Uma sequencia de números gerada pela multiplicação ou divisão de um mesmo número, chama-se Progressão geométrica.
Fórmula para calcular qualquer termo da sequencia:
Fórmula para calcular qualquer termo da sequencia:
An = A1 . qn-1
Com base nessa expressão, temos que:
a2 = a1 . q
a3 = a1 . q2
a5 = a1 . q4
Exemplo: Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.
a8 = 4 * 37
a8 = 4 * 2187
a8 = 8748 ( 8º termo )
Fórmula da Soma dos termos de uma PG finita
a2 = a1 . q
a3 = a1 . q2
a5 = a1 . q4
Exemplo: Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.
a8 = 4 * 37
a8 = 4 * 2187
a8 = 8748 ( 8º termo )
Fórmula da Soma dos termos de uma PG finita
Sn = A1 . (qn - 1)
q - 1
q - 1
Fórmula da Soma dos termos de uma PG infinita
1) Escreva o termo seguinte de cada uma das progressões geométricas:
a) (1, 2, 4, ...)
b) (3/5, 3, 15, ...)
c) (2.21/2, 4, 421/2, ...)
d) (–3, 18, –108, ...)
2) Escreva uma P.G. de quatro termos, dados a1 = 3 e q = 2.
3) Sabendo-se que x – 4, 2x + 4 e 10x – 4 são termos
consecutivos de uma P.G., calcule x de modo que eles sejam positivos.
4) Sabendo-se que a sucessão (x – 1, x + 2, 3x, ...) é uma P.G.
crescente, determine x.
5) A soma de três termos consecutivos de uma P.G. é 21 e o
produto, 216. Sabendo-se que a razão é um número inteiro, calcule
esses números.
6) Classifique em crescente, decrescente ou oscilante as progressões
geométricas:
a) (1000, 100, 10, 1, 1/10)
b) (1/16, 1/4, 1, 1, 4, 16)
c) (2, –4, 8, –16)
7) Numa P.G. tem-se a1 = 3 e a8 = 384. Calcule:
a) a razão;
b) o terceiro termo.
8) O primeiro termo de uma P.G. é 5.21/2, a razão é 21/2 e o
último termo é 80. Calcule:
a) quantos termos tem essa P.G.;
b) o seu quinto termo.
9) Considere esta seqüência de figuras.
Na figura 1, há 1 triângulo.
Na figura 2, o número de triângulos menores é 4.
Na figura 3, o número de triângulos menores é 16 e
assim por diante.
Prosseguindo essa construção de figuras, teremos quantos
triângulos menores na figura 7?
10) O oitavo e o décimo termos de uma seqüência numérica são,
respectivamente, 640 e 2.560. Determine o nono termo, no caso de:
a) a seqüência ser uma progressão aritmética;
b) a seqüência ser uma progressão geométrica;
11) O segundo termo de uma P.G. decrescente é 9/8 e o quarto
é 1/2. Calcule o oitavo termo.
12) Em uma P.G. de razão positiva sabe-se que a4 + a6 = -320 e
a4 - a6 = 192. Determine o quinto termo dessa P.G.
13) Sabendo-se que em uma P.G. a2 + a4 = 60 e a3 + a5 = 180,
calcule a6.
14) Calcule:
a) a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (2, –6, 18, ...);
b) a soma dos seis primeiros termos da P.G. (3.31/2, 9, 9. 31/2);
c) a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (2, 4, 8, 16, ...).
d) Determine a soma dos 6 termos da P.G. crescente em
que os extremos são 1/9 e 27.
15) Calcule a soma dos termos da P.G.
(2, 2. 51/2, 10, 10. 51/2, 50, 50. 51/2, 250).
16) Escreva a P.G. cuja razão é 3/2 e a soma dos cinco primeiros
termos é 422.
17) Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar
de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam
o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho
e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia
anterior. A moça recusou o trabalho. Se ela tivesse aceito a
oferta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?
18) Uma praga atacou uma criação de aves. No primeiro dia,
uma ave adoeceu; no segundo dia, duas outras aves adoeceram;
no terceiro dia, adoeceram mais quatro e assim por diante, até o
oitavo dia. Nenhuma das aves morreu. Sabendo-se que ao fim
do oitavo dia não havia nenhuma ave sem a doença, qual é o
total de aves dessa criação?
19) Determine a soma dos termos das seguintes progressões
geométricas infinitas:
a) (10, 4, 8/5, ...)
b) (3/5, 3/10, 3/20,...)
c) (100, –10, 1, ...)
d) (2/10, 2/100, 2/1000,...)
20) A soma dos termos de uma P.G. decrescente infinita é
128 e a razão é 1/4. Calcule o segundo termo.
21) Uma forte chuva começa a cair na faculdade formando uma
goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e
30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica
de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda
da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de
duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em
que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto
tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a
goteira se transformará em um fio contínuo de água?
22) O primeiro termo e a soma dos termos de uma P.G.
decrescente infinita são, respectivamente, 4 e 12. escrever essa P.G.
23) Em
uma colônia de bactérias, uma bactéria divide-se em duas
a cada hora.
Determinar o número de bactérias originadas de uma só
bactéria dessa colônia
depois de 15 horas.
24) Se
cada coelha de uma colônia gera três coelhas, qual o número
de coelhas da 7ª
geração que serão descendentes de uma única coelha?
25) Numa
PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375.
Calcular o primeiro
termo dessa PG.
a)
(2, 4, 8, ...)
b)
(-1, 4, -16, ...)
progressões geométricas:
a)
(5, 1, 1/5, ...);
b)
(20, 10, 5, ...);
c)
(-30, -10, -10/3, ...);
d)
(2-2, 2-4, 2-6, ...);
e)
(1, 10-1, 10-2, 10-3,
...)
(Fonte:http://www.brasilescola.com/ e www.matematiques.com.br)
determina a 
