Doutor Matemático

Exercícios sobre logaritmos

Definição de Logaritmo

Pode-se definir logaritmo da seguinte forma:

Ou seja, o logaritmo é o expoente que uma certa base deve ter para produzir um número determinado (no nosso caso o N).

Nomenclatura

Quando utilizamos o logaritmo cada um dos termos tem um nome.

Neste caso temos:
a - Base
N - Logaritmando
x - Logaritmo

Consequências da definição

Com base na definição podemos facilmente chegar as seguintes consequências:

A primeira vem do fato que qualquer número real (diferente de zero) elevado a 0 (zero) é igual a 1 (um).
A segunda vem simplesmente do fato que um número elevado a um é igual a ele mesmo.
A terceira vem aplicando a definição em "a" elevado a "n".
A quarta é só aplicar a definição no logaritmo de "x" na base "a".

Agora vejamos algumas das propriedades dos logaritmos.

Logaritmo de um produto

O logaritmo do produto de dois números é igual à soma do logaritmo de cada número.

Logaritmo de um quociente

O logaritmo do quociente de dois números é igual ao logaritmo do dividendo (número de cima) subtraído (menos) o logaritmo do divisor (número de baixo).
Uma das consequências dessa propriedade é a seguinte.

Neste caso o dividendo é 1 (um). Como o logaritmo de um é zero, sobra apenas o negativo do logaritmo do divisor.

Logaritmo de uma potência

O logaritmo de um número elevado a "n" é igual a "n" vezes o logaritmo do número.

Mudança de base

Quando se tem um logaritmo em uma determinada base e conhecemos o logaritmo do logaritmando e da base em outra base, podemos fazer uma mudança da seguinte forma:

Assim o logaritmo se torna um quociente do logaritmando e da base em uma nova base "a".

Desta forma temos as seguintes consequências:

O que significa também que:

(FUVEST - 2012)1)Tendo em vista as aproximações log10 2 ≅ 0,3 e log10 3 ≅ 0,48 então, o maior número inteiro n que satisfazendo 10n ≤ 12418, é igual a:

a)424

b)437

c)443

d)451

e)460

2) Calcule o Log24 6 sabendo que o Log27 6 = x que o Log27 4 = y.

3) (UFRGS) Se e , então é

(A)
(B)

(C)

(D)

(E)

4) Calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a)	b)
c)	d)
e)	f)
g)	h)

5) Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

6) Em Química, defini-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração de H₃O⁺. O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H₃O⁺é 4,8. 10 ^-8mol/l. Qual será o pH desse líquido?

((http://www.matematiques.com.br/e http://delta-y.blogspot.com.br/http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/)

Exercícios sobre equação exponencial

Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras.

Exemplos de equações exponenciais:

10^x = 100
2^x + 12 = 20
9^x = 81
5^x+1 = 25

Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir:

3^x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 3⁷)
3^x = 3⁷
x = 7

O valor de x na equação é 7.

Vamos resolver mais algumas equações exponenciais:

2^{x + 12} = 1024
2^{x + 12} = 2¹⁰
x + 12 = 10
x = 10 – 12
x = – 2

2 ^{4x + 1} * 8 ^{–x + 3} = 16^–1
2 ^{4x + 1} * 2 ^{3(–x + 3)} = 2 ^-4
2 ^{4x + 1} * 2 ^{–3x + 9}= 2^-4
4x + 1 – 3x + 9 = – 4
4x – 3x = –1 – 4 – 9
x = – 14

5 ^{x + 3 *} 5 ^{x + 2} * 5 ^x = 125
5 ^{x + 3} * 5 ^{x + 2} * 5 ^x = 5 3
x + 3 + x + 2 + x = 3
3x = 3 – 5
3x = – 2
x = –2/3

2 ^{3x – 2} * 8 ^{x + 1}= 4^{x – 1}
2 ^{3x – 2} * 2 ^{3(x + 1)} = 2 ^{2(x – 1)}
3x – 2 + 3(x + 1) = 2(x – 1)
3x – 2 + 3x + 3 = 2x – 2
3x + 3x – 2x = – 2 + 2 – 3
4x = – 3
x = –3/4

2 ^{2x + 1} * 2 ^{x + 4}= 2 ^{x + 2} * 32
2 ^{2x + 1}* 2 ^{x + 4}= 2 ^{x + 2} * 2 ⁵
2x + 1 + x + 4 = x + 2 + 5
2x + x – x = 2 + 5 – 1 – 4
2x = 2
x = 1

Exercícios:

1)Se x é um número real, resolva a equação exponencial 3^2x + 3^{x + 1} = 18:

2)Resolva a equação exponencial:

– 5^{x – 1} – 5^x + 5^{x + 2} = 119

3)(UFJF) Dada a equação 2^{3x – 2}· 8^{x + 1} = 4^{x – 1}, podemos afirmar que sua solução é um número:

a) natural.

b) maior do que 1.

c) de módulo maior do que 1.

d) par.

e) de módulo menor do que 1.

4)(Mackenzie – SP) A soma das raízes da equação 2^{2x + 1}– 2^{x + 4} = 2^{x + 2}– 32 é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

e) 7

5 )Calcule as equações abaixo: a) b)
c)
d)
e)

f )

(Fonte http://www.brasilescola.com/ ehttp://www.tutorbrasil.com.br/ )

Exercícios de Progressão geométrica P.G

Uma sequencia de números gerada pela multiplicação ou divisão de um mesmo número, chama-se Progressão geométrica.

Fórmula para calcular qualquer termo da sequencia:

An = A₁ . q^n-1

Com base nessa expressão, temos que:

a₂ = a₁ . q
a₃ = a₁ . q²
a₅ = a₁ . q⁴

Exemplo: Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈= 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748 ( 8º termo )

Fórmula da Soma dos termos de uma PG finita

S_n = A₁ . (qⁿ - 1)
q - 1

Fórmula da Soma dos termos de uma PG infinita

1) Escreva o termo seguinte de cada uma das progressões geométricas:

a) (1, 2, 4, ...)

b) (3/5, 3, 15, ...)

c) (2.2^1/2, 4, 42^1/2, ...)

d) (–3, 18, –108, ...)

2) Escreva uma P.G. de quatro termos, dados a₁ = 3 e q = 2.

3) Sabendo-se que x – 4, 2x + 4 e 10x – 4 são termos

consecutivos de uma P.G., calcule x de modo que eles sejam positivos.

4) Sabendo-se que a sucessão (x – 1, x + 2, 3x, ...) é uma P.G.

crescente, determine x.

5) A soma de três termos consecutivos de uma P.G. é 21 e o

produto, 216. Sabendo-se que a razão é um número inteiro, calcule

esses números.

6) Classifique em crescente, decrescente ou oscilante as progressões

geométricas:

a) (1000, 100, 10, 1, 1/10)

b) (1/16, 1/4, 1, 1, 4, 16)

c) (2, –4, 8, –16)

7) Numa P.G. tem-se a₁ = 3 e a₈ = 384. Calcule:

a) a razão;

b) o terceiro termo.

8) O primeiro termo de uma P.G. é 5.2^1/2, a razão é 2^1/2 e o

último termo é 80. Calcule:

a) quantos termos tem essa P.G.;

b) o seu quinto termo.

9) Considere esta seqüência de figuras.

Na figura 1, há 1 triângulo.

Na figura 2, o número de triângulos menores é 4.

Na figura 3, o número de triângulos menores é 16 e

assim por diante.

Prosseguindo essa construção de figuras, teremos quantos

triângulos menores na figura 7?

10) O oitavo e o décimo termos de uma seqüência numérica são,

respectivamente, 640 e 2.560. Determine o nono termo, no caso de:

a) a seqüência ser uma progressão aritmética;

b) a seqüência ser uma progressão geométrica;

11) O segundo termo de uma P.G. decrescente é 9/8 e o quarto

é 1/2. Calcule o oitavo termo.

12) Em uma P.G. de razão positiva sabe-se que a₄ + a₆ = -320 e

a₄ - a₆ = 192. Determine o quinto termo dessa P.G.

13) Sabendo-se que em uma P.G. a₂ + a₄ = 60 e a₃ + a₅ = 180,

calcule a₆.

14) Calcule:

a) a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (2, –6, 18, ...);

b) a soma dos seis primeiros termos da P.G. (3.3^1/2, 9, 9. 3^1/2);

c) a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (2, 4, 8, 16, ...).

d) Determine a soma dos 6 termos da P.G. crescente em

que os extremos são 1/9 e 27.

15) Calcule a soma dos termos da P.G.

(2, 2. 5^1/2, 10, 10. 5^1/2, 50, 50. 5^1/2, 250).

16) Escreva a P.G. cuja razão é 3/2 e a soma dos cinco primeiros

termos é 422.

17) Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar

de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam

o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho

e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia

anterior. A moça recusou o trabalho. Se ela tivesse aceito a

oferta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?

18) Uma praga atacou uma criação de aves. No primeiro dia,

uma ave adoeceu; no segundo dia, duas outras aves adoeceram;

no terceiro dia, adoeceram mais quatro e assim por diante, até o

oitavo dia. Nenhuma das aves morreu. Sabendo-se que ao fim

do oitavo dia não havia nenhuma ave sem a doença, qual é o

total de aves dessa criação?

19) Determine a soma dos termos das seguintes progressões

geométricas infinitas:

a) (10, 4, 8/5, ...)

b) (3/5, 3/10, 3/20,...)

c) (100, –10, 1, ...)

d) (2/10, 2/100, 2/1000,...)

20) A soma dos termos de uma P.G. decrescente infinita é

128 e a razão é 1/4. Calcule o segundo termo.

21) Uma forte chuva começa a cair na faculdade formando uma

goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e

30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica

de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda

da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de

duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em

que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto

tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a

goteira se transformará em um fio contínuo de água?

22) O primeiro termo e a soma dos termos de uma P.G.

decrescente infinita são, respectivamente, 4 e 12. escrever essa P.G.

23) Em uma colônia de bactérias, uma bactéria divide-se em duas

a cada hora. Determinar o número de bactérias originadas de uma só

bactéria dessa colônia depois de 15 horas.

24) Se cada coelha de uma colônia gera três coelhas, qual o número

de coelhas da 7ª geração que serão descendentes de uma única coelha?

25) Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375.

Calcular o primeiro termo dessa PG.

26) Ache a soma dos 10 primeiros termos das progressões:

a) (2, 4, 8, ...)

b) (-1, 4, -16, ...)

27) Calcule a soma dos termos de cada uma das seguintes

progressões geométricas:

a) (5, 1, 1/5, ...);

b) (20, 10, 5, ...);

c) (-30, -10, -10/3, ...);

d) (2^-2, 2^-4, 2^-6, ...);

e) (1, 10^-1, 10^-2, 10^-3, ...)

(Fonte:http://www.brasilescola.com/ e www.matematiques.com.br)