O Cálculo algorítmico

É essencial ensinar o que está por trás do passo a passo das contas armadas 

O algoritmo garante chegar ao resultado baseado em um número finito de passos

O cálculo algorítmico é uma sequência finita e ordenada de passos (regras), com um esquema de processamento que permite a resolução de problemas ou de cálculos simples. Algoritmo é uma palavra latinizada, derivada do nome de Al Khowarizmi, matemático árabe do século 19. Esse tipo de procedimento surgiu da necessidade de fazer contas sem o auxílio de ábacos, dedos e outros recursos. Até então, a estrutura dos cálculos esteve associada às ferramentas que havia à mão: pedras sobre o chão, varetas de bambu, a calculadora de manivela, a régua de cálculo e, por fim, a calculadora. É resultado de técnicas de cálculo que levaram séculos para se desenvolver. 

São vários os tipos de conta armada que existem para somar e subtrair. O jeito mais comum no Brasil é o cálculo com recurso à ordem superior, com reserva (adição) ou com empréstimo (subtração): o famoso "vai um" e "empresta um", ações correspondentes às decomposições numéricas. 

Quando bem compreendido pela turma, o algoritmo é um meio poderoso para realizar cálculos com resultados precisos, quando não se quer privilegiar a reflexão sobre cada etapa de um problema. 

Expectativas de aprendizagem 

Os Parâmetros Curriculares Nacionais estabelecem que ao final do 3º ano os alunos devem: 

• Desenvolver procedimentos de cálculo - mental, escrito, exato, aproximado - pela observação de regularidades e de propriedades das operações e pela antecipação e verificação de resultados. 

• Utilização de sinais convencionais (+, -, x, :, =) na escrita das operações. 

As Orientações Curriculares do Município de São Paulo trazem as propostas divididas pelos anos. 

Para o 2º ano: 

• Utilizar sinais convencionais (+,-, =) na escrita de operações de adição e subtração. 

Para o 3º ano: 

• Utilizar uma técnica convencional para calcular o resultado de adições. 

• Utilizar uma técnica convencional para calcular o resultado de subtrações, sem recurso à unidade de ordem superior (sem "empréstimos"). 



portaldoprofessor.mec.gov.br/fich

Exercícios sobre Adição e Subtração de matrizes

É uma tabela com m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Adição e Subtração de Matrizes

1)Dadas as matrizes, e, determine a matriz D resultante da operação A + B – C.

  +    -  

Para a resolução desse exercício, você terá que fazer a adição do elemento da PRIMEIRA linha e PRIMEIRA coluna da MATRIZ A com o elemento da PRIMEIRA linha e PRIMEIRA coluna da MATRIZ B e subtrair com o elemento da MATRIZ C e assim por diante.

Resolução:

Exercícios:

1)Os elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 x 3 são dados por a_ij, onde:

i + j, se i ≠ j

0, se i = j

Determine M + M.

2)Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A e B.

3)Determine a matriz resultante da subtração das seguintes matrizes:

4)Determine a matriz resultante da adição das seguintes matrizes:

5)Determine a matriz resultante da subtração das seguintes matrizes:

(fonte:http://comocalcular.com.br/exercicios/matrizexerciciosresolvidos)

Exercícios sobre logaritmos

Definição de Logaritmo

Pode-se definir logaritmo da seguinte forma:

Ou seja, o logaritmo é o expoente que uma certa base deve ter para produzir um número determinado (no nosso caso o N).

Nomenclatura

Quando utilizamos o logaritmo cada um dos termos tem um nome.

Neste caso temos:
a - Base
N - Logaritmando
x - Logaritmo

Consequências da definição

Com base na definição podemos facilmente chegar as seguintes consequências:

A primeira vem do fato que qualquer número real (diferente de zero) elevado a 0 (zero) é igual a 1 (um).
A segunda vem simplesmente do fato que um número elevado a um é igual a ele mesmo.
A terceira vem aplicando a definição em "a" elevado a "n".
A quarta é só aplicar a definição no logaritmo de "x" na base "a".

Agora vejamos algumas das propriedades dos logaritmos.

Logaritmo de um produto

O logaritmo do produto de dois números é igual à soma do logaritmo de cada número.

Logaritmo de um quociente

O logaritmo do quociente de dois números é igual ao logaritmo do dividendo (número de cima) subtraído (menos) o logaritmo do divisor (número de baixo).
Uma das consequências dessa propriedade é a seguinte.

Neste caso o dividendo é 1 (um). Como o logaritmo de um é zero, sobra apenas o negativo do logaritmo do divisor.

Logaritmo de uma potência

O logaritmo de um número elevado a "n" é igual a "n" vezes o logaritmo do número.

Mudança de base

Quando se tem um logaritmo em uma determinada base e conhecemos o logaritmo do logaritmando e da base em outra base, podemos fazer uma mudança da seguinte forma:

Assim o logaritmo se torna um quociente do logaritmando e da base em uma nova base "a".

Desta forma temos as seguintes consequências:

O que significa também que:

• 
  
• (FUVEST - 2012)1)Tendo em vista as aproximações log10 2 ≅ 0,3 e log10 3 ≅ 0,48 então, o maior número inteiro n que satisfazendo 10n ≤ 12418, é igual a:

a)424

b)437

c)443

d)451

e)460

2) Calcule o Log24 6 sabendo que o Log27 6 = x que o Log27 4 = y.

3) (UFRGS) Se  e , então  é

    (A) 
    (B) 

    (C)

    (D) 

    (E) 

4) Calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a)	b)
c)	d)
e)	f)
g)	h)

5) Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a)

b)

c)

d)

• 
  

6) Em Química, defini-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração de H₃O⁺ . O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de  H₃O⁺ é  4,8. 10 ^-8 mol/l. Qual será o pH desse líquido?

• 
  

((http://www.matematiques.com.br/e http://delta-y.blogspot.com.br/http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/)

Exercícios sobre equação exponencial

Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras.

Exemplos de equações exponenciais:

10^x = 100
2^x + 12 = 20
9^x = 81
5^x+1 = 25

Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir:

3^x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 3⁷)
3^x = 3⁷
x = 7

O valor de x na equação é 7.


Vamos resolver mais algumas equações exponenciais:


2^{x + 12} = 1024
2^{x + 12} = 2¹⁰
x + 12 = 10
x = 10 – 12
x = – 2


2 ^{4x + 1} * 8 ^{–x + 3} = 16 ^–1
2 ^{4x + 1} * 2 ^{3(–x + 3)} = 2 ^-4
2 ^{4x + 1} * 2 ^{–3x + 9} = 2^-4 
4x + 1 – 3x + 9 = – 4
4x – 3x = –1 – 4 – 9
x = – 14


5 ^{x + 3 *} 5 ^{x + 2} * 5 ^x = 125
5 ^{x + 3} * 5 ^{x + 2} * 5 ^x = 5 3
x + 3 + x + 2 + x = 3
3x = 3 – 5
3x = – 2
x = –2/3


2 ^{3x – 2} * 8 ^{x + 1} = 4 ^{x – 1}
2 ^{3x – 2} * 2 ^{3(x + 1)} = 2 ^{2(x – 1)}
3x – 2 + 3(x + 1) = 2(x – 1)
3x – 2 + 3x + 3 = 2x – 2
3x + 3x – 2x = – 2 + 2 – 3
4x = – 3
x = –3/4


2 ^{2x + 1} * 2 ^{x + 4} = 2 ^{x + 2} * 32
2 ^{2x + 1} * 2 ^{x + 4} = 2 ^{x + 2} * 2 ⁵
2x + 1 + x + 4 = x + 2 + 5
2x + x – x = 2 + 5 – 1 – 4
2x = 2
x = 1

Exercícios:

1)Se x é um número real, resolva a equação exponencial 3^2x + 3^{x + 1} = 18:

2)Resolva a equação exponencial:

– 5^{x – 1} – 5^x + 5^{x + 2} = 119

3)(UFJF) Dada a equação 2^{3x – 2} · 8^{x + 1} = 4^{x – 1}, podemos afirmar que sua solução é um número:

a) natural.

b) maior do que 1.

c) de módulo maior do que 1.

d) par.

e) de módulo menor do que 1.

4)(Mackenzie – SP) A soma das raízes da equação 2^{2x + 1} – 2^{x + 4} = 2^{x + 2} – 32 é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

e) 7

5 )Calcule as equações  abaixo: a) b)
c)
d)
e)

  f )

g)

(Fonte http://www.brasilescola.com/ ehttp://www.tutorbrasil.com.br/ )