Exercícios sobre a relação de Euler

1)    O matemático suíço Leonhard Euler descobriu uma importante relação entre o número de faces, vértices e arestas de um poliedro convexo. Esta relação é:

a) F - V = A + 2

b) F + V = A + 2

c) F - V = A – 2

d) F + V = A – 2

e) F + V + A = 2

2)    Entre os poliedros a seguir assinale aquele que não é de Platão.

a)    Ortoedro.

b)    Hexaedro regular.

c)    Octaedro regular.

d)    Dodecaedro regular.

e)    Icosaedro regular.

 3) (FATEC/SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Calcule:

a)    O total de faces desse poliedro descritas no enunciado.

b)    O total de arestas considerando 3.4 + 2.3 +4.5.

c)    O número de vértices desse poliedro usando V + F = 2 + A

4).Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas é 12. Qual é o número de vértices desse poliedro? (Use:V + F = A + 2)

5.)Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Calcule:

a)    Quantidade total de faces pentagonais ( 5 lados).

b)    Quantidade total de faces hexagonais ( 6 lados).

c)    Quantidade total de faces pentagonais e hexagonais.

d)    Se temos 90 arestas, calcule o número de vértices.
(Use: V – A + F = 2)

6) .Temos um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.A partir dele determine:

a)    O número de faces quadrangulares ( 4 lados)

b)    O número de faces triangulares ( 3 lados)

c)    Se o poliedro possui 18 arestas pela relação de Euler  V – A + F = 2 , calcule o número de vértices.

7) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular o número de arestas.( Use: A + 2 = V + F )

8).A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 2520º . Sabendo que ele possui 17 arestas. Calcule:

(Use: S = (V – 2)●360⁰ e V + F = A + 2       )

a)    O número de vértices.

b)    O número de arestas

9) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um:

S= (V – 2).360º

a)    tetraedro (4 vértices)

b)    hexaedro (8 vértices)

c)    octaedro (6 vértices)

d)    dodecaedro (20 vértices)

e) icosaedro (12 vértices)

10) Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?

11) (PUC RS) Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais. O número de arestas e o número de vértices deste poliedro são, respectivamente,

a)     30 e 40

b)    30 e 24

c)     30 e 8

d)    15 e 25

e)     15 e 9

 

12) (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e vértices do poliedro é, respectivamente

a)     34, 10

b)    19, 10

c)     34, 20

d)    12, 10

e)     19, 12

13) (MACK – SP) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares,  4 faces quadrangulares e 5 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é:

b)    12

c)     15

d)    9

e)     13

 

 

14) (ITA – SP) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a

a)     11

b)    32

c)     10

d)    20

e)     22

 

15) (PUC-PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440°, então o numero de arestas desse poliedro é:

a)     12

b)    8

c)     6

d)    20

e)     4

 

 

 

 

 

 

16) (ITA – SP) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é:

a)     13

b)    17

c)     21

d)    24

e)     27

 

17) (CEFET – PR) O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares é:

a)     32

b)    12

c)     20

d)   15

e)     18

 

18) (PUC RS) Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices desse poliedro é:

a)     4

b)    6

c)     8

d)    9

e)     10

 

19) (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo a soma dos ângulos internos de todas as faces será:

a)     3240°

b)    3640°

c)     3840°

d)    4000°

e)     4060°

.

20) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades ( A = V +¨6). Calcule o número de faces.Use:

21) Assinale a alternativa falsa:

a)    Um tetraedro regular possui 4 faces.

b)    Um hexaedro regular possui 12 arestas.

c)    Um octaedro regular possui 8 vértices.

d)    Um dodecaedro regular possui 30 arestas.

e)    Um icosaedro regular possui 20 vértices.

22) A soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1.440⁰. O número de vértices desse poliedro é:

(Use: S = (V – 2)●360⁰ e V + F = A + 2       )

a)    4

b)    6

c)    8

d)    12

e)    20

Prismas, Paralelepípedos e Cubo

Um prisma é caracterizado como um sólido que possui duas bases idênticas e paralelas. Ele é classificado de acordo com o formato de sua base e de acordo com o ângulo que as laterais formam com as bases. Mas independente do tipo do prisma que estamos lidando, é possível realizar sua planificação, isto é, reconstruir um sólido como uma figura plana. Podemos imaginar esse processo semelhante ao ato de abrir uma caixa ou mesmo como o processo de embalar uma caixa para presente;

1) Como  encontrar a área total de um prisma?

Devemos calculá-la em etapas. Primeiramente devemos encontrar o valor da área da base. Para isso, basta um só calculo, pois as bases são idênticas. A área da base deve ser multiplicada por dois, pois sempre haverá duas bases em um prisma. Feito isso, devemos encontrar a área lateral, verificando as medidas de um retângulo da lateral para calcular sua área. Então, multiplicamo-la pela quantidade de retângulos que compõem a lateral. Dessa forma, a área de um prisma será dada por:

A_t = A_l + 2.A_b

A_t é a área total do prisma;
A_l é a área lateral;
A_b é a área da base.

O volume do prisma é calculado pela multiplicação entre a área da base e a altura.

O volume determina a capacidade que possui uma figura geométrica espacial. Vale lembrar que, geralmente, ele é dado em cm3(centímetros cúbicos) ou m3 (metros cúbicos).

2) Como Calcular o volume do prisma?

Para calcular o volume do prisma utiliza-se a seguinte expressão:

V = Ab.h

Onde,

Ab: área da base
h: altura

Obs: Não se esqueça que para calcular a área da base é importante saber o formato que a figura apresenta. Por exemplo, num prisma quadrangular a área da base será um quadrado. Já num prisma triangular, a base é formada por um triângulo.

1) Em um prisma regular triangular, cada aresta lateral mede 10 cm e cada aresta da base mede 6 cm. Calcular desse Prisma:

a) a área de uma face lateral.
Af = (6.10) cm²
Af = 60 cm²

b) a área de uma base.

Cada base é um triângulo equilátero de lado 6 cm. Lembrando que a altura h de um triângulo equilátero de lado a é dada por 

Portanto, a área B de uma base é:

c) a área lateral.
A área lateral AL é a soma das áreas das três fases laterais, isto é:

AL = 3 . Af
AL = 3 . 60 cm²
AL = 180 cm²


d) a área total.
A área total At é a soma da área lateral AL com duas vezes a área B de uma base, isto é:

At = AL + 2B
At = (180 + 18 √3) cm²

2) Um prisma reto de altura 10 cm tem como polígonos das bases triângulos retângulos de catetos 3 cm e 4 cm. Calcule a área total desse prima.

Resolução: 

3)Em uma piscina regular hexagonal cada aresta lateral mede 8 dm e cada aresta da base mede 4 dm. Calcule, desses prisma:

a) a área de cada face lateral;
    Af = b . h
    Af = 4 .8
    Af = 32 dm²

b) a área de uma base;
    Ab = (6.10 √3) / 4
    Ab = 24 √3 dm²

c) a área lateral;
   AL = 6.4.8
   AL = 192 dm²

d) a área total;
    At = 2.24 √3 +192
    At = 48 √3 + 192 dm²

 

Diagonais do Paralelepípedo 

1) As dimensões de um paralelepípedo reto-retângular são 20 cm, 12 cm e 9 cm.Calcular a medida de uma diagonal desse paralelepípedo.

Resolução:

D = √a² + b² + c²
D = √20² + 12² + 9²
D = √400 + 144 + 81
D = √625
D = 25 cm²



2) O comprimento EA, a largura EH e a altura EF do paralelepípedo reto-retângulo representado ao lado são 12 cm, 3 cm e 4cm, respectivamente, calcule:

a) A medida de uma diagonal da face EFGH;

 D = √3²+4²
 D = √9 + 16
 D = √25
 D = 5 cm²


b) A medida de uma diagonal do paralelepípedo;

D = √3² + 4² + 12²
D = √9 + 16 + 144
D = √169
D = 13 cm²



c) a área total do paralelepípedo;
 A1 = 12 . 3          A2 = 4.3        At = A1 + A2
 A1 = 36               A2 = 12         At = 144 + 24
 A1 = 4.36            A2 = 2.12       At = 168 cm²
 A1 = 144             A2 = 24



d) o volume do paralelepípedo;
 V = b.h.l
 V = 12.3.4
 V = 169 cm³


Cubo 

1) A área total de um cubo é 54 cm². Calcule a medida da diagonal desse cubo.

Resolução:

At = 6a²              d = a√3
54 = 6a²              d= 3√3cm²
54 /6 = a²
a = √9
a =3 cm 




2) A diagonal de um mede √75 cm .Calcule a área total desse cubo:

Resolução:


d = √75
d = L√3
√75 = L√3
5√3 = L√3
L = (5√3) / √3
L = 5 cm 



3) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60 cm,então o volume desse cubo, em centímentros cúbicos, é:

a) 125 cm³
b) 100 cm³
c) 75 cm³
d) 60 cm³
e) 25 cm³


Resolução:

12 arestas

60 cm / 12 = 5

V = 5³ = 125 cm³

Letra a) 125 cm³

4)(UFSCar SP/2016) Uma caixinha de papelão tem a forma de um prisma reto de base quadrada, com 6 cm de lado e altura h, conforme mostra a figura.

Sabendo que o volume dessa caixinha é 288 cm³, pode-se concluir corretamente que o valor da sua área lateral, em centímetros quadrados, é

a) 192.

b) 170.

c) 154.

d) 128.

e) 96.

Solução:

A estratégia para obter a área lateral desse prisma é calcular primeiramente a medida de sua altura. Como foi dada a medida do volume, podemos usar a fórmula para o cálculo do volume de um prisma para descobrir essa medida que falta.

Para tanto, o volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. Sendo assim, a fórmula é:

V = Ab·h

A base desse prisma é um quadrado, portanto, sua área é dada pelo quadrado da medida do lado. Assim, Ab = 6² = 36. Substituindo esse valor e a área da base na expressão acima, teremos:

288 = 36·h

36·h = 288

h = 288
     36

h = 8 cm

A área lateral é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como são todas congruentes, basta calcular uma e multiplicar o resultado por 4:

A_l = 4·6·8 = 4·48 = 192 cm²

Gabarito: letra A.

Poliedros(Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler)

Leonhard Paul Euler nasceu na Suíça, tornou-se físico e matemático e ficou conhecido pelas descobertas nos campos dos cálculos e teorias de gráficos.

01.(FAAP/SP)Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Solução:

De acordo com o enunciado, temos:

A = V + 6

Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

V + F = 2 + A

V + F = 2 + V + 6  ► F = 8

02.(FATEC/SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:

Do enunciado, sabemos que

Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:

3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12

2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6

4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20

Somando: 12 + 6 + 20 = 38

Atenção:

 As faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:

A = 38 ÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A

V + 9 = 2 + 19

V = 21 - 9  ► V =  12.

03.Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas é 12. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:

Usando a relação de Euler, temos:

V + F = A + 2

V + 8 = 12 + 2

V = 6

04.Um poliedro convexo possui 2 faces triangulares e 3 faces quadrangulares.Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro.

Solução:

Número de arestas 18 arestas

2 faces triangulares ►2 x 3 = 6

                              

3 faces quadrangulares ►3 x 4 = 12

Uma aresta é comum a 2 faces, então

2A = 18 ► A = 9.

Número de vértices:

V + F = A + 2 F = 2 + 3

V + 5 = 9 + 2 F = 5

V = 11 – 5   ►  V = 6

05.Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

Solução:

Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:

12 ● 5  = 60

O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 

20 . 6  = 120, 

logo: 

 F = 12 + 20 = 32

Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:

2A = 60 + 120 ► 2A = 180(÷2) ► A = 90

Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,

V – A + F = 2, portanto:

V – 90 + 32 =2

V = 2 + 90 – 32  ► V = 60

06.Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.

Solução:

Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6 ● 4 = 24

O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 ● 3 = 12

Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é:

  A = (24+12)/2 = 18 ►A = 36/2 ► A = 18

Temos então

 F  = 10, A = 18.

Aplicando a relação de Euler:

V – A + F = 2

V – 18 + 10 = 2 ► V = 10

07.Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares.

Solução:

6 faces quadrangulares ► 6 ● 4 = 24 arestas

4 faces triangulares  ►4 ●3 = 12 arestas

Número total de arestas = 36

Como cada aresta foi contada duas vezes, temos:

2A = 36(÷2)  ►  A = 18

Aplicando a relação de Euler, temos:

A + 2 = V + F ► 18 + 2 = V + 10 ►20 – 10 =  V ► 10 = V

08.Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular o número de arestas.

 Solução:

A + 2 = V + F 

A + 2 = 12 + 8  ► A + 2 = 20 ►A = 18

09.Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais . Quantas faces tem de cada espécie , se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?

Solução:

►S = 360●(V-2)

64●90 = 360●(V-2) (÷90)

64 = 4(V-2) (÷4) ►16 = V - 2

 16 + 2= V \ 18 = V►V + F = A + 2

18 + F = 28 + 2 ►F = 30 – 18 ► F = 12

Sabemos que:

Número total de faces = 2●Arestas

Sendo x  o número de faces triangulares, temos:

3.x + 7(12-x) = 2. 28   ► 3x + 84 - 7x = 56

4x = 28  ►  x = 7

Portanto o poliedro possui 7 faces triangulares e 5 faces heptagonais.

10.A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 2520º . Dê o número de faces desse poliedro , sabendo que ele possui 17 arestas .

Solução:

►S = (V – 2)●360⁰

2520⁰ = (V – 2)●360⁰ (÷ 360⁰)

V – 2 = 7 ►V = 7 + 2 ► V = 9

►V + F = A + 2

9 + F = 17 + 2

F = 19 – 9 ► F = 101

11.Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais .

Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 retos ?

A soma dos ângulos das faces é dada pela fórmula:

S = (V - 2)●4r

Então:

(V - 2)●4r = 32r  ► (V - 2) = 32r/4r

V - 2 = 8   ►  V = 8 + 2 = 10

Usando a formula de Euler( V - A + F = 2), temos:

10 -15 + F =2  ► F = 2 + 5 = 7

Chamando de x o número de faces quadrangulares e y o número de faces pentagonais, temos:

x + y = 7 ► x = 7 – y

Sabemos que:

Número total de faces = 2●Arestas

Logo, vem:

4x + 5y = 2●15

4(7 – y) + 5y = 30 ►28 – 4y + 5y = 30

y = 30 – 28 ►  y = 2

Logo, x = 5

Portanto, o poliedro possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais

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