Pages

terça-feira, 6 de setembro de 2016

Estudo dos sinais da função quadrática: exercícios, exemplos e teoria

Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é através do gráfico, pois permite-nos uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação.

Observação: para construirmos o gráfico de uma função do 2º grau precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo.

∆ = 0, uma raiz real.
Resultado de imagem para estudo dos sinais da função quadratica
∆ > 0, duas raízes reais e distintas

Resultado de imagem para estudo dos sinais da função quadratica

∆ < 0, nenhuma raiz real.
Resultado de imagem para estudo dos sinais da função quadratica

Para determinar o valor de ∆ e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara.




Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo 


Exemplo 1

y = x² – 3x + 2
x² – 3x + 2 = 0

Aplicando Bháskara
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆ = 9 – 8
∆ = 1



A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e duas raízes reais e distintas.



Estudo dos sinais
 x < 1 ou x > 2, y > 0
 Valores entre 1 e 2, y < 0
 x = 1 e x = 2, y = 0


Exemplo 2

y = x² + 8x + 16
x² + 8x + 16 = 0

Aplicando Bháskara
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0


A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz real.


Estudo dos sinais

 x = –4, y = 0
 x ≠ –4, y > 0


Exemplo 3

y = 3x² – 2x + 1
3x² – 2x + 1 = 0

Aplicando Bháskara
∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1
∆ = 4 – 12
∆ = – 8

A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.


 
Estudo dos sinais
 A função será positiva para qualquer valor real de x.

Exemplo 4

y = – 2x² – 5x + 3
– 2x² – 5x + 3 = 0

Aplicando Bháskara

∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3
∆ = 25 + 24
∆ = 49
A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e distintas.


Estudo dos sinais:

 x < –3 ou x > 1/2, y < 0
 Valores entre – 3 e 1/2, y > 0
 x = –3 e x = 1/2, y = 0

Exemplo 5

y = –x² + 12x – 36
–x² + 12x – 36 = 0

Aplicando Bháskara
∆ = 12² – 4 * (–1) * (–36)
∆ = 144 – 144
∆ = 0




A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única raiz real.


Estudo dos sinais
 x = 6, y = 0
 x ≠ 6, y < 0
Exercícios:
1)  Estude os sinais das seguintes funções do 2° grau:

a)  f (x) = x² - 8x + 12
b)  f (x) = -x² + 8x – 12
c)  f (x) = x² - 4x – 12
d) f (x) = -x² + 6x – 9
e)  f (x) = x² - 2x + 4
f)   f (x) = - 4x²
g)  f (x) = 1 – x²
h)  f (x) = 5x² + 15x
i)    f (x) = x² + x – 6
j)    f (x) = -2x² - x + 3

2)  Determine m Î R para que a função f (x) = x² + mx + 1 seja positiva

3) Calcule  o valor de p Î R a fim de que a função y = px² - 2x + p seja negativa.

4)  (Mackenzie – SP) Dado f (x) = 2x² - ax + 2a, sabe-se que f (x) > 0, para qualquer valor real de x. Qual é o maior valor inteiro que a pode assumir?

5)  (PUC – MG) Todos os pontos da parábola de equação y = x² + ax + 9 estão acima do eixo das abscissas. Qual é o intervalo ao qual a pode pertencer? 

6)Em cada um dos itens abaixo, use o discriminante para decidir o número de vezes em que o gráfico da função corta o eixo x .
(a) [Maple Math]
(b) [Maple Math]
(c) [Maple Math]
Resolução:
(a) O discriminante da equação x2 + 4 = 0 é negativo e, portanto, o gráfico da função. [Maple Math] não corta o eixo dos x.
(b) O discriminante da equação x2 + 4x + 4 = 0 é igual a zero e, portanto, o gráfico da função. [Maple Math] tangencia o eixo dos x.
(c) O discriminante da equação -x2 + 4x + 4 = 0 é positivo e, portanto, o grafico da função. [Maple Math] corta o eixo dos x em dois pontos.

7) Para quais valores de x reais a função: y= x2 – x - 6 é:
y=0     y>0   e y<0

8) Para quais valores de x reais a função: y= -x2 +4x +5 é:
y=0     y>0   e y<0





(Equipe Brasil Escola brasilescola.uol.com.br)
 

Destaque!!!!!!!!!!!

Aula criativa de matemática sobre a conversão do dólar

Um emprego em um navio de cruzeiro pode ser uma grande chance de conhecer lugares novos e ganhar um bom salário. Quanto melhor for seu ingl...