Prismas, Paralelepípedos e Cubo

Um prisma é caracterizado como um sólido que possui duas bases idênticas e paralelas. Ele é classificado de acordo com o formato de sua base e de acordo com o ângulo que as laterais formam com as bases. Mas independente do tipo do prisma que estamos lidando, é possível realizar sua planificação, isto é, reconstruir um sólido como uma figura plana. Podemos imaginar esse processo semelhante ao ato de abrir uma caixa ou mesmo como o processo de embalar uma caixa para presente;

1) Como  encontrar a área total de um prisma?

Devemos calculá-la em etapas. Primeiramente devemos encontrar o valor da área da base. Para isso, basta um só calculo, pois as bases são idênticas. A área da base deve ser multiplicada por dois, pois sempre haverá duas bases em um prisma. Feito isso, devemos encontrar a área lateral, verificando as medidas de um retângulo da lateral para calcular sua área. Então, multiplicamo-la pela quantidade de retângulos que compõem a lateral. Dessa forma, a área de um prisma será dada por:

A_t = A_l + 2.A_b

A_t é a área total do prisma;
A_l é a área lateral;
A_b é a área da base.

O volume do prisma é calculado pela multiplicação entre a área da base e a altura.

O volume determina a capacidade que possui uma figura geométrica espacial. Vale lembrar que, geralmente, ele é dado em cm3(centímetros cúbicos) ou m3 (metros cúbicos).

2) Como Calcular o volume do prisma?

Para calcular o volume do prisma utiliza-se a seguinte expressão:

V = Ab.h

Onde,

Ab: área da base
h: altura

Obs: Não se esqueça que para calcular a área da base é importante saber o formato que a figura apresenta. Por exemplo, num prisma quadrangular a área da base será um quadrado. Já num prisma triangular, a base é formada por um triângulo.

1) Em um prisma regular triangular, cada aresta lateral mede 10 cm e cada aresta da base mede 6 cm. Calcular desse Prisma:

a) a área de uma face lateral.
Af = (6.10) cm²
Af = 60 cm²

b) a área de uma base.

Cada base é um triângulo equilátero de lado 6 cm. Lembrando que a altura h de um triângulo equilátero de lado a é dada por 

Portanto, a área B de uma base é:

c) a área lateral.
A área lateral AL é a soma das áreas das três fases laterais, isto é:

AL = 3 . Af
AL = 3 . 60 cm²
AL = 180 cm²


d) a área total.
A área total At é a soma da área lateral AL com duas vezes a área B de uma base, isto é:

At = AL + 2B
At = (180 + 18 √3) cm²

2) Um prisma reto de altura 10 cm tem como polígonos das bases triângulos retângulos de catetos 3 cm e 4 cm. Calcule a área total desse prima.

Resolução: 

3)Em uma piscina regular hexagonal cada aresta lateral mede 8 dm e cada aresta da base mede 4 dm. Calcule, desses prisma:

a) a área de cada face lateral;
    Af = b . h
    Af = 4 .8
    Af = 32 dm²

b) a área de uma base;
    Ab = (6.10 √3) / 4
    Ab = 24 √3 dm²

c) a área lateral;
   AL = 6.4.8
   AL = 192 dm²

d) a área total;
    At = 2.24 √3 +192
    At = 48 √3 + 192 dm²

 

Diagonais do Paralelepípedo 

1) As dimensões de um paralelepípedo reto-retângular são 20 cm, 12 cm e 9 cm.Calcular a medida de uma diagonal desse paralelepípedo.

Resolução:

D = √a² + b² + c²
D = √20² + 12² + 9²
D = √400 + 144 + 81
D = √625
D = 25 cm²



2) O comprimento EA, a largura EH e a altura EF do paralelepípedo reto-retângulo representado ao lado são 12 cm, 3 cm e 4cm, respectivamente, calcule:

a) A medida de uma diagonal da face EFGH;

 D = √3²+4²
 D = √9 + 16
 D = √25
 D = 5 cm²


b) A medida de uma diagonal do paralelepípedo;

D = √3² + 4² + 12²
D = √9 + 16 + 144
D = √169
D = 13 cm²



c) a área total do paralelepípedo;
 A1 = 12 . 3          A2 = 4.3        At = A1 + A2
 A1 = 36               A2 = 12         At = 144 + 24
 A1 = 4.36            A2 = 2.12       At = 168 cm²
 A1 = 144             A2 = 24



d) o volume do paralelepípedo;
 V = b.h.l
 V = 12.3.4
 V = 169 cm³


Cubo 

1) A área total de um cubo é 54 cm². Calcule a medida da diagonal desse cubo.

Resolução:

At = 6a²              d = a√3
54 = 6a²              d= 3√3cm²
54 /6 = a²
a = √9
a =3 cm 




2) A diagonal de um mede √75 cm .Calcule a área total desse cubo:

Resolução:


d = √75
d = L√3
√75 = L√3
5√3 = L√3
L = (5√3) / √3
L = 5 cm 



3) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60 cm,então o volume desse cubo, em centímentros cúbicos, é:

a) 125 cm³
b) 100 cm³
c) 75 cm³
d) 60 cm³
e) 25 cm³


Resolução:

12 arestas

60 cm / 12 = 5

V = 5³ = 125 cm³

Letra a) 125 cm³

4)(UFSCar SP/2016) Uma caixinha de papelão tem a forma de um prisma reto de base quadrada, com 6 cm de lado e altura h, conforme mostra a figura.

Sabendo que o volume dessa caixinha é 288 cm³, pode-se concluir corretamente que o valor da sua área lateral, em centímetros quadrados, é

a) 192.

b) 170.

c) 154.

d) 128.

e) 96.

Solução:

A estratégia para obter a área lateral desse prisma é calcular primeiramente a medida de sua altura. Como foi dada a medida do volume, podemos usar a fórmula para o cálculo do volume de um prisma para descobrir essa medida que falta.

Para tanto, o volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. Sendo assim, a fórmula é:

V = Ab·h

A base desse prisma é um quadrado, portanto, sua área é dada pelo quadrado da medida do lado. Assim, Ab = 6² = 36. Substituindo esse valor e a área da base na expressão acima, teremos:

288 = 36·h

36·h = 288

h = 288
     36

h = 8 cm

A área lateral é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como são todas congruentes, basta calcular uma e multiplicar o resultado por 4:

A_l = 4·6·8 = 4·48 = 192 cm²

Gabarito: letra A.