O QUE SIGNIFICA FATORAR?
Fatorar significa transformar em produto
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios .
A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidencia. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.
1) FATOR COMUM
Vamos fatorar a expressão ax + bx + cx
Ax + bx + cx = x . (a + b + c)
O x é fator comum e foi colocado em evidência.
Exemplos
Vamos fatorar as expressões
1) 3x + 3y = 3 (x + y)
2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2)
3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)
EXERCÍCIOS
1) Fatore as expressões:
a) 4x + 4y = R: 4 ( x + y)
b) 7a – 7b = R: 7 (a - b)
c) 5x – 5 = R: 5 (x - 1)
d) ax – ay = R: a (x - y)
e) y² + 6y = R: y (y + 6)
f) 6x² - 4a = R: 2 (3x² - 2a)
g) 4x⁵ - 7x² = R: x² ( 4x³ - 7)
h) m⁷ - m³ = R : m³( m⁴- 1)
i) a³ + a⁶ = R: a³ ( 1 + a³)
j) x² + 13x = R: x(x + 13)
k) 5m³ - m² = R: m²( 5m -1)
l) x⁵⁰ + x⁵¹ = R: x⁵⁰(1 + x)
m) 8x⁶ - 12x³ =R: 4x³( 2 x³ - 3)
n) 15x³ - 21x² =R: 3 x² (5 x - 7)
o) 14x² + 42x =14x (x +3)
p) x²y + xy² =xy (x + y)
2) Fatore as expressões:
a) 2a – 2m + 2n = (R: 2 (a -m+n))
b) 5a + 20x + 10 = (R: 5(a + 4x + 2))
c) 4 – 8x – 16y = (R: 4(1 - 2x - 4y))
d) 55m + 33n = (R: 11(5m + 3n))
e) 35ax – 42ay = (R: 7a(5x -6y)
f) 7am – 7ax -7an = (R: 7a(m - x - n))
g) 5a²x – 5a²m – 10a² = (R: 5a² ( x -m- 2))
h) 2ax + 2ay – 2axy = (R: 2a(x + y -xy))
3) Fatore as expressões:
a) 15x⁷ - 3ax⁴ =
b) x⁷ + x⁸ + x⁹ =
c) a⁵ + a³ - a² =
d) 6x³ -10x² + 4x⁴ =
e) 6x²y + 12xy – 9xyz =
f) a(x -3) + b(x -3) =
g) 9 ( m + n )- a( m –n)
2) AGRUPAMENTO
Vamos fatorar a expressão ax + bx + ay + by
ax + bx + ay + by
x( a + b) + y ( a+ b)
(a + b) .( x +y)
Observe o que foi feito:
Nos dois primeiros temos “x em evidencia”
Nos dois últimos fomos “y em evidência”
Finalmente “ (a + b) em evidência”
Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum
Exemplos:
Vamos fatorar as expressões:
1º exemplo
5ax + bx + 5ay + by
x.( 5a + b) + y (5a + b)
(x + y) (5a + b)
2º exemplo
x² + 3x + ax + 3a
x(x + 3) + a ( x + 3)
(x + 3) . ( x + a)
EXERCÍCIOS
1) Fatore as expressões:
a) 6x + 6y + ax + ay =
b) ax + ay + 7x + 7y=
c) 2a + 2n + ax +nx=
d) ax + 5bx + ay + 5by =
e) 3a – 3b + ax – bx =
f) 7ax – 7a + bx – b =
g) 2x – 2 + yx – y =
h) ax + a + bx + b =
2) Fatore as expressões:
a) m² + mx + mb + bx=
b) 3a² + 3 + ba² + b =
c) x³ + 3x² + 2x + 6 =
d) x³ + x² + x + 1 =
e) x³ - x² + x – 1 =
f) x³ + 2x² + xy + 2y =
g) x² + 2x + 5x + 10 =
h) x³ - 5x² + 4x – 20 =
3) DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS Vimos que : ( a+ b ) (a –b) = a² + b²
Sendo assim: a² + b²= ( a+ b ) (a –b)
Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois termos.
1º exemplo
x² - 49 = (x + 7) ( x – 7)
2º exemplo
9a² - 4b² = ( 3a + 2b) (3a – 2b)
Exercícios
1) Fatore as expressões:
a) a² - 25 =
b) x² - 1 =
c) a² - 4 =
d) 9 - x² =
e) x² - a² =
f) 1 - y² =
g) m² - n² =
h) a² - 64 =
2) Fatore as expressões
a) 4x² - 25 =
b) 1 – 49a² =
c) 25 – 9a² =
d) 9x² - 1 =
e) 4a² - 36 =
f) m² - 16n² =
g) 36a² - 4 =
h) 81 - x² =
i) 4x² - y²=
j) 16x⁴ - 9 =
k) 36x² - 4y² =
l) 16a² - 9x²y² =
m) 25x⁴ - y⁶ =
n) x⁴ - y⁴ =
4) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Vimos que:
(a +b)² = a² + 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)²
(a -b)² = a² - 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)²
Observe nos exemplos a seguir que:
Os termos extremos fornecem raízes quadras exatas.
Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes.
o resultado terá o sinal do termo do meio.
EXERCÍCIOS
1) Coloque na forma fatorada as expressões:
a) x² + 4x + 4 = R:(x + 2)²
b) x² - 4x + 4 = R:(x -2)²
c) a²+ 2a + 1 = R: (a + 1)²
d) a² - 2a + 1 = R: (a – 1)²
e) x²- 8x + 16= R: ( x – 4)²
f) a² + 6a + 9 = R: (a + 3)²
g) a² - 6a + 9 = R: (a + 3)²
h) 1 – 6a + 9a² = R: (1 – 3a)²
2) Fatore as expressões
a) m² -12m + 36=
b) a² + 14a + 49 =
c) 4 + 12x + 9x² =
d) 9a² - 12a + 4 =
e) 9x² - 6xy + y² =
f) x² + 20x + 100 =
g) a² - 12ab + 36b² =
h) 9 + 24a + 16a² =
i) 64a² - 80a + 25 =
j) a⁴ - 22a² + 121
l) 36 + 12xy +x²y²
m) y⁴ - 2y³ + 1
3) Fatore: (a + 1)2 + 2 (a + 1) + 1
| |
a)
|
a (a + 4)
|
b)
|
(a + 1)2
|
c)
|
(a + 2)2
|
d)
|
(a - 2)2
|
e)
|
(a + 1) (a + 1 + 1)
|
4) Fatore x2 - 4x + 4 + 3 (x - 2) (x + 1)
| |
a)
|
(x - 2) + 3 (x - 1)
|
b)
|
(x - 2) (3x2 - 5)
|
c)
|
5x - 7
|
d)
|
(x - 2) - (4x - 5)
|
e)
|
(2x - 2) (2x - 5)
|
5) Fatore (x2 + 9)2 - 36x2
| |
a)
|
3 (x2 - 12x2 + 3)
|
b)
|
(x + 3)2 . (x - 3)2
|
c)
|
(x + 3) . (x - 3)
|
d)
|
(x - 3)2 . (x - 3)2
|
e)
|
(x + 3)4
|
6) Fatore: x2 + 6x + 9
| |
a)
|
(x - 3)2
|
b)
|
(x + 3)2
|
c)
|
x2 + 3
|
d)
|
(x - 9)2
|
e)
|
3 (x + 3)2
|
7) Fatore: x4 - y4
| |
a)
|
(x2 - y2) (x - y) (x - y)
|
b)
|
(x2 + y2) (x + y) (x + y)
|
c)
|
(x2 + y2) x2
|
d)
|
(x2 + y2) y2
|
e)
|
(x2 + y2) (x + y) (x - y)
|
8) Fatore a expressão: abd - abe + acd - ace
| |
a)
|
a2 . (d + e) (b + c)
|
b)
|
a . (d + e) (b - c)
|
c)
|
a . (d - e) (b + c2)
|
d)
|
a . (d - e) (b2 + c2)
|
e)
|
a . (d - e) (b + c)
|
9) Efetue o produto (x - y) . (x + y) . (x2 + y2).
| |
a)
|
x4 - y4
|
b)
|
x4 + 4x2y2 + y4
|
c)
|
x4 - 2x2y2 + y4
|
d)
|
x4 + y4
|
e)
|
x4 + 2x2y2 + y4
|
10) Fatore: 9x2 - 12x + 4
| |
a)
|
(x + 2)2
|
b)
|
(6x + 3)2
|
c)
|
(3x - 2)2
|
d)
|
(3x + 2)2
|
e)
|
3 (3x2 - 4x)
|
11) Fatore: (x + y)2 - 2 (x + y) + 1
| |
a)
|
(x + y)2 - 2 (x + y)
|
b)
|
(x + y + 1)2
|
c)
|
(x - y)2
|
d)
|
2 (x + y) + 12
|
e)
|
(x + y)2 + (x - y)
|
12) Fatore: x2 - 2xy + y2 - z2
| |
a)
|
(x - z + z) . (x - y - z)
|
b)
|
(x - y)2 - z2
|
c)
|
(x - y)2
|
d)
|
(x - y) (x - y - z)
|
e)
|
(x - y - z)2
|
13) Fatore: 4x2 - z2 + 4xy + y2
| |
a)
|
(2x - y - z)2
|
b)
|
(2x + z) (2x + y)
|
c)
|
(2x + y + z)2
|
d)
|
(2x + y)2 - z2
|
e)
|
(2x + y + z) (2x + y - z)
|
14) Fatore 3xy2z3 + 6xyz3 - 3xz2.
| |
a)
|
3xyz . (yz + 2yz + 1)
|
b)
|
32x2y2z . (y2z + 2yz + 1)
|
c)
|
3xz2 . (y2z + 2yz - 1)
|
d)
|
3x3 . (y2z + 2yz - 1)
|
e)
|
3xz3 . (y2z + 2yz + 1)
|
15) Fatore a expressão: -5x2 + 25x
| |
a)
|
-5x2 . (x2 + 5)
|
b)
|
-5x . (x + 5)
|
c)
|
-5x2 . (x - 5)
|
d)
|
-5x . (x2 - 5)
|
e)
|
-5x . (x - 5)
|
16) Fatore a expressão: 15xy2 - 10x2y2
| |
a)
|
10xy (3 + x)
|
b)
|
15x2y2 (3 - x)
|
c)
|
5xy2 (3 - x)
|
d)
|
5xy2 (3 + x)
|
e)
|
5xy (3 - x)
|
17) Fatore a expressão: 27x3y3 + 81x2y4
| |
a)
|
27x2y3 . (x + 3y)
|
b)
|
27x3y3 . (x + y)
|
c)
|
81xy . (x + 3y)
|
d)
|
81x2y2 . (x - 3y)
|
e)
|
9x2y3 . (x - 3y)
|
18) Fatore a expressão: 14a2b3 + 17b3
| |
a)
|
b . (7a2 + 17)
|
b)
|
b3 . (14a2 + 17)
|
c)
|
b3 . (7a2 + 17)
|
d)
|
b2 . (14a + 17)
|
e)
|
b2 . (2a + 17)
|
19) Fatore a expressão: 11a3b2 - 15a2b
| |
a)
|
ab . (11ab - 10)
|
b)
|
a2b2 . (11ab - 15)
|
c)
|
a2b . (11ab - 15)
|
d)
|
a2b . (11ab 15 15)
|
e)
|
a2b2 . (11ab + 15)
|
20) Fatore a expressão: ax + a + x + 1
| |
a)
|
(x - 1) . (a + x)
|
b)
|
(x + 1) . (a + 1)
|
c)
|
(x - 1) . (a + 1)
|
d)
|
(x - 1) . (a - 1)
|
e)
|
(x - 1) . (a - x)
|
21) Fatore a expressão: 3a + 6
| |
a)
|
3a + 2
|
b)
|
3 . (a + 1)
|
c)
|
6 . (a + 2)
|
d)
|
3 . ( a + 2)
|
e)
|
3 . (a + 6)
|
22) Fatore a expressão: -2a2 - 8a
| |
a)
|
2a . (a + 4)
|
b)
|
2a . (a + 2)
|
c)
|
-2a . (2a + 4)
|
d)
|
-2a . (a + 4)
|
e)
|
-8a . (a + 4)
|
23) Fatore: 16x4 - 25y2
| |
a)
|
(2x2 + 5y) . (2x2 + 5y)
|
b)
|
(2x2 + 5y) . (2x2 - 5y)
|
c)
|
(4x2 + 5y) . (4x2 - 5y)
|
d)
|
(4x2 - 5y) . (4x2 - 5y)
|
e)
|
(4x2 + 5y) . (4x2 + 5y)
|
24) Fatore: 144 - h2
| |
a)
|
(144 - h) (144 + h)
|
b)
|
(144 - h) (144 - h)
|
c)
|
(100 - h) (44 + h)
|
d)
|
(12 + h) (12 - h)
|
e)
|
(12 + h) (12 + h)
|
25) Fatore: 2y3 - 18y
| |
a)
|
(y + 3)2 (y - 3)3
|
b)
|
(y + 3)3 (y - 3)3
|
c)
|
2y . (y + 3) (y - 3)
|
d)
|
2y . (y + 3)3
|
e)
|
2y . (y + 3) (y + 3)
|
26) Fatore: 2t2 - 288
| |
a)
|
(t + 12) (t - 12)
|
b)
|
(t + 287) (t - 1)
|
c)
|
2 . (t + 12) (t - 12)
|
d)
|
2 . (t + 12) (t + 12)
|
e)
|
2 . (t - 12) (t - 12)
|
27) Fatore: ( x + y )2 - z2
| |
a)
|
(x + y + z)2 . (x + y + z)
|
b)
|
(xyz)2 + (x - y - z)2
|
c)
|
(x - z) . (y - z)2
|
d)
|
(x + y + z) . (x + y - z)
|
e)
|
(x - y - z) . (x - y - z)
|
28) Fatore: a2 - b2 + a + b
| |
a)
|
(a + b) . (a - b + 1)
|
b)
|
(a + b) . (a - b)
|
c)
|
(a - b) . (a - b)
|
d)
|
(a + b)2 . (a + b + 1)2
|
e)
|
(a - b)2 . (a - b -1)2
|
29) Se x e y são números reais distintos, então:
| |
a)
|
(x²+y²)/(x-y) = x+y
|
b)
|
(x²-y²)/(x-y) = x+y
|
c)
|
(x²+y²)/(x-y) = x-y
|
d)
|
(x²-y²)/(x-y) = x-y
|
e)
|
Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
|
30) Fatorando a² - b² obtemos:
| |
a)
|
a. b+ 3 (a+ b+ c)
|
b)
|
3. a- b. c
|
c)
|
(a + b) (a - b)
|
d)
|
a. b+ c
|
e)
|
n.d.a
|
31) Fatorando x² + 2y² + 3xy + x + y obtemos:
| |
a)
|
(2x - y ).(x - 2y +3)
|
b)
|
( x + y ) . (x + 2y + 1)
|
c)
|
(2x + y) . (x + y -3 )
|
d)
|
x + y (2. x .y)
|
e)
|
2x +y (x + 2y + 1)
|
32) Fatorando x²y - xy² obtemos:
| |
a)
|
y. x (2- 3)
|
b)
|
x (x+ 5)
|
c)
|
5.x ( 3 - y )
|
d)
|
xy (x - y)
|
e)
|
N.d.a
|
33) Fatorando 12 a²b +
| |
a)
|
(2 .a + 2b ) . (3.a .2b)
|
b)
|
(a. b)( 3a. 2+ b)
|
c)
|
( 2+ a. b).(3.a . 2.b)
|
d)
|
2+ a. 3b (2+ a- 3.b)
|
e)
|
(2 .a + 3b ) . (
|
34) Fatorando 6a2b + 8a obtemos:
| |
a)
|
2.a ( 3ab + 4 )
|
b)
|
4.a ( 6ab + 2 )
|
c)
|
2.a + b. 2
|
d)
|
2.a.b
|
e)
|
3.b (2. b+ a. 4)
|
