Conjunto dos Números Reais:exercícios resolvidos e teoria

Números RACIONAIS 

Numero racional é todo o numero que pode ser escrito na forma a/b (com b diferente de zero)

 Exemplos :

a) 5 = 5/1

b) -2 = -2/1

c) 0,7 = 7/10

d) 2,83 = 283/100

e) 0,444... = 4/9

f) 0,7272... 72/99

Observe que:

- todo o número inteiro é um número racional

- toda decimal exata é um número racional

- toda decimal periódica é um número racional

 NÚMEROS IRRACIONAIS

 Os números que não podem ser escritos em forma de fração são chamados de números irracionais , os números irracionais têm infinitas casas decimais e não são periódicas.

Exemplos

 a) 0,4137128.....

b) 7,1659314....

c) -0,4837616...

d) -2,8283541....

As raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos são também exemplos de números irracionais.

a) √2 = 1,4142....

b) √3 = 1,7320....

c) √5 = 2,2360...

d) √6 = 2,4494...

ATENÇÃO !

 Observe que :

√4 é um número racional, pois √4 = 2

√9 é um número racional pois √9 = 3

EXERCÍCIOS

1)      Quais destes números são racionais?

a)      4

b)      8

c)       0

d)      -7

e)      0,3

f)       2,9

g)      -3,8

h)      0,473

i)        1,845

(R:todos eles)

2)      Classifique em racional ou irracional cada número seguinte:

a)      0,777..   (R: racional)

b)      4,1212...  (R: racional)

c)       5,1318.. (R: irracional)

d)      0,1465..  (R: irracional)

e)      2,8181... (R: racional)

f)       4,845845... (R: racional)

g)      3,476582... (R: irracional)

h)      0,193238... (R: irracional)

i)        6,123123...(R: racional)

j)        1,234576... (R: irracional)

3)      Determine as raízes apenas quando são números naturais

a)      √1  =               (R: 1)

b)      √2     =          

c)       √3

d)      √4=                (R:2)

e)      √5

f)       √6

g)      √7

h)      √8

i)        √9=        (R:3)

Responda :

a)      Quais dos números acima são racionais?
a) d) i)

b)      Quais dos números acima são Irracionais?

b), c), e),f), g), h)

 4)      Classifique em racional ou irracional cada número seguinte:

a)      √12=              (R: irracional)

b)      √15=              (R: irracional)

c)       √16=             (R: racional)

d)      √24=             (R: irracional)

e)      √36=             (R: racional)

f)       √49=            (R: racional)

g)      √44=            (R: irracional)

h)      √58=            (R: irracional)

i)        √60=           (R:irracional)

j)        √64=          (R; racional)

k)      √72=          (R:irracional)

l)        √81=         (R: racional)   

NÚMEROS REAIS

 A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais chama-se conjunto dos números reais que será indicado com IR .

Exemplos

a) 3/5 é um número racional. É também um número real

b) √7 é um número irracional .É também um número real

Obs: que todo o número natural é inteiro, todo o numero inteiro é também racional e todo o racional é também real

EXERCÍCIOS 

5)      Observe o conjunto A e responda

A = { √6,√15, √20, √25, √36, √40, √49}

a)      Quais os elementos de A são números racionais?

(R:todos que resultam raiz quadrada exata)

b)      Quais os elementos de A são números irracionais?

(R: o restante dos números que resultam raízes inexatas)

c)       Quais elementos de A são números Reais?

(R: todos)

6)      Responda :

a)      Todo o número racional é real?

(R: sim)

b)      Todo o número irracional é real?

(R: sim)

c)       Todo número real é racional?

(R: não)

d)      Todo número real é irracional?

(R: não)

7)      Quais destes números são reais?

a)      √1            

b)      √-1

c)       √4

d)      √-4

e)      √9

f)       √-9

(R: todos exceto os números com raiz quadrada negativa)

Exercícios com Números romanos

Os romanos usavam um sistema interessante para representar os números. Utilizavam sete letras do alfabeto e a cada uma delas atribuíam valores:

Os numerais I, X, C, M só podem ser repetidos até três vezes.

I = 1
II = 2
III =3
X = 10
XX = 20
XXX = 30
C = 100
CC = 200
CCC = 300
M = 1.000
MM = 2.000
MMM = 3.000

Atenção: os numerais I, X e C, escritos à direita de numerais maiores, somam-se seus valores aos desses numerais.

Exemplos:
VII = 7 ( 5 + 2 )
LX = 60 ( 50 + 10 )
LXXIII = 73 (50+20+3)
CX = 110 (100+10)
CXXX = 130 (100+30)
MCC = 1.200 (1.000+200)

Os numerais I, X e C, escritos à esquerda de numerais maiores, subtraem-se seus valores aos desses numerais.

Exemplos:
IV = 4 (5-1)
IX = 9 (10-1)
XL = 40 (50-10)
XC = 90 (100-10)
CD = 400 (500-100)
CM = 900 (1.000-100)

Colocando-se um traço horizontal sobre um ou mais numerais, multiplica-se seu valor por 1.000.

Exemplos:

V = 5.000
IX = 9.000
X = 10.000

Exercícios:

1) Pio 12 foi um dos papas que mais se destacaram  por sua qualidade de estadista.
Usando símbolos do sistema romano de numeração, escreva o número que
designa esse papa.  __________________________

2) No Brasil, tanto a independência como a República foram proclamadas no
século XIX. Usando algarismos, escreva o número que representa esse século.
__________________________________________

3) Os números representados por LX e XL no sistema romano têm o mesmo valor.
Essa afirmação é verdadeira ou falsa?

4) Usando o sistema romano de numeração, você deve escrever os seguintes
números:
a) 26 ______________
b) 102 ____________
c) 830  _____________
d) 77  ______________
e) 409 _____________
f) 1050 ________________
g) 91 _______________
h) 365 _______________
i) 3012 __________________

5) Estou lendo o capitulo LVII de um livro. Usando os nossos símbolos, escreva o
número correspondente ao capítulo que estou lendo.   ______________


6) Use algarismos e escreva os números representados por:
a) XV
b) DXLII
c) MMCIII
d) LXXXIX
e) DCCLXXXI
f) CCVI
g) MIX

7-Passe do número Hindu-arábico para o romano:

a)23:
b)150:
c)500:
d)1008:

8-João tem IX de idade seu irmão mais velho tem XXI e o mais novo V, somando a idade dos três da a idade do pai.Quantos anos tem o pai deles ?



9-Que hora é em romanos?

10-A fração 5/8 se faz assim:V/VIII,como se faz essas:

a)4/2:
b)12/5
c)1000/1000:

Quadriláteros: exercícios e teoria

QUADRILÁTEROS


CONCEITO

QUADRILÁTERO é um poligono de quatro lados.

No quadrilátero ao abaixo destacamos:

- Vértices: A, B, C, D
- Lados : AB, BC, CD e DA
- Ângulos internos : A, B, C, e D
- Lados opostos : AB e CD, AD e BC
- Ângulos opostos : A e C, B e D

Lembre-se de que um quadrilatero é convexo quando qualquer sgmento com extremeidades no quadrilatero está contido nele.

Estudaremos apenas os quadriláteros convexos.

DIAGONAL

O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado diagonal.

Na figura, AC e BD são diagonais.


EXERCÍCIOS

1) Observe o quadrilátero e responda:

a) Quais são os lados ?
b) Quais são os vértices?
c) Quais são os ângulos internos?
d) Quais são as diagonais indicadas?

2) Considere o quadrilátero ABCD

a) Nomeie os dois pares de lados oposto.
b) Nomeie os dois pares de ângulos opostos.

3)  Perímetro de um quadrilátero mede 41 cm . Quanto mede cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2, 3x + 1  e  2x -4?


SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM QUADRILÁTERO

ABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide em dois triângulos

veja:

A soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos ângulos internos do quadrilátero, logo:

A soma dos ângulos internos de um quadrilatero é : 180° + 180° = 360°

EXERCICIOS

4) Calcule o valor de x nos quadrilateros;

5) Calcule o valor de x nos seguiontes quadrilateros:

6) Calcule o valor de x nos quadriláteros:

7) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras:

8) Calcule x na figura:

PARALELOGRAMOS

Paralelogramo é o quadrilatero que tem os lados opostos paralelos

tipos de paralelogramos

Retangulo - Possui quatro ângulos retos

Losango - Possui os quatro lados congruentes.

Quadrado - Possui os qutro lados congruentes e os quatro ângulos retos

note que:

- todo o quadrado é um losango

- todo quadro é um retângulo

TEOREMA

Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

Prova:

Exercicios Resolvidos

9) Determine as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:

Solução:

a) Pelo teorema anterior : x = 50°

b) y + 50° = 180°  ( os ângulos não opostos são suplementares)

----y = 180° - 50°

----y = 130°

c) Pelo teorema anterior: z = 130°

2) Calcule o valor de x no paralelogramo abaixo:

EXERCÍCIOS

10) Observe a figura e calcule as medidas de x,y,z e w

11) Baseado nos resultados do exercícios anteriores, responda:

Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes?

12) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes:

13) Calcule o valor de x nos paralelogramos abaixo:

14) Calcule o valor de x nos paralelogramos abaixo:

Problemas resolvidos sistemas de equações com 2 incógnitas

 1) Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km em duas etapas, de modo que na primeira etapa percorra 60 km a mais que na segunda. Quantos quilômetros ele deverá percorrer em cada etapa?

 2) A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3. Determinar esses números.

 3) Um número é o quádruplo de outro e a soma dos dois é 40. Quais são os números?

 4) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130, e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Qual é o números de automóveis e bicicletas que se encontram no pátio?

 5) No zoológico há cisnes e girafas. São 96 cabeças e 242 patas. Quantos são os cisnes? E as girafas?

 6) Um tomate e um pepino pesam juntos 140g. Para fazer o equilíbrio da balança é preciso colocar 5 tomates de um lado e 2 pepinos do outro.Quanto pesa um tomate? E um pepino?

 7) A soma de dois números é 2 e a diferença é 6. Quais são os números?

 8) Quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00. Cinco camisetas e sete calções custam R$ 138,00. Qual é o preço de cada peça?

 9) Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de 15, e as guardou numa caixa. Contou em seguida 108 patas. Quantas aranhas e joaninhas ele apanhou? (lembre se que a aranha tem 8 patas e a joaninha 6)

 10) A diferença entre dois números é 3. O maior é 3/2 do menor. Quais são os números?


Resolução:
1)
Y = X + 60 
X + Y = 780 
X + X + 60 = 780 
2X = 780 - 60 
2X = 720 
X = 720/2 
X = 360 
Y = X + 60 
Y = 360 + 60 = 420 
Logo : 1a. Etapa 420 km, e 2a. Etapa 360 Km 

2)

A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3. Determine esses números. 
X + Y = 15 
X - Y = 3 = X = 3 + Y 

3 + Y + Y = 15 
2Y = 15 - 3 
Y = 12/2 
Y = 6 

X = 3 + Y 
X = 3 +6 
X = 9 

Logo os números são 6 e 9 

3)

Um número ao quádruplo de outro e a soma de dois é 40. Quais são os números? 
Y = 4X 
Y + X = 40 
4X + X = 40 
5X = 40 
X = 40/5 
X = 8 

Y = 4X 
Y = 4.8 = 32 

Logo os números são 8 e 32 

4)

4x+2y=130--------2y=(130-4x), y=(130-4x)/2 
y=3x 
3x=(130-4x)/2 
6x+4x=130 
10x=130 
x=130/10 
x=13, são os carros 
y=3x 
y=3*13 
y=39, são as bicicletas 
total:39+13=52 veículos

5)

25 girafas e 71 cisnes

6) Pepino 100 gr e tomate 40 gr

7) x=4 e y= -2

8) 9 Calções  e 15 camisetas

9) 9 aranhas e 6 joaninhas

10) 9 e 6