Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:
Delta > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
Delta = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
Delta > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
Delta = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
Delta < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.
Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y igual a zero, transformando a função numa equação do 2º grau, que pode vir a ser resolvida por Bháskara.
Gráfico da função
Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo
Delta > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.
Gráfico da função
Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo
Delta > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.
Delta = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.
Delta < 0 – A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x).
Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau
O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:
Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.
Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.
Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta.
Raízes da Função de 2º Grau
Determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x que satisfazem a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas através do Teorema de Bháskara:
Número de raízes reais da função do 2º grau
Dada a função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ.
1º caso → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.
2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.
3º caso → Δ < 0: A função não possui raízes reais.
Soma e produto das raízes
Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que:
Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por
e o produto das raízes por 
. De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos:
Soma das raízes
Produto das raízes
Efetuando a multiplicação, temos:
Substituindo Δ por b² – 4ac, temos:
Após a simplificação, temos:
Número de raízes reais da função do 2º grau
Dada a função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ.
1º caso → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.
2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.
3º caso → Δ < 0: A função não possui raízes reais.
Soma e produto das raízes
Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que:
Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por
e o produto das raízes por . De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos:Soma das raízes
Produto das raízes
Efetuando a multiplicação, temos:
Substituindo Δ por b² – 4ac, temos:
Após a simplificação, temos:
Exercícios :
1) A representação cartesiana da função 
é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:
é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:
| (A) a<0, b<0 e c>0 (B) a>0, b>0 e c<0 (C) a>0, b>0 e c>0 (D) a<0, b>0 e c<0 (E) a<0, b>0 e c>0
2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?
(A)
 (B)  (C)  (D)  (E)   , cujo gráfico é mostrado na figura, é:
(A)
 (B) 
(C)
(D)
(E)
  são os números x, tais que(A)  (B)  (C)  (D)  (E)  5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação  . Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a(A) 6,25 m, 5s (B) 250 m, 0 s (C) 250 m, 5s (D) 250 m, 200 s (E) 10.000 m , 5s 6) (UFRGS) Considere a função  , definida por  , com  e  . O gráfico de f(A) não intercepta o eixo das abscissas (B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente (C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto (D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos. (E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos. 7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação  (A)  (B)  (C)  (D)  (E)  8) A solução de  é:(A) (0, 1) (B) (-∞, 0)U(1, +∞) (C) (-1, 1) (D) (-∞, -1)U(1,+∞) (E) R 9) (UFRGS) Para que a prábola da equação  contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,(A)  e  (B)  e  (C) e (D) e (E)  e 10) O vértice da parábola que corresponde à função  é(A) (-2, -2) (B) (-2, 0) (C) (-2, 2) (D) (2, -2) (E) (2, 2) GABARITO: 1) E 2) C 3) C 4) D 5) C 6) B 7) A 8) A 9) B 10) E |
Mais Exercícios
11) Determine, se existirem, os
zeros das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x² - 3x c) f(x) = -x² +2x + 8
b) f(x) = x² +4x + 5 d) –x² +3x – 5
12) Esboce o gráfico das funções f ;
a) f(x) = -2x² - 8x + 4
b) f(x) = 2x² - 8x + 4
c) f(x) = 2x² + 8x +4
13) Calcule o vértice V de cada
parábola definida pelas funções quadráticas abaixo indicando o valor máximo ou o
valor mínimo admitido pelas mesmas e determine o conjunto imagem das funções:
a) f(x) = -3x² + 2x b)
f(x) = 2x² - 3x – 2 c) f(x) = -4x² + 4x - 1
14) Qual o valor de m para que a
função f(x) = (4m + 1)x² - x + 6 admita valor mínimo?
15) Estude o sinal das seguintes funções quadráticas:
a) f(x) = x² - 10x + 25 b) -3x² + 2x + 1 c) -4x² + 1
16) Dada a função quadrática f(x) =
–x² + 6x – 9, determine:
a) Se a concavidade da parábola esta voltada para cima ou
para baixo;
b) Os zeros da função;
c) O vértice V da parábola definida pela função;
d) O estudo dos sinais
g) O esboço do gráfico.
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