Exercícios de Progressão geométrica P.G

Uma sequencia de números gerada pela multiplicação ou divisão de um mesmo número, chama-se Progressão geométrica.

Fórmula para calcular qualquer termo da sequencia:  

                                                     An = A₁ . q^n-1

Com base nessa expressão, temos que:

a₂ = a₁ . q
a₃ = a₁ . q² 
a₅ = a₁ . q⁴

Exemplo: Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈ = 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748 (  8º termo )


Fórmula da Soma dos termos de uma PG finita

S_n = A₁ . (qⁿ - 1)
          q - 1

Fórmula da Soma dos termos de uma PG infinita

1)   Escreva o termo seguinte de cada uma das progressões geométricas:

a)   (1, 2, 4, ...)

b)   (3/5, 3, 15, ...)

c)   (2.2^1/2, 4, 42^1/2, ...)

d)   (–3, 18, –108, ...)

2)   Escreva uma P.G. de quatro termos, dados a₁ = 3 e q = 2.

3)   Sabendo-se que x – 4, 2x + 4 e 10x – 4 são termos 

consecutivos de uma P.G., calcule x de modo que eles sejam positivos.

4)   Sabendo-se que a sucessão (x – 1, x + 2, 3x, ...) é uma P.G. 

crescente, determine x.

5)   A soma de três termos consecutivos de uma P.G. é 21 e o 

produto, 216. Sabendo-se que a razão é um número inteiro, calcule

 esses números.

6)   Classifique em crescente, decrescente ou oscilante as progressões

 geométricas:

a)   (1000, 100, 10, 1, 1/10)

b)   (1/16, 1/4, 1, 1, 4, 16)

c)   (2, –4, 8, –16)

7)   Numa P.G. tem-se a₁ = 3 e a₈ = 384. Calcule:

a)   a razão;

b)   o terceiro termo.

8)   O primeiro termo de uma P.G. é 5.2^1/2, a razão é 2^1/2 e o 

último termo é 80. Calcule:

a)   quantos termos tem essa P.G.;

b)   o seu quinto termo.

9)   Considere esta seqüência de figuras. 

 

       Na figura 1, há 1 triângulo.

       Na figura 2, o número de triângulos menores é 4.

       Na figura 3, o número de triângulos menores é 16 e 

assim por diante.

       Prosseguindo essa construção de figuras, teremos quantos

 triângulos menores na figura 7?

10)     O oitavo e o décimo termos de uma seqüência numérica são, 

respectivamente, 640 e 2.560. Determine o nono termo, no caso de:

a)    a seqüência ser uma progressão aritmética;

b)    a seqüência ser uma progressão geométrica;

11)     O segundo termo de uma P.G. decrescente é 9/8 e o quarto 

é 1/2. Calcule o oitavo termo.

12)     Em uma P.G. de razão positiva sabe-se que a₄ + a₆ = -320 e 

a₄ - a₆ = 192. Determine o quinto termo dessa P.G.

13)     Sabendo-se que em uma P.G. a₂ + a₄ = 60 e a₃ + a₅ = 180, 

calcule a₆.

14)     Calcule:

a)    a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (2, –6, 18, ...);

b)    a soma dos seis primeiros termos da P.G. (3.3^1/2, 9, 9. 3^1/2);

c)    a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (2, 4, 8, 16, ...).

d)    Determine a soma dos 6 termos da P.G. crescente em 

que os extremos são 1/9 e 27.

15)     Calcule a soma dos termos da P.G.

 (2, 2. 5^1/2, 10, 10. 5^1/2, 50, 50. 5^1/2, 250).

16)     Escreva a P.G. cuja razão é 3/2 e a soma dos cinco primeiros 

termos é 422.

17)     Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar 

de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam 

o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho 

e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia 

anterior. A moça recusou o trabalho. Se ela tivesse aceito a 

oferta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?

18)     Uma praga atacou uma criação de aves. No primeiro dia, 

uma ave adoeceu; no segundo dia, duas outras aves adoeceram; 

no terceiro dia, adoeceram mais quatro e assim por diante, até o 

oitavo dia. Nenhuma das aves morreu. Sabendo-se que ao fim

 do oitavo dia não havia nenhuma ave sem a doença, qual é o

 total de aves dessa criação?

19)     Determine a soma dos termos das seguintes progressões 

geométricas infinitas:

a)    (10, 4, 8/5, ...)

b)    (3/5, 3/10, 3/20,...)

c)    (100, –10, 1, ...)

d)    (2/10, 2/100, 2/1000,...)

20)     A soma dos termos de uma P.G. decrescente infinita é 

128 e a razão é 1/4. Calcule o segundo termo.

21)     Uma forte chuva começa a cair na faculdade formando uma 

goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 

30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica 

de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda

 da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de

 duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em 

que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto

 tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a 

goteira se transformará em um fio contínuo de água?

22)     O primeiro termo e a soma dos termos de uma P.G. 

decrescente infinita são, respectivamente, 4 e 12. escrever essa P.G.

23)  Em uma colônia de bactérias, uma bactéria divide-se em duas 

a cada hora. Determinar o número de bactérias originadas de uma só

bactéria dessa colônia depois de 15 horas.

24)  Se cada coelha de uma colônia gera três coelhas, qual o número 

de coelhas da 7ª geração que serão descendentes de uma única coelha?

25)  Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. 

Calcular o primeiro termo dessa PG.

 26)  Ache a soma dos 10 primeiros termos das progressões:

a)      (2, 4, 8, ...)

b)      (-1, 4, -16, ...)

 27)  Calcule a soma dos termos de cada uma das seguintes

progressões geométricas:

a)      (5, 1, 1/5, ...);

b)      (20, 10, 5, ...);

c)      (-30, -10, -10/3, ...);

d)     (2^-2, 2^-4, 2^-6, ...);

e)      (1, 10^-1, 10^-2, 10^-3, ...)

(Fonte:http://www.brasilescola.com/ e www.matematiques.com.br)