1)
d)	(x - 1) . (a - 1)
e)	(x - 1) . (a - x)

21) Fatore a expressão: 3a + 6
a)	3a + 2
b)	3 . (a + 1)
c)	6 . (a + 2)
d)	3 . ( a + 2)
e)	3 . (a + 6)

22) Fatore a expressão: -2a2 - 8a
a)	2a . (a + 4)
b)	2a . (a + 2)
c)	-2a . (2a + 4)
d)	-2a . (a + 4)
e)	-8a . (a + 4)

23) Fatore: 16x4 - 25y2
a)	(2x2 + 5y) . (2x2 + 5y)
b)	(2x2 + 5y) . (2x2 - 5y)
c)	(4x2 + 5y) . (4x2 - 5y)
d)	(4x2 - 5y) . (4x2 - 5y)
e)	(4x2 + 5y) . (4x2 + 5y)

24) Fatore: 144 - h2
a)	(144 - h) (144 + h)
b)	(144 - h) (144 - h)
c)	(100 - h) (44 + h)
d)	(12 + h) (12 - h)
e)	(12 + h) (12 + h)

25) Fatore: 2y3 - 18y
a)	(y + 3)2 (y - 3)3
b)	(y + 3)3 (y - 3)3
c)	2y . (y + 3) (y - 3)
d)	2y . (y + 3)3
e)	2y . (y + 3) (y + 3)

26) Fatore: 2t2 - 288
a)	(t + 12) (t - 12)
b)	(t + 287) (t - 1)
c)	2 . (t + 12) (t - 12)
d)	2 . (t + 12) (t + 12)
e)	2 . (t - 12) (t - 12)

27) Fatore: ( x + y )2 - z2
a)	(x + y + z)2 . (x + y + z)
b)	(xyz)2 + (x - y - z)2
c)	(x - z) . (y - z)2
d)	(x + y + z) . (x + y - z)
e)	(x - y - z) . (x - y - z)

28) Fatore: a2 - b2 + a + b
a)	(a + b) . (a - b + 1)
b)	(a + b) . (a - b)
c)	(a - b) . (a - b)
d)	(a + b)2 . (a + b + 1)2
e)	(a - b)2 . (a - b -1)2

29) Se x e y são números reais distintos, então:
a)	(x²+y²)/(x-y) = x+y
b)	(x²-y²)/(x-y) = x+y
c)	(x²+y²)/(x-y) = x-y
d)	(x²-y²)/(x-y) = x-y
e)	Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

30) Fatorando a² - b² obtemos:
a)	a. b+ 3 (a+ b+ c)
b)	3. a- b. c
c)	(a + b) (a - b)
d)	a. b+ c
e)	n.d.a

31) Fatorando x² + 2y² + 3xy + x + y obtemos:
a)	(2x - y ).(x - 2y +3)
b)	( x + y ) . (x + 2y + 1)
c)	(2x + y) . (x + y -3 )
d)	x + y (2. x .y)
e)	2x +y (x + 2y + 1)

32) Fatorando x²y - xy² obtemos:
a)	y. x (2- 3)
b)	x (x+ 5)
c)	5.x ( 3 - y )
d)	xy (x - y)
e)	N.d.a

33) Fatorando 12 a²b + 18 a b² obtemos:
a)	(2 .a + 2b ) . (3.a .2b)
b)	(a. b)( 3a. 2+ b)
c)	( 2+ a. b).(3.a . 2.b)
d)	2+ a. 3b (2+ a- 3.b)
e)	(2 .a + 3b ) . (6 a b)

34) Fatorando 6a2b + 8a obtemos:
a)	2.a ( 3ab + 4 )
b)	4.a ( 6ab + 2 )
c)	2.a + b. 2
d)	2.a.b
e)	3.b (2. b+ a. 4)

(jmpgeo.blogspot.com.br)

Exercícios resolvidos sobre ângulos, retas e polígonos

A palavra Polígono é oriunda do grego e significa:

Polígono = Poli (muitos) + gono (ângulos)

Matematicamente denominamos polígonos como sendo uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada. Linha poligonal é uma linha que é formada apenas por segmentos de reta. Os polígonos precisam ser figuras fechadas. O número de lados de um polígono coincide com o número de ângulos.

Observe:

Os polígonos classificam-se em função do número de lados. Abaixo estão os principais polígonos:

Nome	Polígono	Nº de lados
Triângulo		3
Quadrilátero		4
Pentágono		5
Hexágono		6
Heptágono		7
Octógono		8
Decágono		10

Alguns polígonos possuem nomes bem particulares, veja a seguir:

• um polígono com 9 ângulos → eneágono
• um polígono com 11 ângulos → undecágono
• um polígono com 15 ângulos → pentadecágono
• um polígono com 20 ângulos → icoságono

Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. Dos elementos citados vamos dar ênfase no significado de diagonais e como calcular o número de diagonais de um polígono qualquer.

Polígonos no dia-a-dia e na natureza

1. É comum o uso de polígonos regulares no cotidiano. As abelhas utilizam-se do hexágono regular nas colmeias.

2. Nas bolas de futebol também aparecem figuras baseadas em polígonos regulares (pentágonos e hexágonos regulares).

3. Na engenharia, algumas formações poligonais são utilizadas. Por exemplo, na ponte Hercílio Luz (SC) pode-se ver a formação de triângulos e quadriláteros, formados pelas barras de aço que ligam as torres.

4. Na Calçada dos Gigantes - formação geológica de basalto, localizada no litoral nordeste da Irlanda - torres de rochas prismáticas foram erguidas no passado por atividades vulcânicas.

Exercícios:

1) O ângulo reto, também conhecido como ângulo de um quarto de volta, mede:

a) 90°

b) 180°

c) 270°

d) 360°

 2) O ângulo que mede menos de 90° e mais de 0° é chamado de:

a) agudo

b) raso

c) reto

d) obtuso

3) Duas retas que não se cruzam, ou seja, permanece sempre à mesma distância uma da outra são chamadas de:

a) concorrentes

b) oblíquas

c) paralelas

d)perpendiculares

4) O ângulo formado pelo ponteiro da hora e do minuto quando o relógio marca 3h mede:

a) 30°

b) 60°

c) 90°

d) 180°

5) Um hexágono é um polígono que tem:

a) 4 lados

b) 5 lados

c) 6 lados

d) 7 lados

6) O polígono que tem 4 lados, 4 ângulos internos e 4 vértices chama-se:

a) quadrado

b) quadrilátero

c) retângulo

d) trapézio

7) A medida do lado de um pentágono regular cujo perímetro é 85 cm vale:

a) 17 cm

b) 80 cm

c) 90 cm

d) 425 cm

 8) A medida do lado de um triângulo regular cujo perímetro é 108 cm vale:

a) 36 cm

b) 105 cm

c) 111 cm

d) 324 cm

9) Um polígono que tem 7 lados, 7 ângulos e 7 vértices chama-se:

a) eneágono

b) hexágono

c) heptágono

d) octógono

10) Um dodecágono é um polígono que tem:

a) 9 lados

b) 10 lados

c) 11 lados

d) 12 lados

11) Um ângulo de três quartos de volta mede:

a) 90°

b) 180°

c) 270°

d) 360°

12) A medida do lado de um quadrilátero regular cujo perímetro é 360 cm é:

a) 90 cm

b) 256 cm

c) 356 cm

d) 1424 cm

13) O ângulo formado pelo ponteiro da hora e do minuto em um relógio que marca 6h mede:

a) 45°

b) 90°

c) 135°

d) 180°

14) O ângulo de 180° é chamado de:

a) ângulo de um quarto de volta

b) ângulo de meia volta

c) ângulo de três quartos de volta

d) ângulo de uma volta

15) O polígono que tem 3 lados, 3 ângulos e 3 vértices é chamado de:

a)hexágono

b) pentágono

c)quadrilátero

d) triângulo

* * *

 GABARITO

1-A

2-A

3-C

4-C

5-C

6-B

7-A

8-A

9-C

10-D

11-C

12-A

13-D

14-B

15-D

1. Leia o texto:
“Quem observa o veleiro sumir na linha do horizonte certamente exclamará: já se foi! Terá sumido? Evaporado? Não, certamente. Apenas o perdemos de vista.”
Rabino Henry Sobel
A expressão “… na linha do horizonte…” nos dá a ideia de:
a) ( ) Círculo
b) ( ) Plano.
c) ( ) Ponto.
d) ( ) Reta.

2. Leia a reportagem:
Uma forma de colmeia, com seis lados, com o tamanho de quatro planetas Terra, fica circulando no polo norte de Saturno, e ninguém sabe exatamente por que. “Essa é uma forma muito estranha, pela precisão geométrica dos seis lados retos e praticamente iguais,” disse Kevin Baines, pesquisador do Laboratório de Propulsão a Jato (Jet Propulsion Laboratory), da NASA. “Nós nunca vimos nada assim em nenhum outro planeta. Na verdade, a atmosfera densa de Saturno é o último lugar em que você espera encontrar uma figura geométrica de seis lados, e mesmo assim ela está lá.”
Texto retirado do site: www.zootropole.com.br
De acordo com a reportagem é correto afirmar que a figura que aparece no pólo norte de Saturno é:
a) ( ) Pentágono.
b) ( ) Hexágono.
c) ( ) Heptágono.
d) ( ) Octógono.
 
3. Leia atentamente o texto:
BARATA ESPERTA
A coisa é séria: cientistas dos Estados Unidos, do Reino Unido e da Itália dedicam-se ao estudo sobre os “planos” de fuga das baratas quando se veem ameaçadas. Nada de barata tonta. Os pesquisadores descobriram que elas fogem em ângulos de 90º, 120º, 150º ou 180º, ou seja, sabem como deixar “baratinados” os predadores. Isso prova, segundo os cientistas, que as baratas têm “potentes neurônios direcional mente sensíveis”.
Revista Isto É, 26-11-2008.Página 28

Os ângulos em destaque no texto são:
a) ( ) Agudo, Obtuso, Reto, Reto.
b) ( ) Raso, Agudo, Agudo, Obtuso.
c) ( ) Reto, Obtuso, Obtuso, Raso.
d) ( ) Obtuso, Agudo, Raso, Reto.

(http://www.webartigos.com/)

Exercícios sobre Ângulos: medida, indicação, vértice e lados

Dado o ângulo:

Indicação do ângulo: AÔB, ou BÔA ou simplesmente Ô

PONTOS INTERNOS E PONTOS EXTERNOS A UM ÂNGULO

Seja o ângulo AÔB

MEDIDA DE UM ÂNGULO

Um ângulo pode ser medido através de um instrumento chamado transferidor e que tem o grau como unidade. O ângulo AÔB da figura mede 40 graus.

Indicação:

m (AÔB) = 40º

A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo

1 grau tem 60 minutos (indicação: 1 = 60º)

1 minuto tem 60 segundos ( indicação 1´ = 60"

Simbolicamente:

== Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40´.

== Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é indicado por 12º 20´45"

EXERCÍCIOS

1) Dê a indicação, o vértice e os lados dos ângulos:

2) Em cada uma das figuras abaixo há três ângulos. Quais são esses ângulos?

3) 0bserve os pontos assinalados e responda:

a) Quais pontos estão no interior do ângulo?

b) Quais pontos estão no exterior do ângulo?

c) Quais pontos pertencem aos lados do ângulo?

4) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor.

a) m (AÔB)

b) m (AÔC)

c) m (AÔD)

d) m (AÔE)

e) m (AÔF)

f) m (AÔG)

ÂNGULOS CONGRUENTES

Dois ângulos são congruentes se as suas medidas são iguais.

Indicação AÔB = CÔD ( significa: AÔB é congruente a CÔD )

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.

EXERCÍCIOS

Responda:

a) Quanto mede o ângulo MÔA?

R:

b) Quanto mede o ângulo NÔC?

R:

c) Quanto mede o ângulo BÔN?

R:

d) Quanto mede o ângulo MÔC?

R:

e) Quanto mede o ângulo AÔN?

R:

f) Quanto m,ede o ângulo MÔN?

R: