Exercícios sobre Progressão aritmética P.A.

Progressão aritmética - resumo (com questões resolvidas)

Artigo sobre progressão aritmética: termo geral, soma dos termos  e exercícios resolvidos sobre progressão aritmética.

Progressão aritmética (P.A)

Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada
termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante
r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão
aritmética. A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética 
finita de razão 5 pois:

a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo
com o valor da razão r.

Se r > 0, então a PA é crescente.  
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente

Termo Geral de uma progressão aritmética P.A: fórmula e exemplos

A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA 
(a1, a2, a3, …, an ) da seguinte forma:

a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r

O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:

an = a1 + (n – 1) . r

Exemplo 1

Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão
equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.

a18 = 2 + (18 – 1) * 5
a18 = 2 + 17 * 5
a18 = 2 + 85
a18 = 87

O 18º termo da PA em questão é igual a 87.

Exemplo 2:

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?

Temos a₁ = 100, r = 98 -100 = - 2 e a_n = 22 e desejamos 
calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 
22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n 
de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.Portanto, a PA possui 40 termos.

Soma dos termos de uma progressão aritmética: fórmula e exemplos

Em algumas situações ocorre a necessidade de determinar 
o somatório dos termos de uma progressão aritmética. Nesses 
casos a expressão matemática  determina a 
soma dos termos de uma PA.

Exemplo 1

Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine 
a soma dos 20 primeiros termos.

Cálculo da razão da PA

3 – (–1) = 3 + 1 = 4
7 – 3 = 4
11 – 7 = 4
15 – 11 = 4

Determinando o 20º termo da PA

a20 = –1 + (20 – 1) * 4
a20 = – 1 + 19 * 4
a20 = – 1 + 76
a20 = 75

Soma dos termos

A soma dos 20 primeiros termos da PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...) 
equivale a 740.

Exemplo 2: 

Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros
termos é 324 e que a ₈ = 79. 

Retirando os dados: 
n = 8 
Sn = 324 
a ₈ = 79 

Sn = (a1 + an) . n                 

324 = (a1 + 79) . 8 
                     2 

324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8 
648 = 8 a1 + 632 
16 = 8 a1 
a1 = 2 

Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar 
o valor dos outros elementos. 

a n = a₁ + (n – 1) . r 
79 = 2 + (8 – 1) . r 
79 = 2 + 7 . r 
79 – 2 = 7r 
77 = r
 7
r = 11

Propriedades das Progressões Aritméticas (P.A) 

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média 
aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo: 

PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de 
resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos
é constante.

Exemplo:

PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

(2, 6, 10, 14, 18); portanto, 2 + 18 = 6 + 14 = 10 + 10 = 20

Questões resolvidas sobre progressão aritmética (P.A)

1) A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:

a) 64376
b) 12846 
c) 21286 
d) 112 
e) 61376

A alternativa correta é portanto, a letra E.

2) Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na 
qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a 
soma do quarto termo com o nono é igual a 60.

Resolução: a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965

3)  (UFBA) Um relógio que bate de hora em hora o número
de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às
12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.

Resolução: 60

4) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para 
termos uma PA de razão 23?

A) 3                   B) 4                C) 5                 D) 6                E) 7


Resposta certa: Letra "C".

5)  A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:

    (A) 195
    (B) 190
    (C) 27
    (D) 26
    (E) 25

 
  Resposta certa: Letra "C"

6) Se somarmos do quinto ao décimo-nono termo de uma P.A., quanto dará esta soma sabendo-se que o quinto termo é igual a 32 e o décimo-nono é igual a 81?

Resposta: A soma do quinto ao décimo-nono termo desta P.A. é igual a 847,5.

7) Uma sucessão de números igualmente distantes um após o outro, tem como décimo e vigésimo termos, respectivamente os números 43 e 83. Qual é o trigésimo termo desta sucessão?

Resposta: O trigésimo termo desta sucessão é igual a 123.

8) A soma dos termos da P.A.(5+x, 10+x, 15+x, ..., 100+x) é igual a 1110. Qual é valor de x?

Resposta: O valor de x é 3.

9) (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]

Resposta correta é a b).

10) (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se a_n, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a₃₀ + a₅₅ é igual a:

a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62

Resposta; a₃₀ + a₅₅ = 22 + 37 = 59

11) (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0

Resposta: a₆ + a₁₅ = -15/10 = -1,5

12) Sendo S_n a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a₁ = 6, determine n tal que S_n é igual a 1456.

Resposta: n > 0, a resposta é 26.

13) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por Sn = 3n2 + 5n. A razão dessa progressão aritmética é:

Resposta: Logo, a P. A. será ( 8, 14, 20, 26 , .........)

A razão será igual a 6.

14) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:

(A) 8a

(B) 7a

(C) 6a

(D) 5a

(E) 4a

Resposta: n = 7 Resposta certa letra "B.

14)  (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:

(A) 1/2

(B) 2/3

(C) 3

(D) 1/2

(E) 2

Resposta: x = 2/3 Resposta certa letra "B"

16) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem 
interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é 

(A) 3a-2

(B) 3a-1

(C) 3a

(D) 3a+1

(E) 3a+2

 Resposta certa letra "B".

Fontes: http://www.infoescola.com
              http://www.matematicadidatica.com.br

             http://www.algosobre.com.br
             http://www.blogviche.com.br

Aula criativa de matemática sobre o filme Duelo de Titãs

 Filme: ”Duelo de Titãs”

Objetivos:

-Mostrar através do filme a matemática presente no futebol americano;

-Usando o diferente sistema de medidas (pés e jardas) aproveitando para exemplificar as conversões;

-Montar estratégias de jogo com o intuito de exercitar o raciocínio lógico dos alunos;

-Entender o esquema tático de cada jogada;

-Fazer uma analogia do campo de jogo com a reta numérica;

-Somatizar os pontos e meios para consegui-lo.

Projeto de matemática aplicada a vida

       PROJETO  DE  MATEMÁTICA APLICADA  Á VIDA

             

  

“Quanto melhor for a qualidade da educação, menos importante será o papel da psiquiatria no terceiro milênio”.

                                           Augusto Cury

              

 

Objetivos:

- O Projeto visa desenvolver no aluno o amor pela matemática, partindo do princípio de vivência e empirismo que envolve o conteúdo abordado em cada série.

- Transformar a informação em conhecimento e o conhecimento em experiência, que é registrada de maneira privilegiada em nossa memória.

-Estimular a concentração do aluno mudando a tonalidade de voz falando com os olhos, mostrando sensibilidade para alcançar o coração de cada aluno.

-Ensinar os alunos a serem pensadores e não repetidores de informação.

-Promover a criatividade e analogia da matemática com o dia-a dia.

-Cultivar o raciocínio esquemático, com começo, meio e fim.

-Trabalhar a liderança de si mesmo, explorar o desconhecido e não terem medo de falhar.

Metodologias utilizadas para todas as séries

1 )Música Ambiente na aula.

Usando a música ambiente na sala de aula, de preferência música suave, o conhecimento seco e lógico transmitido ganha dimensão emocional.

Os efeitos são espetaculares.Relaxam os mestres e animam os alunos.Os jovens amam música agitada porque seu pensamento é acelerado.Mas depois de ouvir, músicas tranqüilas, a emoção deles é treinada e estabilizada.

Objetivos:

-Desacelerar o pensamento;

-Aliviar a ansiedade;

-Melhorar a concentração;

-desenvolver o prazer de aprender;

-Educar a emoção.

2 ) Sentar em U.

Mudar em algumas aulas a disposição das carteiras, fazendo com que os alunos se sentem em meia lua, em U ou em círculo.

Objetivos:

-Desenvolver a segurança;

-Promover a educação participativa;

-Melhorar a concentração;

-Diminuir conflitos em sala de aula;

-Diminuir conversas paralelas;

-Aquietar o pensamento;

-Melhorar o clima da classe com interação.

  

3 )Provocar a inteligência dos alunos com interrogações.

A exposição interrogada transforma a informação em conhecimento, e o conhecimento, em experiência.As palavras “por que”, “como”, “onde”, “qual” fazendo parte da rotina da aula.

Objetivos:

-Aliviar a ansiedade;

-Motivação;

-Desenvolver o questionamento;

-Abrir as janelas da inteligência;

-Superar a timidez;

-Debater idéias;

-Perder o medo de se expressar;

-Aprender a viajar para dentro de si mesmo;

-Aprender perguntar para si mesmo por que estão angustiados, ansiosos, irritados...

  

Metodologias para as séries específicas

1 )Sistema de numeração romana

Indicação: 6ºAno

Material Utilizado: 12 fósforos.

Objetivos:

-Exercitar as conversões de números romanos da maneira convencional;

-Aplicar atividades em forma de igualdade utilizando fósforos no formato de números romanos.

Procedimentos:

Os alunos devem mudar a posição de um  único palito de fósforo em cada igualdade de modo a torná-la verdadeira.

Exemplo:

a ) V + I = V  é falso

     V – I = I V é verdadeiro

2 )Operações com números inteiros

Indicação 7ºAno

Material utilizado:Notas de brinquedo, balas e doces.

Objetivos:

-Realizar operações com números inteiros; aluno aprenderá como somar dois números negativos, brincando de fazer compras na sala de aula.

Procedimentos:

Cada aluno recebe uma certa quantia de dinheiro, sendo que uns recebem mais e outros menos.Um a um eles seguem até a mesa da professora para realizar suas compras.

À medida que eles retornam a segunda vez, o dinheiro já não é suficiente e suas compras são anotadas em forma de “fiado” Aprendem de modo lúdico como somar números negativos.

3 )Subconjuntos especiais de Z

 Indicação 7ºAno

 Material utilizado:

-Folhas coloridas de sulfite ou canson

-cola

-tesoura

-régua

Objetivos:

-Registrar de maneira lúdica a diferença dos subconjuntos de Z (dos números inteiros)

Procedimentos:

Distribuir aos alunos folhas contendo as seguintes indicações:

 Z Z    Z   Z    Z   0   1   2   3   -1    -2   -3

4 ) Frações e papel dobrado

Indicação 6 º e 7ºAno

Material utilizado:

-Tiras de cartolina e canetinhas

Objetivo:

-Esclarecer a existência dos números fracionários e sua representação.

Procedimentos:

-Corte 4 tiras retangulares de papel com o mesmo tamanho.

-Dobre uma das tiras ao meio e marque ½ em cada parte.

        

         ½     ½

-Dobre outra tira para que fique divida em 4 partes iguais e marque ¼ em cada parte.

       ¼    ¼    ¼    ¼

-Faça o mesmo com a terceira fita de modo que cada parte seja  1/8 da tira

  1/8     1/8    1/8  1/8  1/8  1/8  1/8  1/8  1/8

-Finalmente, a tira que não foi dobrada será a unidade.Marque 1 nela .

                           1

Utilizando as tiras acima faça as operações abaixo:

a)Se eu tirar 1/8 de ½ quanto restará?

b )Se tirar ½ - 3/8 .

c ) Se tirar ½ + 1/8 .

d ) Se tirar 1 – ¼ .

e )Se for ½ + ¼

5 ) Potenciação

Indicação 8º Ano

Material utilizado:

-3 moedas

Objetivo:

-Mostrar uma das várias aplicações de potenciação.

Procedimentos:

-Analisar e anotar em grupo, as possibilidades de lançamento em 1 só moeda, em 2 moedas, em 3 moedas e assim por diante.Mostrando que estão dispostos em uma potência de base 2 elevados ao expoente que é o número de moedas.

Aula criativa de matemática sobre o filme Iron Man

1) Faça um resumo da história do filme em seqüência.

2)Cite os aspectos matemáticos observados no filme.

3) Qual a relação entre a profissão do personagem principal e a matemática?

4) Quais as contribuições da engenharia para a humanidade?

5) Se você fosse um engenheiro com todos os recursos do filme, o que criaria para você?E para a humanidade?Demonstre com ilustrações seus projetos com detalhes.