MATEMÁTICA FINANCEIRA: capital, juros simples e composto,taxa de juros exercícios resolvidos e teoria

Conceitos básicos

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde:

J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195

j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n)

2 = 1 + 1,5 n

n = 2/3 ano = 8 meses

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J = M - P

Exemplo:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:

P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)ⁿ, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,035¹² e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,035¹² => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00

Função de 1º grau: problemas resolvidos

Podemos definir função como uma relação entre duas ou mais grandezas. Veja a seguinte situação:

Exemplo 1 – Combustível O preço do litro da gasolina em um posto é R$ 2,50.

Litros	Valor a pagar
1	R$ 2,50
2	R$ 5,00
3	R$ 7,50
4	R$ 10,00
5	R$ 12,50
10	R$ 25,00
15	R$ 37,50
20	R$ 50,00

O total a pagar depende da quantidade de gasolina abastecida. Podemos estabelecer uma relação entre a quantidade de litros de gasolina e o valor a ser pago:

f(x): preço a pagar (varia de acordo com a quantidade de litros abastecidos)
x: litros (variável)
y: preço do litro (valor pré-fixado)
Temos que a lei de formação da função é: f(x) = 2,50x

Exemplo 2 – Taxi 
Um taxista cobra um valor fixo de R$ 4,20 mais R$ 0,30 por quilômetro rodado. Escreva a função que determina o valor de uma corrida e qual o valor que uma pessoa irá pagar por ter usado os serviços do taxista após rodar 20 km.

Função: f(x) = 0,30x + 4,20 (onde x: km rodados e R$ 4,20 valor fixo)
f(x) = 0,30x + 4,20
f(20) = 0,30 * 20 + 4,20
f(20) = 6 + 4,20
f(20) = 10,20
A pessoa irá pagar R$ 10,20 pelo serviço prestado.

Exemplo 3 – Eletrônica 
Carlos é um técnico em eletrônica e presta serviços autônomos. Por uma visita ele cobra R$ 40,00 mais R$ 5,00 por hora de trabalho. Quanto Carlos irá cobrar por um trabalhoque demorou 9 horas?

Função: f(x) = 5x + 40
f(x) = 5x + 40
f(9) = 5 * 9 + 40
f(9) = 45 + 40
f(9) = 85
Carlos irá cobrar R$ 85,00.

Exemplo 4 – Custo 
Para produzir um determinado produto, uma indústria tem um custo fixo de R$ 32,00 mais R$ 1,50 por peça produzida. Qual o custo de produção de 500 peças?

Função: f(x) = 1,5x + 32
f(500) = 1,5 * 500 + 32
f(500) = 750 + 32
f(500) = 782
O custo para a produção de 500 peças será de R2,00.

Exemplo 5 – Biologia

O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função:

N(t) = 200 . 3 ^kt

N: representa o número de bactérias no instante t.

t: o tempo em horas.

k: constante

A produção tem início para t = 0. Decorridas 12 horas, há um total de 600 bactérias.

Exemplo 6 – Física 
A temperatura de um paciente, depois de receber um anti-térmico, é dada pela função T(t) = 36,4 + [3/(t + 1)], onde T é a temperatura em graus Celsius e t é o tempo medido em horas, a partir do momento em que o paciente é medicado.

Exemplo 7 – Física 
Uma pedra é atirada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela função h(t) = at² + 12t, em que t é medido em segundos.

Exemplo 8 – Biologia 
Cíntia, Paulo e Paula leram a seguinte informação numa revista:

“Conhece-se, há mais de um século, uma fórmula para expressar o peso ideal do corpo humano adulto em função da altura”:

P = (a - 100) - [(a - 150)/k] onde P é o peso, em quilos, a é a altura, em centímetros,  k = 4, para homens, e k = 2, para mulheres"

Exemplo 9 – Física 
Um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 300 m/s (suponhamos que não haja nenhuma outra força, além da gravidade, agindo sobre ele). A distância d (em metros) do ponto de partida, sua velocidade v (em m/s) no instante t (em segundos contados a partir do lançamento) e aceleração a (em  m/s²) são dadas pelas fórmulas:

            d = 300t - (1/2).10 t²,

           v = 300 - 10t,        a = -10

Exemplo 10 – Biologia 
A porcentagem p de bactérias em certa cultura sempre decresce em função do número t de segundos em que ela fica exposta à radiação ultravioleta, segundo a relação: p(t) = 100 - 15t + 0,5t².

Exemplo 11 – Biologia   
Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por:                 f(t) = - 10t² + 20t + 100.

Exemplo 12 – Lucro 
Uma empresa que elabora material para panfletagem (santinhos) tem um lucro, em reais, que é dado pela lei L(x) = - x² + 10x - 16, onde x é a quantidade vendida em milhares de unidades.

Exemplo 13– Biologia 
O desenvolvimento da gestação de uma determinada criança, que nasceu com 40 semanas, 50,6 cm de altura e com 3.446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20ª semana, aproximadamente, pelas funções matemáticas.

            h(t) = 1,5t - 9,4 e

            p(t) = 3,8 t² - 72 t + 246,

Onde t indica o tempo em semanas,  h(t) a altura em centímetros e p(t) a massa em gramas.

Exemplo 14 – Custo total

Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 200,00 mais um custo variável de R$ 1,20 por peça produzida.
Note que temos um valor fixo de R$ 200,00 e um valor que varia de acordo com a quantidade de peças produzidas, R$ 1,20.

y = 1,2.x + 200  Para:  y = Custo Total   e   x = peças produzidas

Exemplo 15 – Custo Total 
Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes as seguintes opções de pagamento mensais:
Plano A: um valor fixo de R$ 110,00 mais R$ 20,00 por consulta dentro do período.
Plano B: um valor fixo de R$ 130,00 mais R$ 15,00 por consulta dentro do período.
Função do plano A: y = 20x + 110
Função do plano B: y = 15x + 130  Para:  y = Custo do plano e x = número de consultas

Bibliografia:

Site:

http://www.prof2000.pt/users/folhalcino/aula/ensimat.htm

TABELA VERDADE

A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:
· Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
· Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa.
· Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente.
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade :
1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).

p	~p
V	F
F	V

2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjunctos são verdadeiros.

p	q	p Ù q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os disjunctos são falsos.

p	q	p Ú q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.

p	q	p ® q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos

p	q	p « q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p Ú q) ® ~p) ® (q Ù p)

p	q	((p Ú q) ® ~p) ® (q Ù p)
V	V	V	F	F	V	V
V	F	V	F	F	V	F
F	V	V	V	V	F	F
F	F	F	V	V	F	F

---

·NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2ⁿ. Assim, para duas proposições são 2² = 4 linhas; para 3 proposições são 2³ = 8; etc.
Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p Ù q) ® r) terá 8 linhas como segue :

p	q					r	((p Ù q) ® r )
V		V			V		V      V
V		V			F		V      F
V		F			V		F     V
V		F			F		F     V
F		V			V		F     V
F			V	F			F     V
F			F	V			F     V
F			F	F			F     V

---

NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclusivo(disjunção) Ú ("vel")  e exclusivo Ú  ( "aut") onde p Úq significa ((p Ú q) Ù~ (p Ù q)).

p	q	((p Ú q) Ù ~ (p Ù q))
V	V	V       F  F     V
V	F	V      V  V     F
F	V	V      V  V     F
F	F	F       F V     F

(http://ensinodematemtica.blogspot.com.br/)

Estudo dos sinais da função quadrática: exercícios, exemplos e teoria

Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é através do gráfico, pois permite-nos uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação.

Observação: para construirmos o gráfico de uma função do 2º grau precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo.

∆ = 0, uma raiz real.

∆ > 0, duas raízes reais e distintas

∆ < 0, nenhuma raiz real.

Para determinar o valor de ∆ e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara.

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo 

Exemplo 1

y = x² – 3x + 2
x² – 3x + 2 = 0

Aplicando Bháskara
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆ = 9 – 8
∆ = 1



A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e duas raízes reais e distintas.

Estudo dos sinais
 x < 1 ou x > 2, y > 0
 Valores entre 1 e 2, y < 0
 x = 1 e x = 2, y = 0


Exemplo 2

y = x² + 8x + 16
x² + 8x + 16 = 0

Aplicando Bháskara
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0

A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz real.

Estudo dos sinais

 x = –4, y = 0
 x ≠ –4, y > 0


Exemplo 3

y = 3x² – 2x + 1
3x² – 2x + 1 = 0

Aplicando Bháskara
∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1
∆ = 4 – 12
∆ = – 8

A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.

 

Estudo dos sinais
 A função será positiva para qualquer valor real de x.

Exemplo 4

y = – 2x² – 5x + 3
– 2x² – 5x + 3 = 0

Aplicando Bháskara

∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3
∆ = 25 + 24
∆ = 49

A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e distintas.

Estudo dos sinais:

 x < –3 ou x > 1/2, y < 0
 Valores entre – 3 e 1/2, y > 0
 x = –3 e x = 1/2, y = 0

Exemplo 5

y = –x² + 12x – 36
–x² + 12x – 36 = 0

Aplicando Bháskara
∆ = 12² – 4 * (–1) * (–36)
∆ = 144 – 144
∆ = 0

A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única raiz real.

Estudo dos sinais
 x = 6, y = 0
 x ≠ 6, y < 0

Exercícios:

1)  Estude os sinais das seguintes funções do 2° grau:

a)  f (x) = x² - 8x + 12

b)  f (x) = -x² + 8x – 12

c)  f (x) = x² - 4x – 12

d) f (x) = -x² + 6x – 9

e)  f (x) = x² - 2x + 4

f)   f (x) = - 4x²

g)  f (x) = 1 – x²

h)  f (x) = 5x² + 15x

i)    f (x) = x² + x – 6

j)    f (x) = -2x² - x + 3

2)  Determine m Î R para que a função f (x) = x² + mx + 1 seja positiva

3) Calcule  o valor de p Î R a fim de que a função y = px² - 2x + p seja negativa.

4)  (Mackenzie – SP) Dado f (x) = 2x² - ax + 2a, sabe-se que f (x) > 0, para qualquer valor real de x. Qual é o maior valor inteiro que a pode assumir?

5)  (PUC – MG) Todos os pontos da parábola de equação y = x² + ax + 9 estão acima do eixo das abscissas. Qual é o intervalo ao qual a pode pertencer? 

6)Em cada um dos itens abaixo, use o discriminante para decidir o número de vezes em que o gráfico da função corta o eixo x .

(a)

(b)

(c)

Resolução:

(a) O discriminante da equação x² + 4 = 0 é negativo e, portanto, o gráfico da função.  não corta o eixo dos x.

(b) O discriminante da equação x² + 4x + 4 = 0 é igual a zero e, portanto, o gráfico da função.  tangencia o eixo dos x.

(c) O discriminante da equação -x² + 4x + 4 = 0 é positivo e, portanto, o grafico da função.  corta o eixo dos x em dois pontos.

7) Para quais valores de x reais a função: y= x² – x - 6 é:

y=0     y>0   e y<0

8) Para quais valores de x reais a função: y= -x² +4x +5 é:

y=0     y>0   e y<0

(Equipe Brasil Escola brasilescola.uol.com.br)