Exercícios mínimo múltiplo comum M.M.C

     MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM


O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números chama-se mínimo múltiplo comum (m. m. c.)

exemplo:

consideramos os conjuntos dos múltiplos de 2 e 3

M2 = { 0,2,4,6,8,10,12..........}

M3 = { 0,3,6,9,15..........}

obtemos o múltilplo comum fazendo a intersecção dos conjuntos

M2 e M3 = { 0, 6 , 12 ...}

excluindo o zero, o menor múltiplo comum é 6. e indicamos o mínimo múltiplo comum de 2 e 3 assim: m.m.c.(2,3) = 6

PROCESSO PRÁTICO PARA DETERMINAR O m.m.c.

Por decomposição em fatores primos (fatoração completa)

1) determinar o m.m.c. de 120 e 80

120,80 I 2
060,40 I 2
030,20 I 2 
015,10 I 2
015,05 I 3
005,05 I 5
001,01

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240

logo m.m.c. (120,80) = 240

2) Determinar o m.m.c. de 14, 45 e 6

14, 45, 06 I 2
07, 45, 03 I 3 
07, 15, 01 I 3
07, 05, 01 I 5
07, 01, 01 I 7 
01, 01, 01 I

2 x 3 x 3 x5 x7 = 630

logo m.m.c ( 14, 45, 06) = 630


EXERCÍCIOS

1) Determine o m.m.c. pelo processo da decomposição

a) m.m.c.(15,18) ( R: 90)
b) m.m.c.(10,12) (R: 60)
c) m.m.c.(10,6,15) (R: 30)
d) m.m.c( 12,20,3) (R: 60)
e) m.m.c(15,3) (R:15)
f) m.m.c.( 10,15) (R: 30)
g) m. m. c. ( 18, 30) (R: 90)
h) m.m.c. ( 21, 12 ) (R: 84)
i) m.m.c. ( 35,10) (R: 70)
j) m.m.c. ( 25, 80) (R: 400)
l) m.m.c.( 140,10) (R: 140)
m) m.m.c ( 8,10,25) (R: 200)
n) m.m.c.( 3,12,32) (R: 96)
o) m.m.c.(2,3,5,10) (R: 30)
p) m.m.c. ( 18, 24, 36) (R: 72)

2) Determine o m.m.c

a) m.m.c. ( 50,75) (R: 150)
b) m.m.c. ( 60,24) (R: 120)
c) m.m.c. ( 21,30) (R: 210)
d) m.m.c. ( 28,48) (R: 336)
e) m.m.c ( 2,4) (R: 4)
f) m.m.c. ( 7,5) (R: 35)
g) m.m.c. ( 9,1) (R: 9)
h) m.m.c.( 21,7) (R: 21)
i) m.m.c. ( 8,9) (R: 72)
j) m.m.c. ( 13,26) (R: 26)
l) m.m.c ( 2,4,6) (R: 12)
m) m.m.c. ( 3,6,9) (R: 18)
n) m.m.c. ( 10,12,45) (R: 180)
o) m.m.c ( 6,8,12,15) (R: 120)
p) m.m.c ( 12,18,36,40) (R: 360)




3) calcule o m.m.c.

a) m.m.c (4,6,9,15) = (R: 180)
b) m.m.c. ( 2,10,15,45) = (R: 90)
c) m.m.c.(8,36,28,72) = (R: 505)
d) m.m.c( 45,96,10,180) = (R: 1440)
e) m.m.c( 20,30,48,120) = (R: 240)
f) m.m.c( 7,2) = (R: 14)
g) m.m.c( 8,10) = (R: 40)
h) m.m.c ( 14,21) = ( R: 42)
i) m.m.c ( 50 ,25) = (R: 50)
j) m.m.c ( 40 , 60 ) = (R: 120)
l) m.m.c.( 80,56) = (R: 560)
m) m.m.c ( 2,3,4) = (R: 12)
n) m.m.c. ( 4,6,8) = (R: 24)
o) m.m.c. ( 6,8,12) = (R: 24)
p) m.m.c.(4,8,16) = (R: 16)
q) m.m.c ( 12, 18, 36) = (R: 36)
r) m. m.c ( 12, 10, 8) = (R: 120)
s) m.m.c ( 6,8,10,12) = (R: 180)

4) Usando a decomposição em fatores primos, determine:

a) m.m.c (10,12) (R:60)
b) m.m.c. ( 6,10,15) (R: 30)
c) m.m.c. ( 14,21,30) (R: 210)
d) m.m.c. ( 100, 150, 200) (R: 600)
e) m.m.c. (70,110) (R: 770)
f) m.m.c. (30, 75) (R:150)
g) m.m.c. (18,60) (R: 180)
h) m.m.c. (21, 35,84) (R: 420)
i) m.m.c. ( 66, 102) (R: 1122) 
j) m.m.c. ( (90, 36, 54) (R: 540)
l) m.m.c. ( 48, 20, 40, 36) (R: 720)
m) m.m.c (12,36) (R:36)
n) m.m.c. ( 20,28) (R: 140)
o) m.m.c. ( 9,10) (R: 90)
p) m.m.c. ( 63,105) (R: 315)
q) m.m.c. (32,48,108) (R: 864)
r) m.m.c. (36,12,18) (R:36)

  5)    O planeta Júpiter completa uma volta em torno do Sol em aproximadamente 12 anos, e o planeta Saturno em aproximadamente 30 anos. Supondo que os dois planetas comecem seu percurso agora, partindo de um mesmo ponto, calcule o m.m.c. desse fenômeno e descubra daqui a quantos anos esses planetas voltarão a ficar nesta mesma posição?  
(R: daqui a 60 anos)                   

                                         

6) (FAAP-SP) Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B. O planeta gira em torno do sol e os satélites em torno do planeta de forma que o alinhamento sol-planeta -lua A ocorre a cada 18 anos, e o alinhamento sol-planeta-lua B ocorre a cada 48 anos. Se no ano em que estamos ocorrer o alinhamento sol-planeta lua A - lua B. Calcule o m.m.c. desse fenômeno e descubra daqui a quantos anos isso se repetirá?                                                    

(R: Daqui a 144 anos)

   

           

          7) (UNESP) Uma certa propaganda passa no canal A a cada 22 minutos, no canal B a cada 30 minutos e no canal C a cada 45 minutos. A propaganda passou simultaneamente nos três canais às 06h15 min. O horário em que passará novamente nos três canais, ao mesmo tempo, é?

(R Às 22:45hs)

      

     8 )  Um pai e um filho são pescadores. Cada um tem um barco e ambos vão para o mar no dia 12 de janeiro. O pai volta para casa a cada 20 dias e o filho a cada 15 dias. Resolva cada item a seguir.

a) Calcule de quantos em quantos dias o pai se encontrará com seu filho em casa.

(R: a cada 60 dias)

b) Calcule o próximo dia e mês que os dois se encontrarão em casa.

(R:12 de março)

9) De um aeroporto, partem todos os dias, 3 aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz a rota de ida e volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias. Se num certo dia os três aviões partem simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões partirão novamente no mesmo dia?

10) Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm período de translação em torno do Sol de aproximadamente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois de uma observação, para que eles voltem a ocupar simultaneamente as mesmas posições em que se encontram no momento de observação?


11) Duas pessoas fazendo seus exercícios diários partem de um mesmo ponto e contornam, andando, uma pista oval que circula um jardim. Uma dessas pessoas andando de forma mais acelerada, dá uma volta completa na pista em 12 min , enquanto a outra, andando mais devagar, leva 20 min para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida?

12) A editora do livro “Matemática” recebeu pedidos de três livrarias sendo que um pedido de 1300 livros, o segundo pedido de 1950 livros e o terceiro pedido de 3900 livros. A editora deseja remeter em n pacotes iguais de tal forma que n seja o menor possível. Calcule o valor de n.

13) Três peças de tecido medem respectivamente, 180m, 252m e 324m. Pretende-se dividir em retalhos de igual comprimento. Qual deverá ser esse comprimento de modo que o número de retalhos seja o menor possível? Em quantos pedaços as peças serão dividas?

      

Estudo dos sinais da função de 1° grau: exercícios e teoria

Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
    Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:

  1º) a > 0 (a função é crescente)

         y > 0       ax + b > 0         x > 

         y < 0      ax + b < 0         x < 

    Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente)

          y > 0   ax + b > 0            x < 

         y < 0   ax + b < 0        x > 

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.

Exercícios:

1)      Construa os gráficos das seguintes funções e coloque o sinal de + na parte positiva da função e o sinal de – na parte negativa da função:

a)      f (x) = 3x + 2

b)      f (x) = x – 10

c)      f (x) = -2x – 3

d)     f (x) = 3 – x

2)      Faça o estudo do sinal das funções do exercício 1.

3)      Estude o sinal pelo método prático das seguintes funções do 1° grau:

a)      f (x) = 2x + 3

b)      f (x) = - 3x + 2

c)      f (x) = - 5x

d)        f (x) = -3x + 15

e)       f (x) = 2x + 8

f)      8x – 3y + 16 = 0

g)      x + 4y = - 3

h)        2x – 3y = - 2

i)        15y = 12x

(Material de referência www.somatematica.com.br)

Função de 1º grau: coeficiente linear, gráfico e raiz em exercícios resolvidos, exemplos com teoria

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc.A função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). 

Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1
x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

1.Coeficiente Linear de uma Função do 1º Grau

As funções do tipo f(x) = y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0, são consideradas do 1º grau. Ao serem representadas no plano cartesiano, constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a função é chamada de constante.

Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de seu gráfico, e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado na função pela letra b, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y).

Nas funções a seguir, observe o valor numérico do coeficiente linear e o gráfico representativo da função:

y = x + 1
b = 1

y = –x – 1
b = –1

 y = 2x + 4
b = 4

 

y = 2x – 4
b = – 4

2. Gráfico de Função do 1º grau

Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau é formada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.

Quando a > 0

Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a função: f(x) = 2x – 1 ou
y = 2x - 1, onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

  x           y
- 2        - 5 
- 1        - 3
0          - 1 
1 / 2       0
 1           1 

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y também aumenta, então dizemos que quando a > 0 a função é crescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas, que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.



 

Quando a < 0 

Isso indica que a será negativo. Por exemplo, dada a função f(x) = - x + 1 ou
y = - x + 1, onde a = -1 e b = 1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

  x         y
-2        3
-1        2
0         1
1         0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui, então dizemos que quando a < 0 a função é decrescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.

Características de um gráfico de uma função do 1º grau.

• Com a > 0 o gráfico será crescente.

• Com a < 0 o gráfico será decrescente.

• O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo (menor que 90°) quando a > 0.

• O ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior que 90º) quando a < 0.

• Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas dois valores pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos.

• Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função.

• Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor de b.

3. Raiz de uma Função do 1º Grau

As funções do tipo y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b assumem valores reais e a ≠ 0 são consideradas funções do 1º grau. Esse modelo de função possui como representação geométrica a figura de uma reta, sendo a posição dessa reta dependente do valor do coeficiente a. Observe:

Função crescente: a > 0.

Função decrescente: a < 0.

Raiz da função

Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:

Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja:

y = ax + b
y = 0
ax + b = 0
ax = –b
x = –b/a
Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 1º grau, basta utilizar a expressão x = x = –b/a.

Exemplo 1

Calcule a raiz da função y = 2x – 9, esse é o momento em que a reta da função intersecta o eixo x.

Resolução:
x = –b/a
x = –(–9)/2
x = 9/2
x = 4,5

Exemplo 2

Dada a função f(x) = –6x + 12, determine a raiz dessa função.

Resolução
x = –b/a
x = –12 / –6
x = 2

Exercícios:

1) Determine os zeros das funções a seguir:

a) y = 5x + 2

b) y = – 2x

c) f(x) =  x + 4
               2

2)Classifique cada uma das funções seguintes em crescente ou decrescente:

a) y = 4x + 6

b) f(x) = – x + 10

c) y = (x + 2)² – (x – 1)²

3((UFPI) A função real de variável real, definida por f (x) = (3 – 2a).x + 2, é crescente quando:

a) a > 0

b) a < 3/2

c) a = 3/2

d) a > 3/2

e) a < 3

4)(FGV) O gráfico da função f (x) = mx + n passa pelos pontos (– 1, 3) e (2, 7). O valor de m é:

a) 5/3

b) 4/3

c) 1

d) 3/4

e) 3/5

Resolução:

Resposta Questão 1

a) y = 5x + 2

Primeiramente, façamos y = 0, então:

5x + 2 = 0, o número 2 mudará de lado e o sinal também será mudado.
5x = – 2, o número 5 mudará de lado e realizará uma divisão.
x = – 2
        5

O zero da função y = 5x + 2 é o valor: x = – 2
                                                           5

b) y = – 2x

Façamos y = 0, então:

– 2x = 0, o número – 2 mudará de lado e realizará uma divisão. Mas como o número zero dividido por qualquer número resulta em zero, x = 0.

O zero da função y = – 2x é x = 0.

c) f(x) =  x + 4
              2

Façamos f(x) = 0, então:

x + 4 = 0, o número 4 mudará de lado e o sinal também será mudado.
2

x = - 4, o número 2 mudará de lado e realizará uma multiplicação.
2

x = (– 4) . 2
x = – 8

Portanto, o zero da função f(x) = x + 4 é dado por x = – 8.
                                            2

Resposta Questão 2

• Em uma função do tipo y = ax + b, o coeficiente a de x indica se a função é crescente ou decrescente.

  a) y = 4x + 6

  Nessa função, a = 4 > 0, portanto, y é uma função crescente.

  b) f(x) = – x + 10

  Como a = – 1 < 0, f(x) é uma função decrescente.

  c) y = (x + 2)² – (x – 1)²

  Nesse caso precisamos desenvolver os parênteses através dos produtos notáveis.

  x² + 4x + 4 – (x – 1)²
  x² + 4x + 4 – (x² – 2x + 1)
  x² + 4x + 4 – x² + 2x – 1
  6x + 3
  y = 6x + 3. Como a = 6 > 0, y é uma função crescente.

  Resposta Questão 3

  • Para que a função seja crescente, é necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo:

    3 – 2a > 0
    – 2a > 0 – 3
    (– 1). (– 2a) > (– 3). (– 1)
    2a < 3
    a < 3
          2

    Portanto, a alternativa correta é a letra b.

    Resposta Questão 4

    O primeiro ponto que é dado é o (– 1, 3), em que o valor de x é – 1 e o valor de f(x) é 3. Substituindo esses valores na função, temos:

    f (x) = mx + n
    3 = m.(– 1) + n
    n = 3 + m

    Vamos também substituir o segundo ponto (2, 7) na função, sendo que x vale 2 e f(x) vale 7:

    f (x) = mx + n
    7 = m.2 + n
    n = 7 – 2m

    Nas duas substituições feitas, encontramos dois valores para n. Se igualarmos essas duas equações, teremos:

    3 + m = 7 – 2m
    m + 2m = 7 – 3
    3m = 4
    m = 4
           3

    A alternativa correta é a letra b.