POLIEDROS/ Relação de Euler /Poliedros regulares e irregulares/Poliedros convexos e não convexos

Relembrando a geometria plana : Polígonos

Em geometria, uma figura plana (duas dimensões) com três ou mais lados. Os polígonos comuns têm nomes que definem o número de lados (por exemplo, triângulo, quadrilátero, pentágono).

Polígonos regulares

Obs. Estas figuras são regulares pois temos lados e ângulos internos congruentes, ou seja, eles são equiláteros e equiângulo.

Na figura abaixo temos um polígono convexo e outro não convexo.

Agora vamos falar de figuras em 3 dimensões:

Na Geometria Espacial temos Poliedros convexos e côncavos 

*Convexo : quando qualquer segmento de reta ficará inteiramente contido no poliedro.

*Não convexo ou côncavo é quando algum segmento de reta não está inteiramente contido no poliedro.

Agora essa famosa relação serve para todo poliedro convexo:

ou dessa forma:

Aplicando essa relação em alguns exemplos:

Em um poliedro, também podemos relacionar que o número de lados é igual ao dobro do número de arestas, assim:

 N = 2. A

Onde N = número de lados e A = número de arestas.

Ou    de outo modo temos:
                                                                           A =  N/2

Para calcular a soma das medidas dos ângulos internos das faces de um poliedro sabendo somente o número de arestas utilize a relação que segue:

S = 360º . ( V - 2)

Onde:
S = soma dos ângulos internos
V = vértices


Por exemplo:

Dados 8 vértices de um cubo, calcule a soma de seus ângulos internos.

Resposta:
S = 360º . (8 - 2) = 2160º

. 

Poliedros Regulares e irregulares 

*No poliedro regular teremos todas as faces polígonos regulares congruentes entre si e de cada vértice parte o mesmo números de arestas.



*Já no poliedro irregular os polígonos das faces não são congruentes.

 
Note essas três fórmulas para vocês calcularem Face (F), Aresta (A) e Vértice (V) somente para os poliedros convexos regulares: tetraedro regular, cubo, octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular como podem visualizar abaixo:

Veja a tabela dos cinco poliedros convexos regulares e algumas fórmulas para calcular Face (F), Aresta (A) e Vértice (V) de cada um deles tendo n = lados e p = arestas.



Agora a tabela dos cinco poliedros convexos regulares e suas planificações:

Minecraft na geometria de posição

A matemática no desenho técnico: perspectiva, principais vistas em exemplos e exercícios

Quem trabalha com desenho técnico sabe o quanto é importante interpretá-los corretamente usando a matemática, executar representação, ler e interpretar os desenhos em diversas perspectivas e projeções. Essa parte da matemática também é muito utilizado na arquitetura, urbanismo e projetista de peças.






Quando falamos sobre a representação de um objeto que pode ser observado por meio de diferentes vistas.

Vista é a projeção paralela ortogonal através do plano de projeção onde representamos detalhes do objeto de acordo com o lado que está sendo observado. O ponto de partida é determinar qual lado será considerado frente. As principais vistas são:

* frontal: é a vista principal da peça, determina as posições das demais vistas;

*superior

* lateral esquerda

* lateral direita

Na prática, porém as projeções são representadas como na figura abaixo, onde os planos de projeção são rebatidos sobre um mesmo plano.

Quando desenhamos vistas sobre um mesmo plano, eliminamos o desenho dos planos, deixando apenas as linhas que separam os desenhos das vistas.

Uso das Projeções Ortogonais

A aplicação das projeções ortogonais na representação das superfícies que compõem, respectivamente, um cilindro, um paralelepípedo e um prisma de base triangular. As superfícies projetadas no plano vertical estão em vista frontal (V.F.) do técnico em mecânica.

Para que apareça essa terceira dimensão, é necessário fazer uma segunda projeção ortogonal, em que as superfícies projetadas no plano horizontal são obtidas na vista superior (V.S.) do técnico em mecânica (Figura 5).

Ao analisar um dado objeto para projeção nos três planos, formar-se-ão as projeções ortogonais para cada plano 

O rebatimento dos planos de projeção do objeto nas três vistas obtidas em cada plano.

Dependendo do grau de complexidade do objeto, as vistas principais não são suficientes para representar todos os detalhes. Nesse caso, podemos usar até seis vistas.

Exercícios:

1) Nos desenhos a seguir, faça a identificação dos planos que compõem as formas espaciais das peças dadas e analise seus rebatimentos nas vistas correspondentes.

2) Faça as projeções ortogonais em 1º e 3º diedros para os desenhos das peças a seguir.

3) Faça a identificação dos planos que compõem a peça abaixo:

Distancias: de um ponto a uma reta, de um ponto a um plano, entre duas retas, entre uma reta e um plano, entre planos, entre retas reversas

1)  Distância de um ponto a uma reta

A distância entre uma reta e um plano é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano e será obtida traçando uma perpendicular a reta r, sendo o ponto P a intersecção. Indicamos por d (P, r) = d (P, P')

2)  Distância de uma reta e um plano A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano, sendo o ponto P perpendicular a reta r: 3)  Distância entre duas retas paralelas A distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto qualquer de uma delas à outra. 4)  Distância entre uma reta em plano paralelo A distância entre uma reta e um plano à ela é a distância de um ponto perpendicular qualquer da reta ao plano. 5)  Distância entre dois planos paralelos A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto perpendicular qualquer de um deles e o outro plano: 6)  Distância entre duas retas reversas É a distância do menor segmento com extremidades que formam 90º. Podemos perceber que a distância entre as retas r e s s é a medida do segmento AB. Obs: Quando as  forem concorrentes entre si, a distância entre elas é zero, como na segunda figura. Reforçando o conceito: a distância entre retas retas reversas é o segmento que forma com suas extremidades uma perpendicular. Na figura abaixo t á perpendicular com entre as retas reversas r e s e o comprimento do segmento PQ é a distância entre elas.