Estudo dos limites

"Calcular o limite é se aproximar o máximo possível de um ponto e, mesmo assim, nunca alcançá-lo. "

Aplicações reais: Estudamos limite quando estabelecemos a relação entre tempo e espaço durante o percurso de um carro ou o que acontece com a vazão da água de um tanque ao longo do tempo (observa-se que a vazão da água diminui, isto porque a vazão depende diretamente da pressão exercida pela altura da coluna de água do tanque e com o escoamento da água, esta coluna diminui sua altura).O limite também está presente em situações relacionadas a eletro magnetismo (transmissões de rádio,determinar o limite da temperatura de um forno de microondas,celulares,...)

O limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos x e y. Utilizando a função y = x + 1, vamos determinar os valores de y à medida que x assume alguns valores. Veja:

 

Note que à medida que x se aproxima de –2, o valor de y se aproxima de –1, isto é, quando x tende a –2 (x → –2), y tende a –1 (y → –1). Portanto:

x → –1, y → 0
x → 1, y → 2
x → 2, y → 3

A utilização de limites ajuda na compreensão de diversas situações envolvendo funções, através de pontos notáveis como mínimo e máximo ou até mesmo os pontos de intersecção entre funções, a continuidade de funções também utiliza as noções de limites, bem como os problemas envolvendo séries numéricas convergentes ou divergentes.

Vamos trabalhar a função f(x) = x², mostrando que à medida que os valores de x aproximam de 3, pela esquerda ou pela direita, a função se aproxima do valor 9.

Pela direita 

f(3,1) = (3,1)² = 9,61
f(3,01) = (3,01)² = 9,06
f(3,001) = (3,001)² = 9,006001
f(3,0001) = (3,0001)² = 9,00060001

Pela esquerda

f(2,9) = (2,9)² = 8,41
f(2,99) = (2,99)² = 8,9401
f(2,999) = (2,999)² = 8,994001
f(2,9999) = (2,9999)² = 8,99940001 



Observe que à medida que os valores se aproximam de 3, tanto pela direita quanto pela esquerda, a imagem da função f(x) = x², fica mais próxima do valor 8.



Exemplo 1

Dada a função f(x) = 4x + 1, determine a sua imagem à medida que o valor de x tende a 2.

f(x) = 4x + 1 f(2) = 4 * 2 + 1 f(2) = 9


Exemplo 2

Vamos determinar o limite da função f(x) = x² – 5x + 3, quando x tende a 4.

Nesse caso devemos aplicar a seguinte regra: o limite das somas é a soma dos limites. Portanto, devemos determinar o limite de cada monômio e depois realizar a soma entre eles.

Exemplo 3 
Calcular o limite da função , quando x tende a –2.

Exemplo 4 

Determine o limite da função , à medida que x se aproxima de 1.

Teoremas

1 – O limite da soma de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à soma dos seus limites.

2 – O limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual a multiplicação de seus limites.

3 – O limite do quociente de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à divisão de seus limites, ressaltando que o limite do divisor seja diferente de zero.

4 – O limite da raiz positiva de uma função é igual à mesma raiz do limite da função, lembrando que esta raiz precisa ser real.

Devemos ter atenção em não supor que  , pois  depende do comportamento de f(x) para os valores de x próximos, mas diferentes de a, enquanto f(a) é o valor da função em x = a.


Determinando o limite de uma função

Propriedades dos Limites:

1ª)    

   O limite da soma é a soma dos limites.
   O limite da diferença é a diferença dos limites.

   Exemplo:

   

---

2ª)    

   O limite do produto é o produto dos limites.

   Exemplo:

   

---

3ª)    

   O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

   Exemplo:

   

---

4ª)    

   Exemplo:

   

---

5ª)    

   Exemplo:

   

---

6ª)    

    Exemplo:

   

---

7ª)    

   Exemplo:

   

---

8ª)    

   Exemplo:

   

Estudo das derivadas

 As derivadas podem ser usadas para representar  tudo, desde a variação de taxas de juros até taxas em que peixes morrem e moléculas de gás se movimentam, elas têm implicações em todas as ciências.Outro exemplo é no caso de encher um recipiente com água. Sabendo a função que descreve o formato do recipiente e a quantidade de água que entra em determinado tempo, descobrimos a velocidade que a água cairá.

Encontramos derivadas também no comportamento da função de ondas estacionárias presentes nos sons de instrumentos musicais e de todos os tipos de sons.

Movimento das moléculas de gás

A derivada pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma curva e, fisicamente, como uma taxa de variação.

A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, supomos que  e  são funções deriváveis em  e  é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar.

Precisamos estar cientes de que a Derivada é uma propriedade local da função, isto é, para um determinado valor de x. Por isso não podemos envolver toda a função. Observe o gráfico a seguir, ele demonstra a intersecção entre uma reta e uma parábola, função do 1º grau e função do 2º grau respectivamente:

A reta consiste na derivação da função da parábola.

Vamos determinar as variações de x quando aumenta ou diminui seus valores. Considerando que e x varia de x = 3 para x = 2, achar ∆x e ∆y.

∆x = 2 – 3 = –1

Agora vamos determinar a derivada da função y = x² + 4x + 4.

y + ∆y = (x + ∆x)² + 4(x + ∆x) + 4 – (x² + 4x + 4)

= x² + 2x∆x + ∆x² + 4x + 4∆x + 4 – x² – 4x – 4

= 2x∆x + ∆x² + 4∆x

 A derivada da função y = x² + 4x + 8 é a função y’ = 2x + 4. Observe o gráfico:

A  derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

    A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
    y' , dy/dx  ou f ' (x).

    A derivada de uma função f(x) no ponto x₀ é dada por:

    

Regras de derivação:

Derivadas essenciais:

Regra nº 1: (k' = 0) - Derivada de uma constante:

Segundo a regra assume-se k como sendo uma constante, simplificando; uma constante é um número qualquer (pertencente a qualquer dos conjuntos de números).

Exemplo:  

A derivada de uma constante (k) é sempre igual a 0.

Regra nº 2: (x' = 1) - Derivada de x: 

Assume-se x como a variável de uma função; em uma função a variável poderá ser definida por outra letra qualquer normalmente é usada a letrax.
Exemplo:                  

A derivada da variável (usualmente X) é sempre igual a 1.

Regra nº 3: (k . x' = k) - Derivada de uma constante multiplicada por x:
A derivada da multiplicação entre uma constante e a váriavel x é igual a própria constante como se pode verificar no exemplo abaixo onde é utilizada a regra nº 7 (derivada da multiplicação). 

Exemplo:

A derivada de uma Constante vezes X é sempre igual a Constante.

Nota:  Atenção aos casos em que x apresenta um grau maior que 1 quando assim for a regra a utilizar será a regra nº4.

Regra nº 9: (k' = 0) - Derivada da potência de base x: 

Alpha é igual ao grau da função derivada, repare que o grau da potência decrescence sempre em -1 relativamente a potência inicial.

Exemplo: 

A derivada da potencia de base X é sempre igual ao grau da potência inicial, multiplicado pela base cujo grau decresce em  -1 unidade. 

Exercícios:

 1. Calcule a derivada da função exponencial:     

Desta forma, iremos mostrar ou explicar como resolver as derivadas indo diretamente a fórmula ou regras necessárias.

Comecemos com a resolução detalhada do exercício 1.; que é uma função exponencial. 

2. Calcule a derivada da função potência de base constante igual a 5:

 

3. Calcule a derivada da função raíz de indice 3: 

4. Derivada do Logaritmo    

4.1.

Relembrando  algumas regras gerais de derivação:

Regra da soma

Regra da subtração

Regra da multiplicação por um escalar

Regra do produto

Regra do quociente

 sendo esta válida para todo  no domínio das funções com .

Regra da Cadeia

onde  é a composição de  com . Sendo esta válida para  no domínio da função  e tal que  esteja no domínio da função .

(fonte: brasilescola entre outros)