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Adição e subtração de números inteiros

Probabilidade

Na matemática, a probabilidade permite obter o cálculo das ocorrências possíveis num experimento aleatório (fenômeno aleatório). Em outras palavras, a probabilidade analisa as “chances” de obter determinado resultado.

A teoria das probabilidades inclui conceitos matemáticos que foram explorados já na antiguidade. O termo derivado do latim “probare” corresponde ao verbo provar ou testar.

Experimento Aleatório

O experimento ou evento aleatório é aquele que pode ocorrer e resultar de diferentes maneiras cada vez que é lançado. Ou seja, não sabemos seu resultado, porém podemos calcular quais resultados possíveis podemos obter.

Por exemplo, podemos citar um dado, com 6 faces, donde cada face é um número de 1 a 6.

Fórmula da Probabilidade

Assim, se num fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, a probabilidade de ocorrer um evento é medida pela divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:

Donde

P: probabilidade
na: número de casos (eventos) favoráveis
n: número de casos (eventos) possíveis (total)

Espaço Amostral

Representado pela letra S, o espaço amostral corresponde ao conjunto de resultados possíveis obtidos a partir de um evento ou fenômeno aleatório.

Por exemplo num baralho de cartas, onde o espaço amostral corresponde às 52 cartas que compõem o baralho.

Da mesma forma, o espaço amostral no lançamento de um dado, são as seis faces que o compõem: S = {1, 2, 3, 4, 5 e 6}.

Note que os subconjuntos de um espaço amostral são denominados “eventos”, ou seja, no conjunto de cartas, há 52 eventos possíveis, enquanto no dado há seis.

Assim, podemos concluir que a probabilidade é calculada pela divisão de eventos pelo espaço amostral.

Exercícios Resolvidos

1. Se lançarmos um dado de 6 faces, qual a probabilidade de sair o número seis?

Segundo a teoria da probabilidade, ela é calculada pela divisão entre o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis, nesse caso:

na (casos favoráveis): 1 lado (lado seis)
n (casos possíveis) : 6 lados

Logo,

P = 1/6
P = 0,166 ou 16,6%

2. O baralho de cartas é formado por 52 cartas divididas em quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 13 cartas de cada naipe. Dessa forma, se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de sair uma carta do naipe de paus?

Segundo a teoria da probabilidade, devemos obter o número de evento favoráveis e possíveis, para assim, calcular, através da fórmula:

na: 13 (total de cartas do naipe de paus)
n: 52 (total de cartas do baralho)

Logo,

P = 13/52
P = 0,25 ou 25%

Probabilidade condicional

• Assim, temos que os eventos A e B de um espaço amostral finito e não vazio (Ω) pode ser expresso da seguinte maneira:

Uma outra maneira de expressar a probabilidade condicional dos eventos é dividindo o numerador e o denominador do segundo membro por n(Ω) ≠ 0:

Exercícios Princípio fundamental da contagem com resposta

1)  Thiago possui 3 blusas diferentes e 2 calças diferentes. De quantas maneiras ele poderá escolher uma blusa e uma calça para se vestir? Resposta:  6

2)  Quantos números de dois algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto  {1, 2, 3}? Resposta:  9

3) Quantos números de dois algarismos diferentes (distintos) podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? Resposta:  6

4) Quantos números de três algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? Resposta:  27

5) Quantos números de três algarismos diferentes (distintos) podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? Resposta:  6

6)  Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse estádio? Resposta:  16

7)  Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse estádio utilizando, para sair, um portão diferente do que entrou? Resposta:  12

8)  Mariana desenhou uma bandeira retangular de 3 listras e deseja pintá-la, de modo que duas listras consecutivas não sejam pintadas da mesma cor. Se ela possui 4 lápis de cores diferentes, de quantas maneiras poderá pintar sua bandeira? Resposta:  36

9)  Numa prova havia 4 itens para que os alunos respondessem V (verdadeiro) ou F (falso). De quantas maneiras diferentes um aluno que vai “chutar” todas as repostas poderá responder esses itens? Resposta:  16

10)  Um painel luminoso retangular é composto por 5 lâmpadas. De quantas maneiras diferentes esse painel pode estar iluminado? (considera-se o painel iluminado se, pelo menos, uma de suas lâmpadas estiver acesa) Resposta:  31

11)  Quantos numeros de 3 algarismo distintos podem ser formados usando-se os algariasmo 1,2,3,4 e 5?

12)   Um restaurante ofereçe no cardapio 2 saladas distintas,e 4 tipodes de pratos de carne,5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada,um prato de carne,uma bebida e uma sobremesa.De quantas maneiras a pessoa podera fazer seu pedido?

13)  Quatro times de futebol(Vasco,Atletico,Corinthians e Internacional ) disputam um torneio.Quantos e quais são as possibilidades de classificação para os três primeiros lugares?

14)   Numa eleição de uma escolahá 3 candidatos a presidente,cinco a vice-presidente,¨a secretario e 7 a tesoreiro.Quantos podem ser os resultados da eleição?

 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

15) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar?

a) 30      b) 60      c) 90      d) 120      e) 150

16) Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida?

a) 128      b) 256      c) 512      d) 1024      e) 2048

17) Quantos números de três algarismos podemos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

a) 348      b) 448      c) 548      d) 648      e) 748

18) Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

a) 72      b) 144      c) 200      d) 240      e) 288

19) Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro sobremesa?

a) 160      b) 150      c) 120      d) 80      e) 17 

20) Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras distintas de se entrar nele e sair dele por um porta diferente é:

a) 5      b) 10      c) 15      d) 20      e) 25 

21) Quantos números de 4 algarismos diferentes têm o algarismo da unidade de milhar igual a 3?

a) 1512      b) 1008      c) 504      d) 3024      e) 2520

22) Cinco sinaleiros estão alinhados. Cada um tem três bandeiras: uma amarela, uma verde e uma vermelha. Os cinco sinaleiros levantam uma bandeira cada, ao mesmo tempo, transmitindo-se assim um sinal. A quantidade  de sinais diferentes que se pode transmitir é:

a) 15      b) 125     c) 243      d) 1215      e) 729 

23) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles são divisíveis por 5:

a) 20 números      b) 30 números      c) 60 números      d) 120 números      e) 180 números 

24) Uma estrada de ferro tem 10 estações. Quantos tipos distintos de bilhetes existem em circulação, sabendo-se que cada bilhete contém impressos apenas a estação de partida e a estação de chegada? (Supondo que o trem tem vagões de apenas uma classe)

a) 28      b) 45      c) 20      d) 56      e) 90

GABARITO COMPLEMENTARES

15- D

16- D

17- B

18- B

19- A

20- D

21- C

22- C

23- C

24- B 




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