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sexta-feira, 5 de dezembro de 2014

Função de 1º grau: coeficiente linear, gráfico e raiz em exercícios resolvidos, exemplos com teoria

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc.A função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.
Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.
Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). 

Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.
x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1
x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.
Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

1.Coeficiente Linear de uma Função do 1º Grau


As funções do tipo f(x) = y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0, são consideradas do 1º grau. Ao serem representadas no plano cartesiano, constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a função é chamada de constante.
Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de seu gráfico, e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado na função pela letra b, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y).
Nas funções a seguir, observe o valor numérico do coeficiente linear e o gráfico representativo da função:

y = x + 1
b = 1



y = –x – 1
b = –1

 y = 2x + 4
b = 4

 


y = 2x – 4
b = – 4


2. Gráfico de Função do 1º grau


Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau é formada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.

Quando a > 0

Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a função: f(x) = 2x – 1 ou
y = 2x - 1, onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

  x           y
- 2        - 5 
- 1        - 3
0          - 1 
1 / 2       0
 1           1 

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y também aumenta, então dizemos que quando a > 0 a função é crescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas, que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.



 
Quando a < 0 

Isso indica que a será negativo. Por exemplo, dada a função f(x) = - x + 1 ou
y = - x + 1, onde a = -1 e b = 1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

  x         y
-2        3
-1        2
0         1
1         0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui, então dizemos que quando a < 0 a função é decrescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.




Características de um gráfico de uma função do 1º grau.

• Com a > 0 o gráfico será crescente.

• Com a < 0 o gráfico será decrescente.

• O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo (menor que 90°) quando a > 0.

• O ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior que 90º) quando a < 0.

• Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas dois valores pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos.

• Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função.

• Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor de b.

3. Raiz de uma Função do 1º Grau


As funções do tipo y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b assumem valores reais e a ≠ 0 são consideradas funções do 1º grau. Esse modelo de função possui como representação geométrica a figura de uma reta, sendo a posição dessa reta dependente do valor do coeficiente a. Observe:

Função crescente: a > 0.

Função decrescente: a < 0.
Raiz da função

Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:
Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja:

y = ax + b
y = 0
ax + b = 0
ax = –b
x = –b/a
Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 1º grau, basta utilizar a expressão x = x = –b/a.

Exemplo 1

Calcule a raiz da função y = 2x – 9, esse é o momento em que a reta da função intersecta o eixo x.

Resolução:
x = –b/a
x = –(–9)/2
x = 9/2
x = 4,5


Exemplo 2

Dada a função f(x) = –6x + 12, determine a raiz dessa função.

Resolução
x = –b/a
x = –12 / –6
x = 2

Exercícios:
1) Determine os zeros das funções a seguir:
a) y = 5x + 2
b) y = – 2x
c) f(x) =  x + 4
               
2
2)Classifique cada uma das funções seguintes em crescente ou decrescente:
a) y = 4x + 6
b) f(x) = – x + 10
c) y = (x + 2)2 – (x – 1)2
3((UFPI) A função real de variável real, definida por f (x) = (3 – 2a).x + 2, é crescente quando:
a) a > 0
b) a < 3/2
c) a = 3/2
d) a > 3/2
e) a < 3
4)(FGV) O gráfico da função f (x) = mx + n passa pelos pontos (– 1, 3) e (2, 7). O valor de m é:
a) 5/3
b) 4/3
c) 1
d) 3/4
e) 3/5

Resolução:

Resposta Questão 1
a) y = 5x + 2
Primeiramente, façamos y = 0, então:
5x + 2 = 0, o número 2 mudará de lado e o sinal também será mudado.
5x = – 2, o número 5 mudará de lado e realizará uma divisão.
x = – 2
        5
O zero da função y = 5x + 2 é o valor: x = – 2
                                                           
5
b) y = – 2x
Façamos y = 0, então:
– 2x = 0, o número – 2 mudará de lado e realizará uma divisão. Mas como o número zero dividido por qualquer número resulta em zero, x = 0.
O zero da função y = – 2x é x = 0.
c) f(x) =  x + 4
              
2
Façamos f(x) = 0, então:
x + 4 = 0, o número 4 mudará de lado e o sinal também será mudado.
2
x = - 4, o número 2 mudará de lado e realizará uma multiplicação.
2
x = (– 4) . 2
x = – 8
Portanto, o zero da função f(x) = x + 4 é dado por x = – 8.
                                            2

Resposta Questão 2
  • Em uma função do tipo y = ax + b, o coeficiente a de x indica se a função é crescente ou decrescente.
    a) y = 4x + 6
    Nessa função, a = 4 > 0, portanto, é uma função crescente.
    b) f(x) = – x + 10
    Como a = – 1 < 0f(x) é uma função decrescente.
    c) y = (x + 2)2 – (x – 1)2
    Nesse caso precisamos desenvolver os parênteses através dos produtos notáveis.
    x2 + 4x + 4 – (x – 1)2
    x2 + 4x + 4 – (x2 – 2x + 1)
    x2 + 4x + 4 – x2 + 2x – 1
    6x + 3
    y = 6x + 3. Como a = 6 > 0, y é uma função crescente.
    Resposta Questão 3
    • Para que a função seja crescente, é necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo:
      3 – 2a > 0
      – 2a > 0 – 3
      (– 1). (– 2a) > (– 3). (– 1)
      2a < 3
      a < 3
            2
      Portanto, a alternativa correta é a letra b.
      Resposta Questão 4
      O primeiro ponto que é dado é o (– 1, 3), em que o valor de é – 1 e o valor de f(x) é 3. Substituindo esses valores na função, temos:
      f (x) = mx + n
      3 = m.(– 1) + n
      n = 3 + m
      Vamos também substituir o segundo ponto (2, 7) na função, sendo que x vale 2 e f(x) vale 7:
      f (x) = mx + n
      7 = m.2 + n
      n = 7 – 2m
      Nas duas substituições feitas, encontramos dois valores para n. Se igualarmos essas duas equações, teremos:
      3 + m = 7 – 2m
      m + 2m = 7 – 3
      3m = 4
      m = 4
             3
      A alternativa correta é a letra b.




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