Poliedros(Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler)

Leonhard Paul Euler nasceu na Suíça, tornou-se físico e matemático e ficou conhecido pelas descobertas nos campos dos cálculos e teorias de gráficos.

01.(FAAP/SP)Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Solução:

De acordo com o enunciado, temos:

A = V + 6

Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

V + F = 2 + A

V + F = 2 + V + 6  ► F = 8

02.(FATEC/SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:

Do enunciado, sabemos que

Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:

3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12

2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6

4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20

Somando: 12 + 6 + 20 = 38

Atenção:

 As faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:

A = 38 ÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A

V + 9 = 2 + 19

V = 21 - 9  ► V =  12.

03.Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas é 12. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:

Usando a relação de Euler, temos:

V + F = A + 2

V + 8 = 12 + 2

V = 6

04.Um poliedro convexo possui 2 faces triangulares e 3 faces quadrangulares.Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro.

Solução:

Número de arestas 18 arestas

2 faces triangulares ►2 x 3 = 6

                              

3 faces quadrangulares ►3 x 4 = 12

Uma aresta é comum a 2 faces, então

2A = 18 ► A = 9.

Número de vértices:

V + F = A + 2 F = 2 + 3

V + 5 = 9 + 2 F = 5

V = 11 – 5   ►  V = 6

05.Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

Solução:

Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:

12 ● 5  = 60

O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 

20 . 6  = 120, 

logo: 

 F = 12 + 20 = 32

Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:

2A = 60 + 120 ► 2A = 180(÷2) ► A = 90

Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,

V – A + F = 2, portanto:

V – 90 + 32 =2

V = 2 + 90 – 32  ► V = 60

06.Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.

Solução:

Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6 ● 4 = 24

O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 ● 3 = 12

Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é:

  A = (24+12)/2 = 18 ►A = 36/2 ► A = 18

Temos então

 F  = 10, A = 18.

Aplicando a relação de Euler:

V – A + F = 2

V – 18 + 10 = 2 ► V = 10

07.Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares.

Solução:

6 faces quadrangulares ► 6 ● 4 = 24 arestas

4 faces triangulares  ►4 ●3 = 12 arestas

Número total de arestas = 36

Como cada aresta foi contada duas vezes, temos:

2A = 36(÷2)  ►  A = 18

Aplicando a relação de Euler, temos:

A + 2 = V + F ► 18 + 2 = V + 10 ►20 – 10 =  V ► 10 = V

08.Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular o número de arestas.

 Solução:

A + 2 = V + F 

A + 2 = 12 + 8  ► A + 2 = 20 ►A = 18

09.Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais . Quantas faces tem de cada espécie , se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?

Solução:

►S = 360●(V-2)

64●90 = 360●(V-2) (÷90)

64 = 4(V-2) (÷4) ►16 = V - 2

 16 + 2= V \ 18 = V►V + F = A + 2

18 + F = 28 + 2 ►F = 30 – 18 ► F = 12

Sabemos que:

Número total de faces = 2●Arestas

Sendo x  o número de faces triangulares, temos:

3.x + 7(12-x) = 2. 28   ► 3x + 84 - 7x = 56

4x = 28  ►  x = 7

Portanto o poliedro possui 7 faces triangulares e 5 faces heptagonais.

10.A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 2520º . Dê o número de faces desse poliedro , sabendo que ele possui 17 arestas .

Solução:

►S = (V – 2)●360⁰

2520⁰ = (V – 2)●360⁰ (÷ 360⁰)

V – 2 = 7 ►V = 7 + 2 ► V = 9

►V + F = A + 2

9 + F = 17 + 2

F = 19 – 9 ► F = 101

11.Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais .

Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 retos ?

A soma dos ângulos das faces é dada pela fórmula:

S = (V - 2)●4r

Então:

(V - 2)●4r = 32r  ► (V - 2) = 32r/4r

V - 2 = 8   ►  V = 8 + 2 = 10

Usando a formula de Euler( V - A + F = 2), temos:

10 -15 + F =2  ► F = 2 + 5 = 7

Chamando de x o número de faces quadrangulares e y o número de faces pentagonais, temos:

x + y = 7 ► x = 7 – y

Sabemos que:

Número total de faces = 2●Arestas

Logo, vem:

4x + 5y = 2●15

4(7 – y) + 5y = 30 ►28 – 4y + 5y = 30

y = 30 – 28 ►  y = 2

Logo, x = 5

Portanto, o poliedro possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais

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