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sexta-feira, 2 de outubro de 2015

Função quadrática: ponto máximo e mínimo, gráfico e raízes em exercícios e teoria

Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:



A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.


As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

Delta > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.


Delta = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

Delta < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.


Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y igual a zero, transformando a função numa equação do 2º grau, que pode vir a ser resolvida por Bháskara.

Gráfico da função

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

Delta > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.



Delta = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.
Delta < 0 – A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x).




Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau

O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:

Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.

Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.
Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta.

Raízes da Função de 2º Grau


Determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x que satisfazem a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas através do Teorema de Bháskara:



Número de raízes reais da função do 2º grau

Dada a função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ.


1º caso → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.


2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.


3º caso → Δ < 0: A função não possui raízes reais.



Soma e produto das raízes

Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que:

Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por  e o produto das raízes por  . De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos:




Soma das raízes





Produto das raízes



Efetuando a multiplicação, temos:




Substituindo Δ por b² – 4ac, temos:




Após a simplificação, temos:


Exercícios :
1) A representação cartesiana da função  é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:
exe1.gif (1430 bytes)
(A) a<0, b<0 e c>0
(B) a>0, b>0 e c<0
(C) a>0, b>0 e c>0
(D) a<0, b>0 e c<0
(E) a<0, b>0 e c>0

2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?

exe2.gif (2682 bytes)
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 

3) O valor mínimo do polinômio , cujo gráfico é mostrado na figura, é:

exe3.gif (1535 bytes)
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 

4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade  são os números x, tais que

(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 


5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação . Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a

(A) 6,25 m, 5s
(B) 250 m, 0 s
(C) 250 m, 5s
(D) 250 m, 200 s
(E) 10.000 m , 5s


6) (UFRGS) Considere a função , definida por , com  e . O gráfico de f
(A) não intercepta o eixo das abscissas
(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.


7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 

(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 


8) A solução de  é:

(A) (0, 1)
(B) (-, 0)U(1, +)
(C) (-1, 1)
(D) (-, -1)U(1,+)
(E) R


9) (UFRGS) Para que a prábola da equação  contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,

(A)  e 
(B)  e 
(C)  e 
(D)  e 
(E)  e 


10) O vértice da parábola que corresponde à função  é
(A) (-2, -2)
(B) (-2, 0)
(C) (-2, 2)
(D) (2, -2)
(E) (2, 2)

GABARITO:

1) E 2) C 3) C 4) D 5) C 6) B 7) A 8) A 9) B 10) E

Mais Exercícios 

11) Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:

a) f(x) = x² - 3x                                                                 c) f(x) = -x² +2x + 8
b) f(x) = x² +4x + 5                                                          d) –x² +3x – 5

  
12) Esboce o gráfico das funções f ;

a) f(x) = -2x² - 8x + 4              b) f(x) = 2x² - 8x + 4                   c) f(x) = 2x² + 8x +4



13) Calcule o vértice V de cada parábola definida pelas funções quadráticas abaixo indicando o valor máximo ou o valor mínimo admitido pelas mesmas e determine o conjunto imagem das funções:

a) f(x) = -3x² + 2x                b) f(x) = 2x² - 3x – 2              c) f(x) = -4x² + 4x - 1


14) Qual o valor de m para que a função f(x) = (4m + 1)x² - x + 6 admita valor mínimo?


                                     
  
15) Estude o sinal das seguintes funções quadráticas:

a) f(x) = x² - 10x + 25            b) -3x² + 2x + 1                   c) -4x² + 1



16) Dada a função quadrática f(x) = –x² + 6x – 9, determine:

a) Se a concavidade da parábola esta voltada para cima ou para baixo;
b) Os zeros da função;
c) O vértice V da parábola definida pela função;
d) O estudo dos sinais
g) O esboço do gráfico.






























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