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terça-feira, 28 de maio de 2013

Fatoração:exercícios resolvidos, testes e teoria


O QUE SIGNIFICA FATORAR?

Fatorar significa transformar em produto

FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios .
A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidencia. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.

1) FATOR COMUM
Vamos fatorar a expressão ax + bx + cx

Ax + bx + cx = x . (a + b + c)

O x é fator comum e foi colocado em evidência.

Exemplos


Vamos fatorar as expressões

1) 3x + 3y = 3 (x + y)
2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2)
3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)

EXERCÍCIOS

1) Fatore as expressões:

a) 4x + 4y = R: 4 ( x + y)

b) 7a – 7b = R: 7 (a - b)
c) 5x – 5 = R: 5 (x - 1)
d) ax – ay = R: a (x - y)
e) y² + 6y = R: y (y + 6)
f) 6x² - 4a = R: 2 (3x² - 2a)
g) 4x⁵ - 7x² = R: x² ( 4x³ - 7)
h) m⁷ - m³ = R : m³( m⁴- 1)
i) a³ + a⁶ = R: a³ ( 1 + a³)
j) x² + 13x = R: x(x + 13)

k) 5m³ - m² = R: m²( 5m -1)
l) x⁵⁰ + x⁵¹ = R: 
x⁵⁰(1 + x)
m) 8x⁶ - 12x³ =R: 4x³( 2 x³ - 3)
n) 15x³ - 21x² =R: 3 x² (5 x - 7)
o) 14x² + 42x =14x (x +3)
p) x²y + xy² =xy (x + y)

2) Fatore as expressões:

a) 2a – 2m + 2n = (R: 2 (a -m+n))

b) 5a + 20x + 10 = (R: 5(a + 4x + 2))
c) 4 – 8x – 16y = (R: 4(1 - 2x - 4y))
d) 55m + 33n = (R: 11(5m + 3n))
e) 35ax – 42ay = (R: 7a(5x -6y)
f) 7am – 7ax -7an =  (R: 7a(m - x - n))
g) 5a²x – 5a²m – 10a² = (R: 5a² ( x -m-  2))
h) 2ax + 2ay – 2axy = (R: 2a(x + y -xy))

3) Fatore as expressões:

a) 15x⁷ - 3ax⁴ =
b) x⁷ + x⁸ + x⁹ =
c) a⁵ + a³ - a² =
d) 6x³ -10x² + 4x⁴ =
e) 6x²y + 12xy – 9xyz =
f) a(x -3) + b(x -3) =
g) 9 ( m + n )- a( m –n)


2) AGRUPAMENTO
Vamos fatorar a expressão ax + bx + ay + by

ax + bx + ay + by
x( a + b) + y ( a+ b)
(a + b) .( x +y)

Observe o que foi feito:

Nos dois primeiros temos “x em evidencia”
Nos dois últimos fomos “y em evidência”
Finalmente “ (a + b) em evidência”
Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum

Exemplos:

Vamos fatorar as expressões:

1º exemplo

5ax + bx + 5ay + by
x.( 5a + b) + y (5a + b)
(x + y) (5a + b)

2º exemplo 

x² + 3x + ax + 3a
x(x + 3) + a ( x + 3)
(x + 3) . ( x + a)


EXERCÍCIOS

1) Fatore as expressões:

a) 6x + 6y + ax + ay =
b) ax + ay + 7x + 7y=
c) 2a + 2n + ax +nx=
d) ax + 5bx + ay + 5by =
e) 3a – 3b + ax – bx =
f) 7ax – 7a + bx – b =
g) 2x – 2 + yx – y =
h) ax + a + bx + b =

2) Fatore as expressões:

a) m² + mx + mb + bx=
b) 3a² + 3 + ba² + b =
c) x³ + 3x² + 2x + 6 =
d) x³ + x² + x + 1 =
e) x³ - x² + x – 1 =
f) x³ + 2x² + xy + 2y =
g) x² + 2x + 5x + 10 =
h) x³ - 5x² + 4x – 20 =


3) DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS Vimos que : ( a+ b ) (a –b) = a² + b²
Sendo assim: a² + b²= ( a+ b ) (a –b)
Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois termos.

1º exemplo

x² - 49 = (x + 7) ( x – 7)


2º exemplo 

9a² - 4b² = ( 3a + 2b) (3a – 2b)

Exercícios

1) Fatore as expressões:

a) a² - 25 =
b) x² - 1 =
c) a² - 4 =
d) 9 - x² =
e) x² - a² =
f) 1 - y² =
g) m² - n² =
h) a² - 64 =

2) Fatore as expressões

a) 4x² - 25 =
b) 1 – 49a² =
c) 25 – 9a² =
d) 9x² - 1 =
e) 4a² - 36 =
f) m² - 16n² =
g) 36a² - 4 =
h) 81 - x² =
i) 4x² - y²=
j) 16x⁴ - 9 =
k) 36x² - 4y² =
l) 16a² - 9x²y² =
m) 25x⁴ - y⁶ =
n) x⁴ - y⁴ =


4) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

Vimos que:

(a +b)² = a² + 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)²

(a -b)² = a² - 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)²

Observe nos exemplos a seguir que:
Os termos extremos fornecem raízes quadras exatas.
Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes.
o resultado terá o sinal do termo do meio.

EXERCÍCIOS

1) Coloque na forma fatorada as expressões:
a) x² + 4x + 4 = R:(x + 2)²

b) x² - 4x + 4 = R:(x -2)²
c) a²+ 2a + 1 = R: (a + 1)²
d) a² - 2a + 1 = R: (a – 1)²
e) x²- 8x + 16= R: ( x – 4)²
f) a² + 6a + 9 = R: (a + 3)²
g) a² - 6a + 9 = R: (a + 3)²
h) 1 – 6a + 9a² = R: (1 – 3a)²


2) Fatore as expressões
a) m² -12m + 36=
b) a² + 14a + 49 =
c) 4 + 12x + 9x² =
d) 9a² - 12a + 4 =
e) 9x² - 6xy + y² =
f) x² + 20x + 100 =
g) a² - 12ab + 36b² =
h) 9 + 24a + 16a² =
i) 64a² - 80a + 25 =
j) a⁴ - 22a² + 121
l) 36 + 12xy +x²y²
m) y⁴ - 2y³ + 1



3) Fatore: (a + 1)2 + 2 (a + 1) + 1


a)
a (a + 4)
b)
(a + 1)2
c)
(a + 2)2
d)
(a - 2)2
e)
(a + 1) (a + 1 + 1)


4) Fatore x2 - 4x + 4 + 3 (x - 2) (x + 1)


a)
(x - 2) + 3 (x - 1)
b)
(x - 2) (3x2 - 5)
c)
5x - 7
d)
(x - 2) - (4x - 5)
e)
(2x - 2) (2x - 5)


5) Fatore (x2 + 9)2 - 36x2


a)
3 (x2 - 12x2 + 3)
b)
(x + 3)2 . (x - 3)2
c)
(x + 3) . (x - 3)
d)
(x - 3)2 . (x - 3)2
e)
(x + 3)4


6) Fatore: x2 + 6x + 9


a)
(x - 3)2
b)
(x + 3)2
c)
x2 + 3
d)
(x - 9)2
e)
3 (x + 3)2


7) Fatore: x4 - y4


a)
(x2 - y2) (x - y) (x - y)
b)
(x2 + y2) (x + y) (x + y)
c)
(x2 + y2) x2
d)
(x2 + y2) y2
e)
(x2 + y2) (x + y) (x - y)


8) Fatore a expressão: abd - abe + acd - ace


a)
a2 . (d + e) (b + c)
b)
a . (d + e) (b - c)
c)
a . (d - e) (b + c2)
d)
a . (d - e) (b2 + c2)
e)
a . (d - e) (b + c)


9) Efetue o produto (x - y) . (x + y) . (x2 + y2).


a)
x4 - y4
b)
x4 + 4x2y2 + y4
c)
x4 - 2x2y2 + y4
d)
x4 + y4
e)
x4 + 2x2y2 + y4



10) Fatore: 9x2 - 12x + 4


a)
(x + 2)2
b)
(6x + 3)2
c)
(3x - 2)2
d)
(3x + 2)2
e)
3 (3x2 - 4x)


11) Fatore: (x + y)2 - 2 (x + y) + 1


a)
(x + y)2 - 2 (x + y)
b)
(x + y + 1)2
c)
(x - y)2
d)
2 (x + y) + 12
e)
(x + y)2 + (x - y)

12) Fatore: x2 - 2xy + y2 - z2


a)
(x - z + z) . (x - y - z)
b)
(x - y)2 - z2
c)
(x - y)2
d)
(x - y) (x - y - z)
e)
(x - y - z)2


13) Fatore: 4x2 - z2 + 4xy + y2


a)
(2x - y - z)2
b)
(2x + z) (2x + y)
c)
(2x + y + z)2
d)
(2x + y)2 - z2
e)
(2x + y + z) (2x + y - z)


14) Fatore 3xy2z3 + 6xyz3 - 3xz2.


a)
3xyz . (yz + 2yz + 1)
b)
32x2y2z . (y2z + 2yz + 1)
c)
3xz2 . (y2z + 2yz - 1)
d)
3x3 . (y2z + 2yz - 1)
e)
3xz3 . (y2z + 2yz + 1)


15) Fatore a expressão: -5x2 + 25x


a)
-5x2 . (x2 + 5)
b)
-5x . (x + 5)
c)
-5x2 . (x - 5)
d)
-5x . (x2 - 5)
e)
-5x . (x - 5)


16) Fatore a expressão: 15xy2 - 10x2y2


a)
10xy (3 + x)
b)
15x2y2 (3 - x)
c)
5xy2 (3 - x)
d)
5xy2 (3 + x)
e)
5xy (3 - x)


17) Fatore a expressão: 27x3y3 + 81x2y4


a)
27x2y3 . (x + 3y)
b)
27x3y3 . (x + y)
c)
81xy . (x + 3y)
d)
81x2y2 . (x - 3y)
e)
9x2y3 . (x - 3y)


18) Fatore a expressão: 14a2b3 + 17b3


a)
b . (7a2 + 17)
b)
b3 . (14a2 + 17)
c)
b3 . (7a2 + 17)
d)
b2 . (14a + 17)
e)
b2 . (2a + 17)


19) Fatore a expressão: 11a3b2 - 15a2b


a)
ab . (11ab - 10)
b)
a2b2 . (11ab - 15)
c)
a2b . (11ab - 15)
d)
a2b . (11ab 15 15)
e)
a2b2 . (11ab + 15)


20) Fatore a expressão: ax + a + x + 1


a)
(x - 1) . (a + x)
b)
(x + 1) . (a + 1)
c)
(x - 1) . (a + 1)
d)
(x - 1) . (a - 1)
e)
(x - 1) . (a - x)


21) Fatore a expressão: 3a + 6


a)
3a + 2
b)
3 . (a + 1)
c)
6 . (a + 2)
d)
3 . ( a + 2)
e)
3 . (a + 6)


22) Fatore a expressão: -2a2 - 8a


a)
2a . (a + 4)
b)
2a . (a + 2)
c)
-2a . (2a + 4)
d)
-2a . (a + 4)
e)
-8a . (a + 4)


23) Fatore: 16x4 - 25y2


a)
(2x2 + 5y) . (2x2 + 5y)
b)
(2x2 + 5y) . (2x2 - 5y)
c)
(4x2 + 5y) . (4x2 - 5y)
d)
(4x2 - 5y) . (4x2 - 5y)
e)
(4x2 + 5y) . (4x2 + 5y)


24) Fatore: 144 - h2


a)
(144 - h) (144 + h)
b)
(144 - h) (144 - h)
c)
(100 - h) (44 + h)
d)
(12 + h) (12 - h)
e)
(12 + h) (12 + h)


25) Fatore: 2y3 - 18y


a)
(y + 3)2 (y - 3)3
b)
(y + 3)3 (y - 3)3
c)
2y . (y + 3) (y - 3)
d)
2y . (y + 3)3
e)
2y . (y + 3) (y + 3)


26) Fatore: 2t2 - 288


a)
(t + 12) (t - 12)
b)
(t + 287) (t - 1)
c)
2 . (t + 12) (t - 12)
d)
2 . (t + 12) (t + 12)
e)
2 . (t - 12) (t - 12)


27) Fatore: ( x + y )2 - z2


a)
(x + y + z)2 . (x + y + z)
b)
(xyz)2 + (x - y - z)2
c)
(x - z) . (y - z)2
d)
(x + y + z) . (x + y - z)
e)
(x - y - z) . (x - y - z)


28) Fatore: a2 - b2 + a + b


a)
(a + b) . (a - b + 1)
b)
(a + b) . (a - b)
c)
(a - b) . (a - b)
d)
(a + b)2 . (a + b + 1)2
e)
(a - b)2 . (a - b -1)2


29) Se x e y são números reais distintos, então:


a)
(x²+y²)/(x-y) = x+y
b)
(x²-y²)/(x-y) = x+y
c)
(x²+y²)/(x-y) = x-y
d)
(x²-y²)/(x-y) = x-y
e)
Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.


30) Fatorando a² - b² obtemos:


a)
a. b+ 3 (a+ b+ c)
b)
3. a- b. c
c)
(a + b) (a - b)
d)
a. b+ c
e)
n.d.a


31) Fatorando x² + 2y² + 3xy + x + y obtemos:


a)
(2x - y ).(x - 2y +3)
b)
( x + y ) . (x + 2y + 1)
c)
(2x + y) . (x + y -3 )
d)
x + y (2. x .y)
e)
2x +y (x + 2y + 1)


32) Fatorando x²y - xy² obtemos:


a)
y. x (2- 3)
b)
x (x+ 5)
c)
5.x ( 3 - y )
d)
xy (x - y)
e)
N.d.a


33) Fatorando 12 a²b + 18 a b² obtemos:


a)
(2 .a + 2b ) . (3.a .2b)
b)
(a. b)( 3a. 2+ b)
c)
( 2+ a. b).(3.a . 2.b)
d)
2+ a. 3b (2+ a- 3.b)
e)
(2 .a + 3b ) . (6 a b)






34) Fatorando 6a2b + 8a obtemos:


a)
2.a ( 3ab + 4 )
b)
4.a ( 6ab + 2 )
c)
2.a + b. 2
d)
2.a.b
e)
3.b (2. b+ a. 4)


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