Progressão aritmética - resumo (com questões resolvidas)
Artigo sobre progressão aritmética: termo geral, soma dos termos e exercícios resolvidos sobre progressão aritmética.
Progressão aritmética (P.A)
Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada
termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante
r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão
aritmética. A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética
finita de razão 5 pois:
Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente
A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA
(a1, a2, a3, …, an ) da seguinte forma:
1) A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
e) 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.
2) Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na
qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a
soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Resolução: a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965
3) (UFBA) Um relógio que bate de hora em hora o número
de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às
12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Resolução: 60
4) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para
termos uma PA de razão 23?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Resposta certa: Letra "C".
5) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25
Resposta certa: Letra "C"
6) Se somarmos do quinto ao décimo-nono termo de uma P.A., quanto dará esta soma sabendo-se que o quinto termo é igual a 32 e o décimo-nono é igual a 81?
Progressão aritmética (P.A)
Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada
termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante
r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão
aritmética. A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética
finita de razão 5 pois:
a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo
com o valor da razão r.
com o valor da razão r.
Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente
Termo Geral de uma progressão aritmética P.A: fórmula e exemplos
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:
an = a1 + (n – 1) . r
Exemplo 1
Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão
equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.
equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.
a18 = 2 + (18 – 1) * 5
a18 = 2 + 17 * 5
a18 = 2 + 85
a18 = 87
a18 = 2 + 17 * 5
a18 = 2 + 85
a18 = 87
O 18º termo da PA em questão é igual a 87.
Exemplo 2:
Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos
calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica:
22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n
de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.Portanto, a PA possui 40 termos.
calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica:
22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n
de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.Portanto, a PA possui 40 termos.
Soma dos termos de uma progressão aritmética: fórmula e exemplos
Em algumas situações ocorre a necessidade de determinar
o somatório dos termos de uma progressão aritmética. Nesses
casos a expressão matemática
determina a
soma dos termos de uma PA.
o somatório dos termos de uma progressão aritmética. Nesses
casos a expressão matemática
determina a soma dos termos de uma PA.
Exemplo 1
Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine
a soma dos 20 primeiros termos.
a soma dos 20 primeiros termos.
Cálculo da razão da PA
3 – (–1) = 3 + 1 = 4
7 – 3 = 4
11 – 7 = 4
15 – 11 = 4
7 – 3 = 4
11 – 7 = 4
15 – 11 = 4
Determinando o 20º termo da PA
a20 = –1 + (20 – 1) * 4
a20 = – 1 + 19 * 4
a20 = – 1 + 76
a20 = 75
a20 = – 1 + 19 * 4
a20 = – 1 + 76
a20 = 75
Soma dos termos
A soma dos 20 primeiros termos da PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...)
equivale a 740.
equivale a 740.
Exemplo 2:
Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros
termos é 324 e que a 8 = 79.
Retirando os dados:
n = 8
Sn = 324
a 8 = 79
Sn = (a1 + an) . n
324 = (a1 + 79) . 8
2
324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2
Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar
o valor dos outros elementos.
a n = a1 + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 – 1) . r
79 = 2 + 7 . r
79 – 2 = 7r
77 = r
7
r = 11
Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros
termos é 324 e que a 8 = 79.
Retirando os dados:
n = 8
Sn = 324
a 8 = 79
Sn = (a1 + an) . n
324 = (a1 + 79) . 8
2
324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2
Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar
o valor dos outros elementos.
a n = a1 + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 – 1) . r
79 = 2 + 7 . r
79 – 2 = 7r
77 = r
7
r = 11
Propriedades das Progressões Aritméticas (P.A)
Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média
aritmética dos termos vizinhos deste.
aritmética dos termos vizinhos deste.
Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de
resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de
resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos
é constante.
é constante.
Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.
(2, 6, 10, 14, 18); portanto, 2 + 18 = 6 + 14 = 10 + 10 = 20
Questões resolvidas sobre progressão aritmética (P.A)
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
e) 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.
2) Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na
qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a
soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Resolução: a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965
3) (UFBA) Um relógio que bate de hora em hora o número
de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às
12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Resolução: 60
4) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para
termos uma PA de razão 23?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Resposta certa: Letra "C".
5) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25
Resposta certa: Letra "C"
6) Se somarmos do quinto ao décimo-nono termo de uma P.A., quanto dará esta soma sabendo-se que o quinto termo é igual a 32 e o décimo-nono é igual a 81?
Resposta: A soma do quinto ao décimo-nono termo desta P.A. é igual a 847,5.
7) Uma sucessão de números igualmente distantes um após o outro, tem como décimo e vigésimo termos, respectivamente os números 43 e 83. Qual é o trigésimo termo desta sucessão?
Resposta: O trigésimo termo desta sucessão é igual a 123.
8) A soma dos termos da P.A.(5+x, 10+x, 15+x, ..., 100+x) é igual a 1110. Qual é valor de x?
Resposta: O valor de x é 3.
9) (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]
Resposta correta é a b).
10) (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
Resposta; a30 + a55 = 22 + 37 = 59
11) (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
Resposta: a6 + a15 = -15/10 = -1,5
12) Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.
Resposta: n > 0, a resposta é 26.
13) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por Sn = 3n2 + 5n. A razão dessa progressão aritmética é:
Resposta: Logo, a P. A. será ( 8, 14, 20, 26 , .........)
A razão será igual a 6.
14) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a
Resposta: n = 7 Resposta certa letra "B.
14) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 3
(D) 1/2
(E) 2
Resposta: x = 2/3 Resposta certa letra "B"
16) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem
interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
(A) 3a-2
(B) 3a-1
(C) 3a
(D) 3a+1
(E) 3a+2
Resposta certa letra "B".
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