Propriedades dos radicais: exercícios resolvidos, teoria com exemplos

Para os radicais de radicandos positivos valem as seguintes propriedades:

1º Propriedade:

1) √49 = √7² = 7
2) ³√125 = ³√5³ = 5

Exemplos
a) √3² =3
b) ³√5³ = 5
c) ⁴√10⁴ = 10

2º Propriedade:

1) √4.25 = √100 = 10
2) √4 . √25 = 2 . 5 = 10

Comparando 1 e 2, temos √4.25 = √4 . √25

Exemplos

a) √2.7 = √2 . √7
b) √8.x = √8 . √x
c) ³√5.a = ³√5 . ³√a
d) ⁴√5.7.9 = ⁴√5 . ⁴√7 . ⁴√9

EXERCÍCIOS

7) Aplique a 1º propriedade:

a) √8² = 
b) ³√7³ = 
c) ⁵√x⁵ = 
d) √(7a)² = 
e) ³√(5x)³ = 
f) ⁴√(7x)⁴ = 
g) √(a²m)² = 
h) √(a + 3)² = 

8) Aplique a 2º propriedade:

a) √5 .7 = 
b) ³√2.8 = 
c) ³√5X = 
d) √10xy = 
e) √5x²m = 

3º) Propriedade

Exemplos

1) √4/25 = 2/5
2) √4/√25 = 2/5

Exercícios resolvidos

01. (UFCE) Simplificar a expressão:

Solução:

Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de cada radicando e da utilização da propriedade P1, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por exemplo.

02. Calcular o quociente:

Solução:

Outro exercício de solução simples onde demonstro o uso das propriedades P1 e P3, e novamente, faço uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:

03. Escrever em ordem de grandeza crescente os radicais:

Solução:

Para fazer a comparação entre os radicais devemos, inicialmente, reduzí-los ao mesmo índice. Isto é feito calculando o mínimo múltiplo comum (mmc) dos índices e, após, aplicando a propriedade P6. O mmc(2, 4, 3, 6) = 12 e reescrevendo os radicais (P6) vem:

Agora, basta considerar a ordem dos radicandos para estabelecer a ordem crescente dos radicais:

04. Efetuar

Solução:

Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo (produto notável – PN) e as propriedades da Radiciação indicadas:

05. Simplifique a expressão:

 

a) -0,1

b) -1,7

c) -17

d) 0,1

e) 1,7

a) 0,4

b) 2,5

c) a

d) 1,5

e) 1

09. Escreva simplificadamente:

a) 

b) 

c) 

10) Calcule .

11)  Calcule .

12) Simplifique o radical 

13) (F. C. Chagas-SP) O número  √2352 corresponde a:

a) 4  √7 .
b) 4  √21 .
c) 28  √3 .
d) 28  √21 .
e) 56  √3 .

14) (UFSC) O valor de  x, que satisfaz a equação  22x + 1 – 3 . 2x + 2 = 32, é:

15) (Fuvest)    é igual a:

16) (UFSC)  Dê o somatório da(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

Gabarito:

06) A  07) B  08) B  09)  a) 

b)           c)    

10) 25     11) 49    12)    14) x = 3   15) E
16) 2 + 8 + 16 + 64 = 90

Radicais como potências de expoente fraccionário: exercícios, teoria e exemplos

       

             

Com a>0, n ∈ ℕ e m/n ∈ℚ  

                

Exemplos:

                        ⁵√2^-3 = 2^-3/5

                        3⁵ =3 ^15/3 = ³ √(3 ¹⁵)       

                       2 ^–1/4 = (1/2)^1/4 = ⁴√(1/2) ou 2^-1/4 =⁴√2^-1

Se 3 é um número real positivo e 2/4 é um número racional, com 2 e 4 inteiros definimos:

Exemplos

a) (2²⁾⁴ = ⁴√2²
b) (5³⁾⁴ = ⁴√5³
c) (7¹⁾² = √7

EXERCÍCIOS

1) Escreva em forma de potência com expoente fracionário:

a) ³√7² = 
b) ⁵√a³ = 
c) √10 = 
d) ⁴√a³ = 
e) √x⁵ = 
f) ³√m = 

2) Escreva em forma de radical:

a) 5³⁾⁴ = 
b) 5¹⁾² = 
c) a²⁾⁵ = 
d) a¹⁾³ = 
e) 2⁶⁾⁷ = 
f) 6¹⁾² = 


3) Resolva como os exemplos:

Exercícios sobre ângulos: correspondentes, colaterais internos e externos, alternos internos e externos.

Duas retas r e s, interceptadas  pela transversalo t, formam oito ângulos.

Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são assim determinados:

= Correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7

= Colaterais Internos: 4 e 5, 3 e 6

= Colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7

= Alternos internos: 4 e 6, 3 e 5

= Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8

ILUSTRANDO:

= ALTERNOS (um de cada "lado" da transversal).

= COLATERAIS (ambos do mesmo "lado" da transvwesal)

EXERCÍCIOS

1) Dê o nome dos pares de ângulod de acordo com a figura:

a) a e g

b) a e e

c) d e h

d) c e g

e) c e e

f) a e f

g) b e h

h) b e f

i) d e f

j) c e e

l) c e h

m) b e e

PROPRIEDADES

Considere duas retas paralelas e uma transversal.

 

Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que são validas as seguintes propriedades:

= Os ângulos correspondentes são congruentes
= Os ângulos alternos externos são congruentes
= Os ângulos alternos internos são congruentes.
= Os ângulos colaterais externos são suplememntares.
= Os ângulos colaterais internos são suplementares

EXERCÍCIOS

1)  Sabendo que r//s, determine a medida dos ângulos indicados:

a)

b)

c)

d)

2) Sabendo que r // a , calcule x:

a)

b)

c)