Estudo dos sinais da função de 1° grau: exercícios e teoria

Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
    Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:

  1º) a > 0 (a função é crescente)

         y > 0       ax + b > 0         x > 

         y < 0      ax + b < 0         x < 

    Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente)

          y > 0   ax + b > 0            x < 

         y < 0   ax + b < 0        x > 

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.

Exercícios:

1)      Construa os gráficos das seguintes funções e coloque o sinal de + na parte positiva da função e o sinal de – na parte negativa da função:

a)      f (x) = 3x + 2

b)      f (x) = x – 10

c)      f (x) = -2x – 3

d)     f (x) = 3 – x

2)      Faça o estudo do sinal das funções do exercício 1.

3)      Estude o sinal pelo método prático das seguintes funções do 1° grau:

a)      f (x) = 2x + 3

b)      f (x) = - 3x + 2

c)      f (x) = - 5x

d)        f (x) = -3x + 15

e)       f (x) = 2x + 8

f)      8x – 3y + 16 = 0

g)      x + 4y = - 3

h)        2x – 3y = - 2

i)        15y = 12x

(Material de referência www.somatematica.com.br)

Função de 1º grau: coeficiente linear, gráfico e raiz em exercícios resolvidos, exemplos com teoria

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc.A função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). 

Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1
x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

1.Coeficiente Linear de uma Função do 1º Grau

As funções do tipo f(x) = y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0, são consideradas do 1º grau. Ao serem representadas no plano cartesiano, constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a função é chamada de constante.

Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de seu gráfico, e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado na função pela letra b, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y).

Nas funções a seguir, observe o valor numérico do coeficiente linear e o gráfico representativo da função:

y = x + 1
b = 1

y = –x – 1
b = –1

 y = 2x + 4
b = 4

 

y = 2x – 4
b = – 4

2. Gráfico de Função do 1º grau

Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau é formada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.

Quando a > 0

Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a função: f(x) = 2x – 1 ou
y = 2x - 1, onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

  x           y
- 2        - 5 
- 1        - 3
0          - 1 
1 / 2       0
 1           1 

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y também aumenta, então dizemos que quando a > 0 a função é crescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas, que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.



 

Quando a < 0 

Isso indica que a será negativo. Por exemplo, dada a função f(x) = - x + 1 ou
y = - x + 1, onde a = -1 e b = 1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

  x         y
-2        3
-1        2
0         1
1         0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui, então dizemos que quando a < 0 a função é decrescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.

Características de um gráfico de uma função do 1º grau.

• Com a > 0 o gráfico será crescente.

• Com a < 0 o gráfico será decrescente.

• O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo (menor que 90°) quando a > 0.

• O ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior que 90º) quando a < 0.

• Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas dois valores pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos.

• Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função.

• Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor de b.

3. Raiz de uma Função do 1º Grau

As funções do tipo y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b assumem valores reais e a ≠ 0 são consideradas funções do 1º grau. Esse modelo de função possui como representação geométrica a figura de uma reta, sendo a posição dessa reta dependente do valor do coeficiente a. Observe:

Função crescente: a > 0.

Função decrescente: a < 0.

Raiz da função

Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:

Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja:

y = ax + b
y = 0
ax + b = 0
ax = –b
x = –b/a
Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 1º grau, basta utilizar a expressão x = x = –b/a.

Exemplo 1

Calcule a raiz da função y = 2x – 9, esse é o momento em que a reta da função intersecta o eixo x.

Resolução:
x = –b/a
x = –(–9)/2
x = 9/2
x = 4,5

Exemplo 2

Dada a função f(x) = –6x + 12, determine a raiz dessa função.

Resolução
x = –b/a
x = –12 / –6
x = 2

Exercícios:

1) Determine os zeros das funções a seguir:

a) y = 5x + 2

b) y = – 2x

c) f(x) =  x + 4
               2

2)Classifique cada uma das funções seguintes em crescente ou decrescente:

a) y = 4x + 6

b) f(x) = – x + 10

c) y = (x + 2)² – (x – 1)²

3((UFPI) A função real de variável real, definida por f (x) = (3 – 2a).x + 2, é crescente quando:

a) a > 0

b) a < 3/2

c) a = 3/2

d) a > 3/2

e) a < 3

4)(FGV) O gráfico da função f (x) = mx + n passa pelos pontos (– 1, 3) e (2, 7). O valor de m é:

a) 5/3

b) 4/3

c) 1

d) 3/4

e) 3/5

Resolução:

Resposta Questão 1

a) y = 5x + 2

Primeiramente, façamos y = 0, então:

5x + 2 = 0, o número 2 mudará de lado e o sinal também será mudado.
5x = – 2, o número 5 mudará de lado e realizará uma divisão.
x = – 2
        5

O zero da função y = 5x + 2 é o valor: x = – 2
                                                           5

b) y = – 2x

Façamos y = 0, então:

– 2x = 0, o número – 2 mudará de lado e realizará uma divisão. Mas como o número zero dividido por qualquer número resulta em zero, x = 0.

O zero da função y = – 2x é x = 0.

c) f(x) =  x + 4
              2

Façamos f(x) = 0, então:

x + 4 = 0, o número 4 mudará de lado e o sinal também será mudado.
2

x = - 4, o número 2 mudará de lado e realizará uma multiplicação.
2

x = (– 4) . 2
x = – 8

Portanto, o zero da função f(x) = x + 4 é dado por x = – 8.
                                            2

Resposta Questão 2

• Em uma função do tipo y = ax + b, o coeficiente a de x indica se a função é crescente ou decrescente.

  a) y = 4x + 6

  Nessa função, a = 4 > 0, portanto, y é uma função crescente.

  b) f(x) = – x + 10

  Como a = – 1 < 0, f(x) é uma função decrescente.

  c) y = (x + 2)² – (x – 1)²

  Nesse caso precisamos desenvolver os parênteses através dos produtos notáveis.

  x² + 4x + 4 – (x – 1)²
  x² + 4x + 4 – (x² – 2x + 1)
  x² + 4x + 4 – x² + 2x – 1
  6x + 3
  y = 6x + 3. Como a = 6 > 0, y é uma função crescente.

  Resposta Questão 3

  • Para que a função seja crescente, é necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo:

    3 – 2a > 0
    – 2a > 0 – 3
    (– 1). (– 2a) > (– 3). (– 1)
    2a < 3
    a < 3
          2

    Portanto, a alternativa correta é a letra b.

    Resposta Questão 4

    O primeiro ponto que é dado é o (– 1, 3), em que o valor de x é – 1 e o valor de f(x) é 3. Substituindo esses valores na função, temos:

    f (x) = mx + n
    3 = m.(– 1) + n
    n = 3 + m

    Vamos também substituir o segundo ponto (2, 7) na função, sendo que x vale 2 e f(x) vale 7:

    f (x) = mx + n
    7 = m.2 + n
    n = 7 – 2m

    Nas duas substituições feitas, encontramos dois valores para n. Se igualarmos essas duas equações, teremos:

    3 + m = 7 – 2m
    m + 2m = 7 – 3
    3m = 4
    m = 4
           3

    A alternativa correta é a letra b.

    
    

  
  

  
  

Como construir a bissetriz de um ângulo?

 Se construirmos um ângulo qualquer e depois traçarmos uma semi-reta de mesma origem e interior a esse ângulo, veremos que o tal ângulo ficará dividido em duas partes.

As medidas dos dois ângulos, formados pela semi-reta que construímos no interior do ângulo original com cada lado dele, vão depender da posição em que colocamos a dita semi-reta.

Haverá uma única posição em que as medidas dos dois ângulos serão iguais. É à semi-reta nessa posição que chamamos bissetriz de um ângulo.

DEFINIÇÃO DE BISSETRIZ

Podemos então definir bissetriz como:

Bissetriz é a semi-reta de mesma origem e interior a um determinado ângulo que o divide em dois ângulos congruentes, ou seja, em dois ângulos de medidas iguais.

CONSTRUÇÃO DE UMA BISSETRIZ

Vamos agora, ver como é que se traça uma bissetriz. Necessitaremos de papel, régua, lápis e compasso.

1) Primeiramente, com a régua e o lápis, construímos, no papel, um ângulo qualquer. Partindo de um ponto O, que será o nosso vértice, traçamos uma semi-reta OA e depois uma semi-reta OB formando uma abertura.

2) Pegamos, agora, o compasso. Com a ponta seca no ponto O, e com uma abertura qualquer, traçamos um arco de circunferência que intersecte os dois lados do ângulo, definindo os pontos C e D.

3) Ainda com o compasso, e com uma abertura um pouco maior do que o arco CD, colocamos a ponta seca no ponto C e traçamos um arco no interior do ângulo. Com a mesma abertura, colocamos a ponta seca no ponto D e traçamos outro arco de modo que os dois arcos traçados se intersectem. Definimos, assim, o ponto E.

4) Pegamos, então, o lápis e a régua e traçamos uma semi-reta com início em O e que passe pelo ponto E.

5) A esta semi-reta OE, que divide o ângulo AÔB em duas partes iguais, ou seja, em dois ângulos congruentes (mesma medida), chamamos bissetriz.

6) Essa construção é válida tanto para ângulos agudos como para ângulos obtusos. 





(Material de referência http://www.sofazquemsabe.com)

Construindo ângulos com transferidor

1.     Para desenhar um ângulo de 75^o , primeiro desenhe um segmento de reta que é um lado do ângulo. Marque um ponto nesta linha para representar o vértice.

Coloque a marca do centro do transferidor no ponto que você quer o vértice. Faça uma pequena marca de lápis no caderno ao lado do ponto do transferidor que identifique o ângulo de 75^o .

Coloque o transferidor ao lado e ponha uma borda alinhada com o vértice e com a marca de lápis. Trace um segmento de reta tão longa quanto você precisar. Os dois segmentos de reta que desenhamos formam os lados de um ângulo de 75^o . Ver passos na figura seguinte.

2.     Agora desenhe ângulos com as seguinte medidas:

30^o , 45^o , 90^o, e 135^o .

Definindo e construindo uma circunferência

Observe a figura abaixo e perceba que todos os segmentos de reta têm a mesma medida, 3 cm.

Portanto, os pontos A, B, C, D, E e F distam 3 cm do ponto O.

Se considerarmos todos os pontos, mas todos mesmo, que distam 3cm de O, teremos uma CIRCUNFERÊNCIA.

O ponto O é o CENTRO da circunferência. A distância de 3 cm, do ponto O até o ponto genérico P, é chamada de RAIO da circunferência.

Indicamos essa circunferência assim: C(O, 3 cm). Leia-se: circunferência de centro O eraio 3 cm.

É simples traçar essa circunferência com um compasso. Observe:

Construção da circunferência de raio 3cm.

Basta tomar o compasso com uma abertura constante de 3 cm e fincando a ponta seca no ponto fixo O, girar o compasso e traçar no papel a circunferência de centro O e raio 3 cm.

Dessa maneira, podemos generalizar a definição de circunferência:

Circunferência é um conjunto de pontos de um plano que estão a uma dada distância constante de um determinado ponto fixo do plano.

O ponto fixo é o centro. A distância constante é o raio.

(Material de referência www.sofazquemsabe.com)

A circunferência: Raio, Diâmetro, corda e arco

A circunferência: Raio, Diâmetro, corda e arco

A circunferência é uma figura formada pela união de infinitos pontos que estão localizados à mesma distância de seu centro. Observe:

Na circunferência, temos o raio e o diâmetro. O raio é a medida do centro até à circunferência, e o diâmetro é a distância entre um lado e o outro da circunferência, passando pelo ponto central.

Raio

Diâmetro

Em relação ao raio e ao diâmetro, temos que em qualquer circunferência o diâmetro possui o dobro do valor do raio. 

A medida do contorno da circunferência corresponde ao seu próprio comprimento (da circunferência). E quanto maior o raio, maior a medida do seu comprimento.

Descobrindo e calculando o valor de π (PI) 

Em uma circunferência, se dividirmos o seu comprimento pela medida do seu diâmetro, calculamos um número de valor aproximado: 3,14159265, conhecido como π (PI). Essa divisão é válida para todas as figuras de medidas circulares.

Comprimento

Diâmetro

(Material de referência http://www.escolakids.com)