Produtos Notáveis : exercícios com gabarito e teoria

Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

Exemplos :

1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²


Exercícios

1) Calcule

a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)
b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²)
h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)
i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²)
j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²)
l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²)
m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²)
n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25)
o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²)
p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²)
q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1)
r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9]
s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²]
t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²]
u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4)
v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4)
x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4]

QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²

2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²

Exercícios

2) Calcule

a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)
b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)
c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)
e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)
f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)
h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)
i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1)
j) (x² - 1)² =  (R: x⁴ - 2x² + 1)                        
l) (9x² - 1)² = (R:  81x⁴- 18x² + 1)
m) (x³ - 2)² = (R:  x⁶ - 4x³ + 4)
n)  (x – 5y³)² = (R :x² - 10xy³ +25x⁶ )
o) (1 - mx)² = (R: 1 -2mx +m²x²)
p) (3x + 5)² = ( R :9x² + 30 x + 25)

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS




conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²

EXERCÍCIOS

3) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²)
b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : y² - 49)
c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 )
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16)
g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² )
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² )
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² )
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) = (R: 1 - 49x⁴)
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) = ( R: 9x² - 16)
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) = (R: 9x⁴ - y⁴)
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) = ( R : x² - 1/4)
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) = ( R: x² - 4/6)
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) = (R: x²/16 - 4/9)

4) Desenvolva os seguintes produtos notáveis abaixo:

a) (2a+3)² = (R: 4a² + 12a + 9)

b) (2 + 9x)² = ( R: 4 + 36x + 81x² )

c) (6x - y)² = (R: 36 x² - 12xy + y²)

d) (a - 2b)² = (R: a² - 4ab+ 4b²)

e) (7a +1) (7a - 1) = (R: 49 a² -1)

f) (10a - bc) (10a + bc) = (R:100a² - b²c²)

g) (x² + 2a)² = (R: x⁴ + 4x²a + 4a²)

h) (x - 5) (x + 5) = (R: x² - 25)

i) (9y + 4 ) (9y - 4) = (R:81y² -16)

j) (m - n)² = (R: m² - 2mn + n²)

5) Sabendo que x² + y² = 153 e que xy = 36, calcule o valor de (x+y)².

(R: 235)

6) Qual o valor numérico da expressão (a - 2b)², sabendo-se que a² + 4b² = 30 e ab = 5. 

(R: 10)

7) Simplifique as expressões:

a) (x+y)²–x²-y²

(x+y)²–x²-y²  =  x²+2xy+y²–x²-y²   =  2xy

b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)

(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)  =  x²+(2+(-7))x+2.(-7) + x²+(-5+3)x+3.(-5)  = 

x²-5x-14+ x²-2x-15  =  2x²-7x-29

c) (2x-y)²-4x(x-y)

(2x-y)²-4x(x-y)  =  (2x)²-2.2x.y+y²-4x²+4xy  =  4x²-4xy+y²-4x²+4xy =  y²

8) Desenvolva:

a) (3x+y)²

(3x+y)² = (3x)²+2.3x.y+y² = 9x²+6xy+y²

b) ((1/2)+x²)²

((1/2)+x²)² = (1/2)²+2.(1/2).x²+(x²)² = (1/4) +x²+x⁴

c) ((2x/3)+4y³)²

((2x/3)+4y³)² = (2x/3)²-2.(2x/3).4y³+(4y³)²= (4/9)x²-(16/3)xy³+16y⁶

d) (2x+3y)³

(2x+3y)³ = (2x)³+3.(2x)².3y+3.2x.(3y)²+(3y)³ = 8x³+36x²y+54xy²+27y³

e) (x⁴+(1/x²))³

(x⁴+(1/x²))³ = (x⁴)³+3.(x⁴)².(1/x²)+3.x⁴.(1/x²)²+(1/x²)³ = x¹²+3x⁶+3+(1/x⁶)

f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)

(2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)²-(4y/5)² = (4/9)x²-(16/25)y² 

9) Se  x - y = 7 e xy = 60, então o valor da expressão x² + y² é:

a) 53

b) 109

c) 169

d) 420

Solução:

Do problema, temos a seguinte equação x - y = 7, a princípio não está muito claro o valor de x² + y², mas vamos traçar uma estratégia para resolução da questão:

Na equação x - y = 7, vamos elevar os dois membros ao quadrado, ficando assim:

(x - y)² = 7², desenvolvendo temos:

x² - 2xy + y² = 49, veja que já apareceram o x² e y², arrumando 

x² + y² = 49 + 2xy, mas xy = 60 e daí

x² + y² = 49 + 2.60, resolvendo:

x² + y² = 49 + 120, logo x² + y² = 169.

Utilizamos a estratégia de elevar os dois membros da equação ao quadrado - podemos fazer isto, desde que façamos em ambos os membros - e logo apareceu x² + y².

10)A expressão (x - y)² - (x + y)² é equivalente a:

a) 0

b) 2y²

c) -2y³

d) -4xy

Solução:

Primeiro vamos desenvolver os binômios separadamente:

(x - y)² - (x + y)² 

(x-y)² = x² - 2xy + y² e (x + y)² = x² + 2xy + y²

Após desenvolver, voltamos para a expressão e substituímos:

(x - y)² - (x + y)² =  x² - 2xy + y² - (x² + 2xy + y²) = x² - 2xy + y² - x² - 2xy - y² = 

x² - x² - 2xy - 2xy + y² - y² = -2xy - 2xy = - 4xy

Logo, (x - y)² - (x + y)² = - 4xy

11) (TRT-2011) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu:

- O número de processos que arquivei é igual a  (12,25)^2-(10,25)^2

Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que:

a)38 < X < 42.                                                                                                                                     

b) X > 42.                                                                                                                                            

c) X < 20.                                                                                                                                       

d)20 < X < 30.                                                                                                                                

e)30 < X < 38

Solução:

Temos que o produto da soma pela diferença de dois termos pode ser vista como:

12) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = 
b) (y – 7 ) . (y + 7) =
c) (x + 3) . (x – 3) =
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = 
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) =
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) =
g) (3x + y ) (3x – y) =
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = 
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) =
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = 
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) =

13) Desenvolva:

a) ( x + y)³ = 
b) (x – y)³ = 
c) (m + 3)³ =
d) (a – 1 )³ = 
e) ( 5 – x)³ =

14) Calcule o valor numérico de 

110M, sabendo que M+2=a2b2+b2a2+2−−−−−−−−−−−√, a=0,998 e b=1.

a) 249.500
b) 24950
c) 2495
d) 249,5
e) 24,49

15) A expressão (a + b + c)² é igual a

a) a² + 2ab + b² + c²
b) a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
c) a² + b² + c² + 2abc
d) a² + b² + c² + 4abc
e) a² + 2ab + b² + 2bc + c²

16) (FEI 95)Simplificando a expressão, (imagem abaixo)  obtemos:

a) a + b
b) a² + b²
c) ab
d) a² + ab + b²
e) b - a

17) Seja N o resultado da operação 375²-374². A soma dos algarismos de N é:

a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22

18) Efetuando-se (579865)² - (579863)², obtém-se

a) 4
b) 2 319 456
c) 2 319 448
d) 2 086 246
e) 1 159 728

19) O produto (x + 1)(x² - x +1) é igual a:

a) x³-1
b) x³ + 3x² - 3x + 1
c) x³ + 1
d) x³ - 3x² + 3x - 1
e) x² + 2

Gabarito:

12) a) (R : x² - y²)  b) ( R : y² - 49)  c) ( R: x² - 9)  d) ( R: 4x² - 25)  e) ( R: 9x² - 4 )   

f) ( R: 25x² - 16) g)  (R: 9x² - y² )  h) ( R: 1 - 25x² )  i)  ( R: 4x² - 9y² )   j)  (R: 49 - 36x²)  l) (R: 1 - 49x⁴)

13) a) (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³)   b)  (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³)  c)  ( R: m³ + 9m² + 27m +27)

d) (R: a³ - 3a² + 3a -1)   e) (R: 125 - 75x + 15x² -x³)

14) B

15) B
16) D
17) C
18) B
19) C

Equações fracionárias: exercícios resolvidos e teoria

São relações de igualdade entre duas expressões algébricas (aquelas que contêm letras e números) que apresentam frações em algum dos seus membros, como em:

                                                

A incógnita (o valor a ser descoberto) pode aparecer tanto no numerador quanto no denominador. Para resolver essas operações, é essencial determinar as condições de existência, isto é, descobrir quais valores proibidos para x a fim de que ele não anule o denominador e gere uma divisão por zero (impossível de solucionar). Feito isso, define-se o mínimo múltiplo comum entre os denominadores para então concluir os cálculos.

Exemplo 1 comentado:

Exemplo 2

Exemplo 3

Sempre que resolver uma equação desse modelo, fique atento aos sinais existentes e ao jogo de sinal em algumas multiplicações. Ao trocar um elemento de membro, não se esqueça de inverter o sinal. Veja mais exemplos resolvidos detalhadamente:

Exemplo 4

Exemplo 5

EXERCÍCIOS

1- Resolva as equações fracionárias:

Resolução:

Mais exercícios: 1) Calcule x:

Exercícios de Razão e Proporção

RAZÕES

1) Qual é a razão:
a) de 18 para 6
b) de 3 para 9
c) de 2 para 1
2) Calcule a razão do 1º número para o segundo número, em cada item:
a) 1,25 e 0,25
b) 4 e 2,5
c) 0,333 e 3
d) 1,4 e -2,1

3) Qual é a razão entre a altura de Beatriz (altura: 150 cm) e a altura de Clóvis (altura: 120 cm)?
4) Certo refrigerante é vendido por R$0,90 em latas de 350 ml, e por R$1,90 em garrafas de 2l. Qual das duas embalagens é mais econômica para o consumidor?
5) Qual é a razão entre as áreas de um quadrado A com 4 cm de lado e de um quadrado B com 8mm de lado?
6)O gráfico abaixo informa a quantidade de calorias gastas por uma pessoa, no período de 1 hora, quando faz determinadas atividades:
Analisando os dados apresentados no gráfico, pergunta-se:
a) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao jogar basquetebol?

b) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao cavalgar e ao correr?

c) As razões obtidas nos itens a) e b) formam uma proporção?

d) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao nadar?

e) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao nadar e ao correr?



f) As razões obtidas nos itens d) e e) formam uma proporção?

PROPORÇÕES

7) Dadas as sucessões 3, 7, 11 e 15, 35, 55, calcule as razões de cada termo da primeira para o termo respectivo da segunda sucessão. Os números da primeira sucessão são diretamente proporcionais aos da segunda?

8) Os números da sucessão 1, 4, 9, 32 e -1, -4, -9, -32 são diretamente proporcionais?

9) Quais das sucessões abaixo são formadas por números proporcionais aos da sucessão 3, 4, 5 ,6 ,7?

a) 6, 8, 10, 12, 14
b) 9, 12, 15, 18, 21
c) 7, 6, 5, 4, 3
d) 13, 14, 15, 16, 17

10)Resolva as seguintes proporções:

a)  

b) 

c) 

11) Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção .

12) Sabendo que a + b = 55, determine a e b na proporção .



13) As medidas do desenho foram ampliadas proporcionalmente. Quanto é a altura do barco maior?

• 
  

Fração geratriz dízima periódica: Exercícios com gabarito e teoria

A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica.

Aqui, vamos dar dicas de como achar as frações geratrizes de dízimas periódicas simples e compostas, de uma forma bem prática.

Dízimas periódicas simples

a) 0,2222...
Período: 2

Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.

a)

Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero.

Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:

Dízimas periódicas compostas

a) 0,27777...
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador. 

No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 
(parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo)

Assim:







b) 1,64444...








c) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)







d) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)








Por que dá certo?

Veja a explicação na forma como geralmente se aprende a achar a fração geratriz na escola:

Chama-se a fração geratriz de x:







Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte decimal







E subtraem-se as duas igualdades







Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração geratriz.

Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação: 164 - 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.

No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a mesma parte decimal nos dois números a serem subtraídos:

Exercício:

1)Calcule as geratrizes das dízimas periódicas :

17) 0,555...	18) 1,030303...
19) 2,(36)	20) 0,003003003...
21) 1,(09)	22) 2,027027027...
23) 5,018018018...	24) 0,0666...
25) 1,04727272...	26) 2,06818181...
27) 1,32(4)	28) 1,291666...
29) 1,05(3)	30) 3,61666

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