Doutor Matemático

1. Durante os meses de agosto e setembro de 2011, o dólar apresentou grande valorização frente ao real. Suponha que, em 24 de agosto, o valor de um dólar fosse R$ 1,60 e, em 23 de setembro, R$ 1,84. Se o aumento diário, de 24 de agosto a 23 de setembro, tivesse ocorrido linearmente, formando uma progressão aritmética, qual seria, em reais, o valor do dólar em 8 de setembro?

A) 1,70
B) 1,71
C) 1,72
D) 1,73
E) 1,74

2. Maria comprou 30 balas e 18 chocolates para distribuir entre seus três filhos, mas não os distribuiu igualmente. O filho mais velho recebeu igual número de balas e chocolates, enquanto que o filho do meio ganhou 5 balas a mais do que chocolates. O número de balas que o filho caçula ganhou correspondeu ao dobro do número de chocolates. Sabendo-se que os dois filhos mais novos de Maria ganharam a mesma quantidade de chocolates, quantas balas couberam ao filho mais velho?

A) 4
B) 7
C) 8
D) 11
E) 12

3. Um recipiente com formato de paralelepípedo reto retângulo, cujas arestas da base medem 5 cm e 8 cm, está parcialmente cheio de água. Despeja-se parte dessa água em um outro recipiente, cúbico e inicialmente vazio, de modo a enchê-lo completamente, como mostra o esquema a seguir.

Considerando-se os níveis H1 e H2 especificados na figura e que não houve qualquer desperdício de água, a medida da aresta do cubo, em cm, é

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9

4. Em uma pesquisa sobre tempo de uso de internet, 1.000 pessoas responderam à seguinte pergunta: “Durante quantas horas, por dia, você utiliza a internet?” O resultado da pesquisa é mostrado no gráfico a seguir.

Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade de que ela utilize a internet durante mais de 3 horas por dia será de, aproximadamente,

A) 6%
B) 18%
C) 24%
D) 42%
E) 60%

5. Pensando em reunir os amigos em torno de uma única mesa, João juntou duas mesas retangulares e iguais formando uma única mesa, quadrada, de área 14.400 cm2, como mostra a Figura 1. José analisou a arrumação de João e concluiu que, se ele juntasse as duas mesas pelo menor lado (Figura 2), haveria espaço para mais pessoas, pois o perímetro dessa nova mesa seria maior. A diferença, em metros, entre os perímetros da “mesa de José” e da “mesa de João”, em centímetros, é

A) 36
B) 60
C) 72
D) 108
E) 120

Soluções das Questões

Questão 1

Observamos que de 24/08 a 23/09 são 31 dias. Considerando cada dia a partir de 24/08 como os termos (a1, a2, a3, …, a31) de uma P.A., temos o seguinte:

a1 = 1,60 (primeiro termo)

a31 = 1,84 (último termo)

Pela fórmula do termo geral da P.A.

a31 = a1 + ( n – 1).r e daí substituindo

1,84 = 1,60 + (31 – 1).r <=>

<=> 1,84 = 1,60 + 30r <=>

<=> 1,84 – 1,60 = 30r <=>

<=> 0,24 = 30r <=> r = 0,24/30, então r = 0,008 (razão da P.A. ou aumento diário).

Como o problema deseja saber o valor em 08/09, verifique que 08/9 é o a16 (décimo sexto termo da P.A.), portanto usando novamente a fórmula do termo geral da P.A., vem que:

a16 = 1,60 + (16 – 1).0,008, logo a16 = 1,72 (valor do dólar em 08/09).

Questão 2

Vamos nomear algumas incógnitas para resolvermos o problema.

O filho mais velho ganhou a balas e b chocolates.

O filho do meio ganhou c balas e d chocolates.

O filho caçula ganhou e balas e f chocolates.

Somando o número de balas com o de chocolates temos:

a + b + c + d + e + f = 48

Relacionando as balas e chocolates, podemos escrever:

a + c + e = 30

b + d + f = 18

Do problema, temos que o filho mais velho ganhou igual número de balas e chocolates ( a = b ), o filho do meio ganhou cinco balas a mais que chocolate ( c = d + 5 ) e o filho mais novo ganhou em número de balas o dobro do número de chocolates ( e = 2f ). Portanto, podemos substituir essas igualdades nas duas relações acima e vamos resolver o sistema por elas formado, veja:

Ainda do problema, temos que os dois filhos mais novos ganharam a mesma quantidade de chocolate, isto é,

d = f = 7, podemos agora descobrir os outros valores!

c = d + 5, então c = 7 + 5 = 12.

e = 2f, então e = 2.7 = 14.

Substituindo em b + d + f = 18,

b + 7 + 7 = 18, então b = 4 e a = b = 4.

Concluindo a = 4, b = 4, c = 12, d = 7, e = 14 e f = 7. Portanto o filho mais velho ganhou 4 balas.

Questão 3.

Para descobrirmos a aresta do cubo, precisamos antes descobrir seu volume. Observe que o volume do cubo (Vc) é a diferença entre os volumes do recipiente cilíndrico, antes e depois.

Para calcular o volume de um recipiente cilíndrico fazemos o produto das três dimensões (comprimento, largura, altura), onde H1 e H2 são as alturas antes e depois.

Volume do recipiente cilíndrico antes = 5.8.12 = 480 cm3.

Volume do recipiente cilíndrico depois = 5.8.10,4 = 416 cm3.

Volume do cubo (Vc) = 480 – 416 = 64 cm3.

Devemos lembrar que para o cálculo do volume do cubo, basta elevarmos a medida da aresta (a) ao cubo (terceira potência), isto é,

Volume do cubo = (aresta)3

Questão 4

Como o problema pede a probabilidade p, devemos saber antes o número de elementos do espaço amostral, isto é, todos os casos possíveis.

N°. espaço amostral = total de pessoas envolvidas = 1000.

Sobre o evento desejado, temos que saber o n°. de casos possíveis. Isto é, vamos verificar a quantidade de pessoas que utilizam a internet por mais de 3 horas.

Verificando no gráfico (soma da penúltima e última coluna) temos aproximadamente: 180 + 60 = 240 pessoas. Temos, portanto, uma probabilidade de aproximadamente

P = 240/1000 = 24/100, então P = 24%.

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Questão 5

Para o cálculo do perímetro, precisamos antes verificar a medida de cada lado. Considerando que a mesa formada por João é quadrada e para se obter a área (A) de um quadrado de lado (L), basta elevarmos o lado ao quadrado, isto é,

A = L2, como A = 14400cm2, temos L2 = 14400, então L = 120 cm.

Perímetro figura 1 = 4.120 = 480 cm.

Perímetro figura 2 = 4.120 + 2.60 = 600 cm.

Diferença entre os perímetros = 600 – 480 = 120 cm.

Agora tente resolver mais esses testes:

1. Os tablets são aparelhos eletrônicos portáteis, maiores que um celular e menores que um netbook, ideais para a leitura de livros e jornais. Um dos primeiros tablets lançados no mercado americano tem a forma aproximada de um paralelepípedo reto-retângulo de 26,4 cm de comprimento, 18,3 cm de largura e 1 cm de espessura. Qual é, em cm3, o volume aproximado desse aparelho?

A) 274,20
B) 483,12
C) 795,16
D) 1.248,24
E) 1.932,48

2. Segundo a ANP, Espírito Santo e Rio Grande do Norte estão entre os estados brasileiros que mais produzem petróleo, atrás apenas do Rio de Janeiro. Juntos, esses dois estados produzem, anualmente, 64.573 mil barris. Se a produção anual do Rio Grande do Norte dobrasse, superaria a do Espírito Santo em 2.423 mil barris. Sendo assim, quantos milhares de barris de petróleo são produzidos anualmente no Espírito Santo?

A) 20.716
B) 22.332
C) 31.075
D) 36.086
E) 42.241

3. “O Brasil é o país onde mais caem raios no mundo. Na última década, a cada três dias, em média, uma pessoa foi fulminada por um raio”.

Revista Veja, 10 fev. 2010.

Seja f(x) uma função polinomial que represente o número de pessoas fulminadas por um raio no Brasil ao longo da última década, onde x representa o número de dias. Considerando as informações apresentadas na reportagem acima, conclui-se que

A) f(x) = 3x
B) f(x) = x + 3
C) f(x) = x – 3
D) f(x) = x/3
E) f(x) = (3 – x)/3

4. A produção de álcool do Estado de São Paulo vem aumentando ano a ano. Enquanto que, em 2004, foram produzidos 7.734.000 m3, a produção de 2009 chegou a 16.635.000 m3. Considerando que o aumento anual, de 2004 a 2009, tenha sido linear, formando uma progressão aritmética, qual foi, em m3, a produção de 2005?

A) 9.514.200
B) 9.612.400
C) 9.724.400
D) 9.796.200
E) 9.812.600

5. As cédulas de real estão sendo modernizadas. Elas continuarão a ser retangulares, mas, dependendo do valor, o tamanho será diferente. A menor delas será a de 2 reais, que medirá 12,1 cm por 6,5 cm. A maior será a de 100 reais, com 15,6 cm de comprimento e 7 cm de largura. Qual será, em cm2, a diferença entre as áreas dessas duas notas?

A) 15,35
B) 24,75
C) 30,55
D) 31,45
E) 38,25

Soluções das Questões

Questão 1

Para encontrarmos o volume de um paralelepípedo reto-retângulo devemos realizar o produto das medidas das três dimensões (comprimento, largura e altura). Vejamos:

Volume = 26,4 x 18 x 1 = 483,12 cm3.

Portanto, o volume do aparelho é de 483,12 cm3.

Questão 2

Vamos nomear algumas incógnitas para facilita a resolução do problema.

E – quantidade de petróleo produzido pelo estado do Espírito Santo.

R – quantidade de petróleo produzido pelo estado do Rio Grande do Norte.

Retirando as informações do enunciado:

O problema diz que – “Juntos, esses dois estados produzem, anualmente, 64.573 mil barris.” – logo, podemos escrever a equação:

E + R = 64573.

Outra informação, é a de que – “Se a produção anual do Rio Grande do Norte dobrasse, superaria a do Espírito Santo em 2.423 mil barris.” – como a produção do Rio Grande do Norte é de R barris, dobrando passa a ser, 2R e daí podemos escrever a equação:

2R = E + 2423 ou E = 2R – 2423.

Veja que, dobrando a produção de um estado (RN), esta passa a ser igual a do outro (ES) mais 2423 barris ou a produção de um estado (ES) é igual ao dobro do outro (RN) menos 2423 barris.

Agora, vamos juntar as equações obtidas:

E + R = 64573 ( I )

E = 2R – 2423 ( II )

Vamos substituir o valor de E (equação II) no E da equação( I ):

E + R = 64573

2R – 2423 + R = 64573, então R = 66996/3 = 22332.

Achamos a produção do (RN), substituímos o valor R = 22332 na equação (II) e assim encontramos a produção do (ES):

E = 2.(22332) – 2423 = 42241.

Portanto, a produção do (ES) é de 42241 mil barris.

Questão 3

Do enunciado, temos que:

“… a cada três dias, em média, uma pessoa foi fulminada por um raio.”

Isto quer dizer, por exemplo, que em 27 dias, 27/3 = 9 pessoas são atingidas por um raio. Veja, dividimos o número de dias (27) por 3, o valor da média dada no problema, ou seja, uma divisão por três.

Veja a sequência abaixo, onde x representa o número de dias e f(x) o número de pessoas.

x – f(x)
3 – 1 “em 3 dias, teremos (3/3) 1 pessoa fulminada”.
6 – 2 “em 6 dias, teremos (6/3) 2 pessoas fulminadas”.
9 – 3 “em 9 dias, teremos (9/3) 3 pessoas fulminadas”.
……
……
……
27 – 9
……

Agora, como f(x) representa o n°. de pessoas, x o n°. de dias, logo

f(x) = x/3.

Observação: utilizamos, neste caso, valores múltiplos de 3 para os dias (x), somente para facilitar os cálculos e o entendimento. Mas x pode assumir outros valores naturais e considerando que f(x) representa o nº de pessoas, deve ser inteiro.

Questão 4

Como o aumento da produção foi linear, isto quer dizer que aumentou a mesma quantidade por ano, ou seja, o aumento anual se manteve constante.

Para resolver este problema, você pode utilizar a fórmula do termo geral da P.A. mas, vamos seguir por outro caminho, sem a necessidade de fórmulas!

Observe abaixo a linha do tempo, para este caso:

Primeiro: fazendo a diferença entre as produções de 2009 e 2004, vamos obter o valor do aumento entre esses anos.

16.635.000 – 7.734.000 = 8.901.000 m3.

Segundo: dividindo a diferença obtida a cima por 5, pois o valor da diferença acima é relacionado a 5 anos (2009 – 2005), obteremos o valor do crescimento anual da produção.

8.901.000 / 5 = 1.780.200 m3 / ano.

Terceiro: pronto! Agora, já temos o aumento anual e o valor da produção em 2005 será dado pela soma do valor da produção em 2004 mais o valor do aumento anual.

Valor da produção em 2005 = (valor em 2004) + 1.780.200

Valor da produção em 2005 = 7.734.000 + 1.780.200 = 9.514.200 m3.

Questão 5

Bem, para obtermos a diferença entre as áreas das cédulas, temos que saber a área de cada uma. Como as cédulas são retangulares, para calcular a área do retângulo fazemos o produto da medida do comprimento pela medida da largura. Vejamos:

Área da cédula de R$ 2,00 = 12,1 . 6,5 = 78,65 cm2.

Área da cédula de R$ 100,00 = 15,6 . 7 = 109,2 cm2.

Diferença = 109,2 – 78,65 = 30,55 cm2.

Segue os últimos testes da prova:

1. Qual é o produto das raízes da equação [log(x)]2 – log(x2) – 3 = 0 ?

A) – 3.000
B) – 3
C) 0,001
D) 100
E) 1.000

2. Um cilindro circular reto possui altura igual ao raio de sua base. Se a razão entre o volume do cilindro, dado em metros cúbicos, e a sua área total, dada em metros quadrados, é igual a 2 metros, então a área lateral do cilindro, em m2, é igual a

A) 128π
B) 64π
C) 48π
D) 32π
E) 16π

3. Considere uma função f: IR→IR, definida por f(x) = 2x + 5. Se cn, n $\in$ IN* indica o termo geral de uma progressão aritmética decrescente, então a sequência de números reais dn, definida por dn = f(cn), n $\in$ IN*, é uma progressão

A) aritmética crescente
B) aritmética decrescente
C) geométrica crescente
D) geométrica decrescente
E) geométrica alternada

Em uma pequena sala de projeção, há cinco cadeiras dispostas em linha, lado a lado, e numeradas de 1 a 5. Quatro pessoas vão ocupar quatro dessas cadeiras. As possíveis ocupações das cadeiras distinguem-se não só pela cadeira vazia, mas, também, pela disposição das pessoas nas cadeiras ocupadas. De quantos modos as cadeiras podem ser ocupadas pelas quatro pessoas?

A) 5
B) 20
C) 24
D) 120
E) 1.024

5. Uma rede distribuidora é composta de 4 lojas instaladas numa mesma cidade. Na matriz M4x7 abaixo, cada elemento mij representa a quantidade de latas de certo tipo de lubrificante vendida na loja i no dia j da semana de 12 a 18 de março. Assim, por exemplo, o elemento m13 corresponde às vendas da loja 1 no dia 14 (terceiro dia da semana) e o e elemento m47, às vendas da loja 4 no dia 18 (sétimo dia da semana).

De acordo com as informações acima, qual a quantidade total de latas de lubrificante que esta rede distribuidora vendeu no dia 15/03?

A) 459
B) 463
C) 477
D) 479
E) 485

Soluções das Questões

Logo abaixo, você encontras as soluções das questões. Lembre-se do descrito na introdução deste artigo que para um melhor entendimento das resoluções é bom que já tenha um bagagem teórica do assuntos listados para as questões.

Questão 1

Para resolvermos este problema, devemos lembrar das propriedades de logaritmo e como se resolve uma equação logarítmica. Vejamos:

log(x2) pode ser escrito como 2.log(x), utilizando a propriedade logaritmo da potência (verifique!).

[log(x)]2 – log(x2) – 3 = 0 , então [log(x)]2 – 2.log(x) – 3 = 0.

Agora, vamos fazer uma substituição para nos ajudar na resolução, vamos fazer

log(x) = y.

[log(x)]2 – 2.log(x) – 3 = 0.

y2 – 2.y – 3 = 0

Resolvendo a equação do 2° grau acima:

$\Delta = {2^2} - 4.1.( - 3) = 16.$

$y = \frac{{2 \pm \sqrt {16} }}{2} \Leftrightarrow y = 3{\rm{ ou y}} = - 1.$

Mas, a equação original se encontra na incógnita x, então vamos “voltar”.

$Para{\rm{ y = 3}}{\rm{, temos: }}\log (x) = 3 \Leftrightarrow x = {10^3} \Leftrightarrow x = 1000.$ $Para{\rm{ y = - 1}}{\rm{, temos: log(x) = 1}} \Leftrightarrow {\rm{x = 1}}{{\rm{0}}^{ - 1}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{10}} = 0,1.$

Produto das raízes = 0,1.1000 = 100.

Questão 2

Para resolvermos este problema, poderíamos fazer um desenho da situação, mas não é necessário! Veja:

Sejam h e r a altura e raio da base do cilindro, respectivamente.

Do problema, temos que h = r.

Temos ainda que a razão entre o volume V e a área total A do cilindro é 2, daí podemos escrever

$\frac{V}{A} = 2.$

O problema pede a área lateral do cilindro Al , sabemos que a área lateral do cilindro é dada por

${A_l} = 2\pi r.h$

Mas, h = r, então vamos substituir.

${A_l} = 2\pi r.r \Leftrightarrow {A_l} = 2\pi {r^2}.$

Veja que na última expressão acima para encontrarmos a medida da área lateral, dependemos da medida do raio r. Então, vamos determinar a medida do raio r. Mas, antes lembre-se:

$V = \pi .{r^2}.h{\rm{ e A = 2}}\pi {\rm{.r}}{\rm{.(r + h)}}{\rm{.}}$

$\frac{V}{A} = 2 \to \frac{{\pi {r^2}.h}}{{2\pi r.(r + h)}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{r.h}}{{2.(r + h)}} = 2 \Leftrightarrow r.h = 4.(r + h).$

Como h = r, temos:

$r.h = 4.(r + h) \to r.r = 4.(r + r) \Leftrightarrow {r^2} = 8r \Leftrightarrow {r^2} - 8r = 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow r.(r - 8) = 0 \Leftrightarrow r = 0{\rm{ ou r = 8}}{\rm{.}}$

Bem, r é a medida do raio, então deve ser maior do que zero, portanto r = 8m.

Agora, substituindo para determinarmos a área lateral:

${A_l} = 2\pi {r^2} \to {A_l} = 2.\pi {.8^2} = 128\pi .$

Questão 3

Primeiro, observe que temos uma função real, na variável x, cuja lei de formação é f(x) = 2x + 5.

Agora, veja que Cn é o termo geral de uma P.A. decrescente, então lembre-se que a razão r da P.A. tem que ser menor do que zero, ou seja, r < 0.

O termo geral de uma P.A. é dado por

Cn = C1 + (n – 1).r

Onde, C1 é o primeiro termo, n a quantidade de termos.

Como dn = f(Cn), com n natural e diferente de zero, podemos escrever:

dn = 2.(C1) + 5

dn = 2.[C1 + (n – 1).r] + 5

Vamos supor que C1 = 10 e como r < 0, supomos para r um valor menor do que zero, façamos r = –1, por exemplo. Substuindo em dn:

Para n = 1, 2, 3 (primeiro, segundo e terceiro termos)

d1 = 2.[10 + (1 – 1).(-1)] + 5 = 2.10 + 5 = 25.

d2 = 2.[10 + (2 –1).(-1)] + 5 = 23.

d3 = 2.[10 + (3 – 1).(-1)] + 5 = 21.

Vejam a sequência obtida (25, 23, 21, …) ela representa uma P.A. descrescente de razão -2, portanto dn é uma progressão aritmética decrescente.

Observação:

Para este caso, poderíamos seguir outro caminho na resolução do problema, isto é, trabalhar sem supor valores para C1 e r, só no “algebrismo” e chegar à uma resposta. Mas, preferimos utilizar o caminho acima, por pensar que seja mais conveniente para o entendimento do estudante e por se tratar de uma questão de concurso.

Outro ponto, são os valores escolhidos para C1 e r, para este caso, qualquer valor real funcionaria (desde que r < 0), mas vamos usar o bom senso. Escolha valores (números) “pequenos”, “fáceis” de trabalhar, por isto, escolhemos 10 e –1.

Questão 4

Vejamos:

devemos tomar aqui duas decisões, qual cadeira ninguém sentará e a outra é a disposição das pessoas nas cadeiras.

Com relação a primeira decisão, temos 5 modos distintos, isto é, podemos deixar uma cadeira desocupada de 5 modos, pois há 5 cadeiras (pode ser 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5).

Já a segunda decisão, relacionada a posição de ocupação das pessoas nas 4 cadeiras, observamos o seguinte:

primeira cadeira ocupada: há 4 modos (qualquer uma das 4 pessoas).

segunda cadeira ocupada: há 3 modos (pois, uma pessoa já está sentada).

terceira cadeira ocupada: há 2 modos.

quarta cadeira ocupada: 1 modo.

Isto é, há 4.3.2.1 ou 4! modos.

Bem, já sabemos de quantos modos podemos tomar as duas decisões. Portanto, pelo princípio multiplicativo as cadeiras podem ser ocupadas de

5.4! = 5.24 = 120 modos.

Questão 5

De acordo com o enunciado, nas linhas temos as lojas e nas colunas os dias. Veja, na primeira coluna (da esquerda p/ direita) temos dia 12/03, segunda, 13/03 e assim por adiante. Na 4º coluna temos o dia 15/03, pedido no enunciado.

Observe que, na loja 1, foram vendidas 91 latas, na loja 2 (linha 2) foram vendidas 109 latas, loja 3, 111 latas e loja 4, 148 latas. Isso, no dia 15/03. Logo, no dia 15/03, foram vendidas

91 + 109 + 111 + 148 = 459 latas.