SIMULADO 02 – Raciocínio lógico com gabarito

SIMULADO 02 – RACIOCÍNIO LÓGICO

01. Com a promulgação de uma nova lei, um determinado concurso deixou de ser realizado por meio de provas, passando a análise curricular a ser o único material para aprovação dos candidatos. Neste caso, todos os candidatos seriam aceitos, caso preenchessem e entregas-sem a ficha de inscrição e tivessem curso superior, a não ser que não tivessem nascido no Brasil e/ou tivessem idade superior a 35 anos.José preencheu e entregou a ficha de inscrição e possuía curso superior, mas não passou no concurso.Considerando o texto acima e suas restrições, qual das alternativas abaixo, caso verdadeira, criaria uma contradição com a desclassificação de José ?

1. José tem menos de 35 anos e preencheu a ficha de inscrição corretamente.
2. José tem mais de 35 anos, mas nasceu no Brasil.
3. José tem menos de 35 anos e curso superior completo.
4. José tem menos de 35 anos e nasceu no Brasil.

02. Uma rede de concessionárias vende somente carros com motor 1.0 e 2.0. Todas as lojas da rede vendem carros com a opção dos dois motores, oferecendo, também, uma ampla gama de opcionais. Quando comprados na loja matriz, carros com motor 1.0 possuem somente ar-condicionado, e carros com motor 2.0 têm sempre ar-condicionado e direção hidráulica. O Sr. Asdrubal comprou um carro com ar-condicionado e direção hidráulica em uma loja da rede.Considerando-se verdadeiras as condições do texto acima, qual das alternativas abaixo precisa ser verdadeira quanto ao carro comprado pelo Sr. Asdrubal?

1. Caso seja um carro com motor 2.0, a compra não foi realizada na loja matriz da rede.
2. Caso tenha sido comprado na loja matriz, é um carro com motor 2.0.
3. É um carro com motor 2.0 e o Sr. Asdrubal não o comprou na loja matriz.
4. Sr. Antônio comprou, com certeza, um carro com motor 2.0.

03. Em uma viagem de automóvel, dois amigos partem com seus carros de um mesmo ponto na cidade de São Paulo. O destino final é Maceió, em Alagoas, e o trajeto a ser percorrido também é o mesmo para os dois. Durante a viagem eles fazem dez paradas em postos de gasolina para reabastecimento dos tanques de gasolina. Na décima parada, ou seja, a última antes de atingirem o objetivo comum, a média de consumo dos dois carros é exatamente a mesma. Considerando que amanhã os dois sairão ao mesmo tempo e percorrerão o último trecho da viagem até o mesmo ponto na cidade de Maceió, podemos afirmar que:I - Um poderá chegar antes do outro e, mesmo assim manterão a mesma média de consumo.II - Os dois poderão chegar ao mesmo tempo e, mesmo assim manterão a mesma média de consumo.III - O tempo de viagem e o consumo de combustível entre a paradas pode ter sido diferente para os dois carros.

1. Somente a hipótese (I) está correta.
2. Somente a hipótese (II) está correta.
3. Somente a hipótese (III) está correta.
4. As hipóteses (I), (II) e (III) estão corretas.

04. Vislumbrando uma oportunidade na empresa em que trabalha, o Sr. Joaquim convidou seu chefe para jantar em sua casa. Ele preparou, junto com sua esposa, o jantar perfeito que seria servido em uma mesa retangular de seis lugares - dois lugares de cada um dos lados opostos da mesa e as duas cabeceiras, as quais ficariam vazias. No dia do jantar, o Sr. Joaquim é surpreendido pela presença da filha de seu chefe junto com ele e a esposa, sendo que a mesa que havia preparado esperava apenas quatro pessoas. Rapidamente a esposa do Sr. Joaquim reorganizou o arranjo e acomodou mais um prato à mesa e, ao sentarem, ao em vez de as duas cabeceiras ficarem vazias, uma foi ocupada pelo Sr. Joaquim e a outra pelo seu chefe. Considerando-se que o lugar vago não ficou perto do Sr. Joaquim, perto de quem, com certeza, estava o lugar vago?

1. Perto do chefe do Sr. Joaquim.
2. Perto da esposa do chefe do Sr. Joaquim.
3. Perto da filha do chefe do Sr. Joaquim.
4. Perto da esposa do Sr. Joaquim.

05. Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as cidades de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem simultaneamente, um de cada cidade, para percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O ônibus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175 sai de Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum dos dois realizou nenhuma parada no trajeto, podemos afirmar que:I - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto de Bonito do que o 165.II - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá andado mais tempo do que o 175.

1. Somente a hipótese (I) está errada.
2. Somente a hipótese (II) está errada.
3. Ambas as hipóteses estão erradas.
4. Nenhuma das hipóteses está errada.

06. Stanislaw Ponte Preta disse que ''a prosperidade de alguns homens públicos do Brasil é uma prova evidente de que eles vêm lutando pelo progresso do nosso subdesenvolvimento.''. Considerando que a prosperidade em questão está associada à corrupção, podemos afirmar que esta declaração está intimamente ligada a todas as alternativas abaixo, EXCETO:

1. nível de corrupção de alguns homens públicos pode ser medido pelo padrão de vida que levam.
2. A luta pelo progresso do subdesenvolvimento do Brasil está indiretamente relacionada à corrupção dos políticos em questão.
3. A luta pelo progresso do subdesenvolvimento do Brasil está diretamente relacionada à corrupção dos políticos em questão.
4. progresso de nosso subdesenvolvimento pode ser muito bom para alguns políticos.

07. Em uma empresa, o cargo de chefia só pode ser preenchido por uma pessoa que seja pós-graduada em administração de empresas. José ocupa um cargo de chefia, mas João não. Partindo desse princípio, podemos afirmar que:

1. José é pós-graduado em administração de empresas e João também pode ser.
2. José é pós-graduado em administração de empresas, mas João, não.
3. José é pós-graduado em administração de empresas e João também.
4. José pode ser pós-graduado em administração de empresas, mas João, não.

08. Três amigos - Antônio, Benedito e Caetano - adoram passear juntos. O problema é que eles nunca se entendem quanto ao caminho que deve ser seguido. Sempre que Antônio quer ir para a esquerda, Benedito diz que prefere a direita. Já entre Antônio e Caetano, um sempre quer ir para a esquerda, mas nunca os dois juntos. Fica ainda mais complicado, pois Benedito e Caetano também nunca querem ir para a direita ao mesmo tempo. Se considerarmos um passeio com várias bifurcações, o(s) único(s) que pode(m) ter votado esquerda e direita respectivamente, nas duas últimas bifurcações, é ou são:

1. Antônio.
2. Benedito.
3. Caetano.
4. Antônio e Caetano.

09. Em um concurso para fiscal de rendas, dentre os 50 candidatos de uma sala de provas, 42 são casados. Levando em consideração que as únicas respostas à pergunta ''estado civil'' são ''casado'' ou ''solteiro'', qual o número mínimo de candidatos dessa sala a que deveríamos fazer essa pergunta para obtermos, com certeza, dois representantes do grupo de solteiros ou do grupo de casados?

1. 03
2. 09
3. 21
4. 26

10. Em uma viagem ecológica foram realizadas três caminhadas. Todos aqueles que participaram das três caminhadas tinham um espírito realmente ecológico, assim como todos os que tinham um espírito realmente ecológico participaram das três caminhadas. Nesse sentido, podemos concluir que:

1. Carlos participou de duas das três caminhadas, mas pode ter um espírito realmente ecológico.
2. Como Pedro não participou de nenhuma das três caminhadas ele, é antiecológico.
3. Aqueles que não participaram das três caminhadas não têm um espírito realmente ecológico.
4. Apesar de ter participado das três caminhadas, Renata tem um espírito realmente ecológico.

11. O economista José Júlio Senna estima que em 1998 o déficit em conta corrente do país será de US$ 40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à redução das importações, esse déficit diminuirá em US$ 12 bilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagar US$ 29 bilhões em amortizações. Nessas condições, mesmo supondo que entrem US$ 17 bilhões em investimentos diretos e US$ 15 bilhões para financiar as importações, ainda faltarão para o país equilibrar suas contas uma quantia em dólares igual a

1. 32 bilhões
2. 29 bilhões
3. 25 bilhões
4. 13 bilhões
5. 1 bilhão

12. Considere o seguinte texto de jornal:''O ministro X anunciou um corte de verbas de 2,43 bilhões de dólares, o que corresponde a uma economia equivalente a 0,3% do PIB.''Dessa informação deduz-se que o PIB do país, expresso em dólares, é

1. 890 000 000 000
2. 810 000 000 000
3. 128 600 000 000
4. 810 000 000
5. 128 600 000

13. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar que pelo menos duas dessas pessoas

1. têm 50 anos de idade.
2. nasceram num mesmo ano.
3. nasceram num mesmo mês.
4. nasceram num mesmo dia da semana.
5. nasceram numa mesma hora do dia.

14. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas?

1. 50%
2. 44,5%
3. 42%
4. 37,5%
5. 25%

15. Com 1 260 kg de matéria prima uma fábrica pode produzir 1 200 unidades diárias de certo artigo durante 7 dias. Nessas condições, com 3 780 kg de matéria prima, por quantos dias será possível sustentar uma produção de 1 800 unidades diárias desse artigo?

1. 7
2. 9
3. 10
4. 12
5. 14

16. Alberto recebeu R$ 3 600,00, mas desse dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos e este deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devem receber, respectivamente,

1. 1 440 e 288 reais.
2. 1 440 e 720 reais.
3. 1 600 e 400 reais.
4. 1 800 e 360 reais.
5. 1 800 e 720 reais.

17. Quatro pessoas querem trocar presentes. O nome de cada pessoa é escrito em um papelzinho e colocado numa caixa. Depois, cada uma das pessoas sorteia um papelzinho para saber quem ela irá presentear. A chance de as quatro pessoas sortearem seus próprios nomes é de

1. 1 em 3
2. 2 em 7
3. 1 em 4
4. 1 em 8
5. 1 em 16

18. Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possível obter como resultado quase todos os números inteiros positivos. Exemplos: 32 = 8 + 8 + 8 + 8; 33 = (5 + 8) + (5 + 5 + 5 + 5).O maior número que NÃO pode ser obtido dessa maneira é

1. 22
2. 27
3. 29
4. 96
5. 130

19. Se 1 hectare corresponde à área de um quadrado com 100 m de lado, então expressando-se a área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados obtém-se

1. 0,0036
2. 0,036
3. 0,36
4. 36
5. 3600

20. Um atleta faz um treinamento cuja primeira parte consiste em sair de casa e correr em linha reta até certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempo gasto nesse treinamento foi exatamente 3 horas, o tempo em que ele correu superou o tempo em que caminhou em

1. 15 minutos.
2. 22 minutos.
3. 25 minutos.
4. 30 minutos.
5. 36 minutos.

GABARITO

01-D | 02-B | 03-D | 04-A | 05-C06-B | 07-A | 08-B | 09-A | 10-C

11-D | 12-E | 13-E | 14-A | 15-C16-B | 17-D | 18-B | 19-B | 20-D

(fonte: http://www.ebah.com.br/content)

SIMULADO 01 – Raciocínio lógico com gabarito

SIMULADO 01 – RACIOCÍNIO LÓGICO

01. O economista José Júlio Senna estima que em 1998 o déficit em conta corrente do país será de US$ 40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à redução das importações, esse déficit diminuirá em US$ 12 bilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagar US$ 29 bilhões em amortizações. Nessas condições, mesmo supondo que entrem US$ 17 bilhões em investimentos diretos e US$ 15 bilhões para financiar as importações, ainda faltarão para o país equilibrar suas contas uma quantia em dólares igual a

1. 1 bilhão
2. 13 bilhões
3. 25 bilhões
4. 29 bilhões
5. 32 bilhões

02. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar que pelo menos duas dessas pessoas

1. nasceram num mesmo ano.
2. nasceram num mesmo mês.
3. nasceram num mesmo dia da semana.
4. nasceram numa mesma hora do dia.
5. têm 50 anos de idade.

03. Com 1.260 kg de matéria prima uma fábrica pode produzir 1.200 unidades diárias de certo artigo durante 7 dias. Nessas condições, com 3.780 kg de matéria prima, por quantos dias será possível sustentar uma produção de 1.800 unidades diárias desse artigo?

1. 14
2. 12
3. 10
4. 9
5. 7

04. Alberto recebeu R$ 3.600,00, mas desse dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos e este deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devem receber, respectivamente,

1. 1.800 e 720 reais.
2. 1.800 e 360 reais.
3. 1.600 e 400 reais.
4. 1.440 e 720 reais.
5. 1.440 e 288 reais.

05. Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é

1. 518.400
2. 1.440
3. 720
4. 120
5. 54

06. Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possível obter como resultado quase todos os números inteiros positivos. Exemplos: 32 = 8 + 8 + 8 + 8; 33 = (5 + 8) + (5 + 5 + 5 + 5).O maior número que NÃO pode ser obtido dessa maneira é

1. 130
2. 96
3. 29
4. 27
5. 22

07. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas?

1. 25%
2. 37,5%
3. 42%
4. 44,5%
5. 50%

08. Numa loja de roupas, um terno tinha um preço tão alto que ninguém se interessava em comprá-lo. O gerente da loja anunciou um des-conto de 10% no preço, mas sem resultado. Por isso, ofereceu novo desconto de 10%, o que baixou o preço para R$ 648,00. O preço inicial desse terno era superior ao preço final em

1. R$ 162,00
2. R$ 152,00
3. R$ 132,45
4. R$ 71,28
5. R$ 64,00

09. Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz - Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que

1. Y fala a verdade.
2. a resposta de Y foi NÃO.
3. ambos falam a verdade.
4. ambos mentem.
5. X fala a verdade.

10. Se 1 hectare corresponde à área de um quadrado com 100 m de lado, então expressando-se a área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados obtém-se

1. 3.600
2. 36
3. 0,36
4. 0,036
5. 0,0036

11. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que

1. todo C é B
2. todo C é A
3. algum A é C
4. nada que não seja C é A
5. algum A não é C

12. Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios):

Premissa 1: ''X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P''

Premissa 2: ''X não está contido em P''Pode-se, então, concluir que, necessariamente

1. Y está contido em Z
2. X está contido em Z
3. Y está contido em Z ou em P
4. X não está contido nem em P nem em Y
5. X não está contido nem em Y e nem em Z

13. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:

1. jardim é florido e o gato mia
2. jardim é florido e o gato não mia
3. jardim não é florido e o gato mia
4. jardim não é florido e o gato não mia
5. se o passarinho canta, então o gato não mia

14. Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:Armando: ''Sou inocente''Celso: ''Edu é o culpado''Edu: ''Tarso é o culpado''Juarez: ''Armando disse a verdade''Tarso: ''Celso mentiu''Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é:

1. Armando
2. Celso
3. Edu
4. Juarez
5. Tarso

15. Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a

1. 2
2. 4
3. 24
4. 48
5. 120

16. De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a

1. 30/200
2. 130/200
3. 150/200
4. 160/200
5. 190/200

17. Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

18. Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

1. se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
2. se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
3. se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
4. se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
5. se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

19. Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,

1. D ocorre e B não ocorre
2. D não ocorre ou A não ocorre
3. B e A ocorrem
4. nem B nem D ocorrem
5. B não ocorre ou A não ocorre

20. Dizer que ''Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista'' é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:

1. se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
2. se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
3. se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
4. se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
5. se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

GABARITO

01-C | 02-E | 03-A | 04-C | 05-B06-D | 07-B | 08-B | 09-E | 10-D

11-C | 12-B | 13-C | 14-E | 15-D16-D | 17-E | 18-A | 19-C | 20-A

(fonte:http://www.ebah.com.br/)

Explicação e exercícios resolvidos sobre Polinômios

Polinômios

Os polinômios, a priori, formam um plano conceitual importante na álgebra, entretanto possuem também uma relevante importância na geometria, quando se deseja calcular expressões que envolvem valores desconhecidos.

A definição de polinômio abrange diversas áreas, pois podemos ter polinômios com apenas um termo na expressão algébrica, como por exemplo: 2x, y, 4z, 2, 5, etc. Mas podemos possuir polinômios com uma infinidade de termos. Por exemplo:

P(x)=a_n xⁿ+a_(n-1) x^(n-1)+...+a₂ x²+a₁ x+a₀

Como podemos notar, polinômios são compostos pelas várias expressões algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números, até as que apresentam diversas letras, potências, coeficientes, entre outros elementos dos polinômios.

Os polinômios se encontram em um âmbito da matemática denominado álgebra, contudo a álgebra correlaciona o uso de letras, representativas de um número qualquer, com operações aritméticas. Portanto, podemos, assim, efetuar as operações aritméticas nos polinômios, que são: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação.

Buscaremos, então, nesta seção, abarcar todas as propriedades dos polinômios, assim como as operações aritméticas desses números.

Polinômio

Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão:

a₀ xⁿ  +  a₁ x^{n – 1} +  a₂ x^{n -2}  + ... +  a_{n – 1} x + a_n

A função polinomial será definida por:

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + a₂x^{n -2} + ... + a_{n – 1}x + a_n
Com:
a₀ , a₁ , a₂, … , a_{n – 1} e a_n são números complexos e n  N. 


• Valor numérico de um polinômio 
Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x⁴ – 3x³ + x² – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x.
Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.

P(2) = 5 . 2⁴ – 3 . 2³ + 2² – 2 + 2

P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2

P(2) = 80 – 24 + 4

P(2) = 56 + 4

P(2) = 60

Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x⁴ – 3x³ + x² – x + 2, quando
x = 2 será P(2) = 60.

• Raiz ou zero do polinômio

Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x³ + 5x² – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando
x = b.

Exemplo:

P(x) = x² - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:

x² - 1 = 0
x² = 1
x = + 1 ou - 1

Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x² - 1.


• Grau de um polinômio

Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:

• P(x) = x³ - x² + 2x -3   →   temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x³, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.

P(x) = x³ - x² + 2x -3 é do 3º grau.

• P(x) = 5x⁰ = 5 → grau zero.

Adição e Subtração de Polinômios

O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir: 

Adição 

Exemplo 1 

Adicionar x² – 3x – 1 com –3x² + 8x – 6. 

(x² – 3x – 1) + (–3x² + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal. 

+(–3x²) = –3x² 
+(+8x) = +8x 
+(–6) = –6 

x² – 3x – 1 –3x² + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes. 

x² – 3x² – 3x + 8x – 1 – 6 

–2x² + 5x – 7 

Portanto: (x² – 3x – 1) + (–3x² + 8x – 6) = –2x² + 5x – 7 


Exemplo 2 

Adicionando 4x² – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: 

(4x² – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 

4x² – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes. 

4x² – 10x + 6x – 5 + 12 

4x² – 4x + 7 

Portanto: (4x² – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x² – 4x + 7 

Subtração 

Exemplo 3 

Subtraindo –3x² + 10x – 6 de 5x² – 9x – 8. 

(5x² – 9x – 8) – (–3x² + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 

– (–3x²) = +3x² 
– (+10x) = –10x 
– (–6) = +6 

5x² – 9x – 8 + 3x² –10x +6 → reduzir os termos semelhantes. 

5x² + 3x² – 9x –10x – 8 + 6 

8x² – 19x – 2 

Portanto: (5x² – 9x – 8) – (–3x² + 10x – 6) = 8x² – 19x – 2 


Exemplo 4 
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos: 

(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais. 

2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes. 

2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5 

0x³ – 6x² + x + 16 

– 6x² + x + 16

Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16


Exemplo 5 
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule: 

a) A + B + C 

(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20 
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20 
9x³ + 6x² – 8x + 45 

A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45 

b) A – B – C 

(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20 
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20 
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30 
3x³ + 4x² – 8x – 15 

A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15

Adição, Subtração e Multiplicação de Polinômios

Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de extrema importância a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações aqui apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios.

Adição e Subtração

Considere os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles.

Adição

(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal

–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes

–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência

–3x³ – 2x² + 7x – 3


Subtração

(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal

–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes

–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência

3x³ – 2x² + 3x – 1



Multiplicação de polinômio por monômio

Para entendermos melhor, observe o exemplo:

(3x²) * (5x³ + 8x² – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação

15x⁵ + 24x⁴ – 3x³


Multiplicação de polinômio por polinômio

Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:

(x – 1) * (x² + 2x - 6)


x² * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)

(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)

x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.

x³ + x² – 8x + 6

Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.

Demonstrações através do cálculo algébrico

No estudo sobre o cálculo algébrico aprendemos a operar polinômios, fazer a sua fatoração e encontrar o seu mmc. E com essas informações é possível fazer algumas demonstrações como:

• A soma de dois números inteiros consecutivos será sempre a diferença de seus quadrados.

Considere x como sendo um número inteiro qualquer, o seu sucessor pode ser representado pelo polinômio x + 1. Somando esses dois polinômios chegaremos à seguinte expressão algébrica:

x + (x + 1) = x + x + 1 = 2x + 1

A diferença dos quadrados desses dois números consecutivos será representada pela seguinte expressão algébrica:

(x +1)² - x² = (x² + 2x + 1) – x² = x² + 2x + 1 - x² = 2x + 1

Comparado as duas expressões algébricas encontradas, podemos confirmar que

x + (x + 1) = (x +1)² - x²

• A soma de cinco números inteiros consecutivos será sempre múltiplo de 5.

Considere como sendo cinco números inteiros consecutivos os polinômios: x-2 ; x-1 ; x ; x + 1 ; x + 2.
Um número para que seja múltiplo de cinco pode ser escrito da seguinte forma: 5x, onde x é um número inteiro qualquer, ou seja, qualquer número que multiplicado por 5 será múltiplo de cinco.

Somando os cinco números consecutivos teremos:

x - 2 + x - 1 + x + x + 1 + x + 2 = 5x -3 + 3 = 5x, portanto, é verdadeiro dizer que a soma de 5 números inteiros consecutivos terá como resposta um número múltiplo de 5.

• A soma de dois números inteiros ímpares será sempre um número par.

Para que um número seja par é preciso que ele esteja escrito da seguinte forma: 2x, onde x representa um número inteiro qualquer. Dessa forma, um número ímpar seria igual a 2x +1.

Somar dois números ímpares seria o mesmo que:

(2x +1) + (2x + 1) = 2 (2x + 1). A expressão algébrica (2x + 1) terá valor numérico igual a um número inteiro qualquer, quando multiplicado por 2 (2x + 1) irá resultar em um número par.

Divisão de polinômio por polinômio

Em toda divisão temos dividendo, divisor, quociente e resto, como estamos falando de divisão de polinômio por polinômio, teremos:

Para o dividendo um polinômio G(x)
Para o divisor um polinômio D(x)
Para o quociente um polinômio Q(x)Para o resto (podendo ser zero) um polinômio R(x)



Tem algumas observações a serem feitas, como:

? ao final da divisão o resto sempre tem que ser menor que o divisor: R(x) < D(x).

? quando o resto for igual a zero, a divisão é considerada exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor. R(x) = 0.

Observe a divisão de polinômio por polinômio abaixo, vamos partir de um exemplo, cada passo tomado no desenvolvimento da divisão será explicado.

Dada a divisão
(12x³ + 9 – 4x) : (x + 2x² + 3)

Antes de começar a operação temos que fazer algumas verificações:
? se todos os polinômios estão em ordem conforme as potências de x.

No caso da nossa divisão devemos ordenar, ficando assim:
(12x³ - 4x + 9) : (2x² + x + 3)  observar se no polinômio G(x) não está faltando algum termo, se estiver devemos completar.

No polinômio 12x³ - 4x + 9 está faltando o termo x², completando ficará assim:
12x³ + 0x² - 4x + 9



 G(x) tem 3 termos e D(x) tem 3 termos. Pegamos o 1º termo de G(x) e dividimos pelo 1º termo de D(x): 12x³ : 2x² = 6x, o resultado multiplicará o polinômio 2x²+ x + 3 e o resultado dessa multiplicação subtrairemos pelo polinômio 12x³ + 0x² - 4x + 9. Assim teremos:



 R(x) > D(x), podemos dar continuidade à divisão, repetindo o mesmo processo anterior. Achando agora o segundo termo de Q(x).




R(x) < D(x), não damos continuidade a divisão, concluindo que:

O quociente é 6x – 3 e o resto é –19x + 18.

Divisão de polinômios

Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).

Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado.

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo4x * (3x² + x – 2) + 0
12x³ + 4x² – 8x

Caso isso ocorra, a divisão está correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinômio por polinômio. Veja:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo   (2x – 5) * (5x – 9) + (–5)
10x² – 18x – 25x + 45 + (–5)
10x² – 43x + 45 – 5
10x² – 43x + 40


Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo

(3x² + x – 1) * (2x² – 4x + 5) + 0
6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5
6x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(4x – 5) * (3x² – x + 2) + (2x + 7)
12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7)
12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7
12x³ – 19x² + 15x – 3

Divisão de Polinômios utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini

Compreendendo um dispositivo que auxilia na divisão de polinômios: o dispositivo de Briot-Ruffini. Esse dispositivo utiliza uma raiz do polinômio e seus coeficientes para calcular a divisão do polinômio pela sua raiz.

Podemos ver no artigo de Divisão de polinômios o método tradicional para a divisão, utilizando o algoritmo da divisão. Entretanto, dois matemáticos (Paolo Ruffini e A. Briot) criaram um dispositivo prático para realizar esta divisão, dispositivo este que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini.
Esse algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x-a). Esse dispositivo usará apenas os coeficientes do polinômio e o termo constante (a).
Chamemos de p(x) o polinômio a ser dividido (dividendo); e h(x) o divisor no qual h(x)=x-a. Com isso, a estrutura do dispositivo é a seguinte:

Equação Polinomial

Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio: 
p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos: 

x⁴ + 9x² – 10x + 3 = 0 
10x⁶ – 2x⁵ + 6x⁴ + 12x³ – x² + x + 7 = 0 
x⁸ – x⁶ – 6x + 2 = 0 
x¹⁰ – 6x² + 9 = 0 

As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução. 


Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) 

Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa. 

Exemplo 1 
Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação: 
2x⁴ + kx³ – 5x² + x – 15 = 0 

Se 2 é raiz da equação, então temos: 

2(2)⁴ + k(2)³ – 5(2)² + 2 – 15 = 0 
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0 
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0 
8k + 34 – 35 = 0 
8k – 1 = 0 
8k = 1
k = 1/8 
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.

Exemplo 2 

Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx³ + (m + 2)x² – 3x – m – 8 = 0. 

Temos que: 

m(–3)³ + (m + 2)( –3)² – 3(–3) – m – 8 = 0 
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9 
– 19m = –19 
m = 1 

O valor de m é 1. 

Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios

As expressões algébricas fracionárias são aquelas em que o denominador possui letras, isto é, termos variáveis. Veja os exemplos:

No caso dessas frações algébricas, antes de realizarmos a soma devemos aplicar o cálculo do mmc, no intuito de igualar os denominadores, pois sabemos que somente adicionamos frações com denominadores iguais.
Para determinarmos o mmc de polinômios, fatoramos cada polinômio individualmente, e logo em seguida multiplicamos todos os fatores sem repetição dos comuns. A utilização dos casos de fatoração é de extrema importância para a determinação de algumas situações envolvendo mmc.


Exemplo 1 

mmc entre 10x e 5x² – 15x

10x = 2 * 5 * x

5x² – 15x = 5x * (x – 3)

mmc = 2 * 5 * x * (x – 3) = 10x * (x – 3) ou 10x² – 30x


Exemplo 2

mmc entre 6x e 2x³ + 10x²

6x = 2 * 3 * x

2x³ + 10x² = 2x² * (x + 5)

mmc = 2 * 3 * x² * (x + 5) = 6x² * (x + 5) ou 6x³ + 30x²


Exemplo 3 
mmc entre x² – 3x + xy – 3y e x² – y²

x² – 3x + xy – 3y = x(x – 3) + y(x – 3) = (x + y) * (x – 3)

x² – y² = (x + y) * (x – y)

mmc = (x – 3) * (x + y) * (x – y)



Exemplo 4 
mmc entre x³ + 8 e do trinômio x² + 4x + 4.


x³ + 8 = (x + 2) * (x² – 2x + 4).

x² + 4x + 4 = (x + 2)²

mmc = (x + 2)² * (x² – 2x + 4)

Multiplicidade de uma raiz

Na resolução da equação do 2º grau x² – 6x + 9 = 0, encontramos duas raízes iguais a 3. Utilizando o teorema da decomposição, fatoramos o polinômio e obtemos:
x² – 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)²
Nesse caso, dizemos que 3 é raiz de multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação.

Podemos dizer que:
x = -5 é raiz com multiplicidade 3 ou raiz tripla da equação p(x) = 0
x = -4 é raiz com multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação p(x) = 0
x = 2 é raiz com multiplicidade 1 ou raiz simples da equação p(x) = 0
De maneira geral, dizemos que r é uma raiz de multiplicidade n, com n ≥ 1, da equação p(x) = 0, se:

Observe que p(x) é divisível por (x – r)^m e que a condição q(r) ≠ 0 significa que r não é raiz de q(x) e garante que a multiplicidade da raiz r não é maior que m.

Exemplo 1. Resolva a equação x⁴ – 9x³ + 23x² – 3x – 36 = 0, sabendo que 3 é raiz dupla.
Solução: considere p(x) como sendo o polinômio dado. Assim:


Note que q(x) é obtido fazendo a divisão de p(x) por (x – 3)².


Após a realização da divisão, vemos que os coeficientes do polinômio q(x) são 1, -3 e -4. Assim, q(x) = 0 será: x² – 3x – 4 = 0
Vamos resolver a equação acima para determinarmos as demais raízes.
x² – 3x – 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 ou x = 4
Portanto, S = {-1, 3, 4}

Exemplo 2. Escreva uma equação algébrica de grau mínimo tal que 2 seja raiz dupla e – 1, raiz simples.
Solução: Temos que:
(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0

Teorema de D’Alembert

O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para
x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.


Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.

Exemplo 1
Calcule o resto da divisão (x² + 3x – 10) : (x – 3).

Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:

P(3) = R
3² + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 – 10 = R
18 – 10 = R
R = 8
Portanto, o resto dessa divisão será 8.

Exemplo 2
Verifique se x⁵ – 2x⁴ + x³ + x – 2 é divisível por x – 1.

Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.

P(1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2
P(1) = 3 – 4
P(1) = – 1

Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.

Exemplo 3
Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio
P(x) = x⁴ – mx³ + 5x² + x – 3 por x – 2 seja 6.

Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6

P(2) = 2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8


Exemplo 4
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x³ + x² – 6x + 7 por 2x + 1.

R = P(x) → R = P(– 1/2)

R = 3*(–1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8 

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/polinomios.htm