Estudo das derivadas

 As derivadas podem ser usadas para representar  tudo, desde a variação de taxas de juros até taxas em que peixes morrem e moléculas de gás se movimentam, elas têm implicações em todas as ciências.Outro exemplo é no caso de encher um recipiente com água. Sabendo a função que descreve o formato do recipiente e a quantidade de água que entra em determinado tempo, descobrimos a velocidade que a água cairá.

Encontramos derivadas também no comportamento da função de ondas estacionárias presentes nos sons de instrumentos musicais e de todos os tipos de sons.

Movimento das moléculas de gás

A derivada pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma curva e, fisicamente, como uma taxa de variação.

A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, supomos que  e  são funções deriváveis em  e  é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar.

Precisamos estar cientes de que a Derivada é uma propriedade local da função, isto é, para um determinado valor de x. Por isso não podemos envolver toda a função. Observe o gráfico a seguir, ele demonstra a intersecção entre uma reta e uma parábola, função do 1º grau e função do 2º grau respectivamente:

A reta consiste na derivação da função da parábola.

Vamos determinar as variações de x quando aumenta ou diminui seus valores. Considerando que e x varia de x = 3 para x = 2, achar ∆x e ∆y.

∆x = 2 – 3 = –1

Agora vamos determinar a derivada da função y = x² + 4x + 4.

y + ∆y = (x + ∆x)² + 4(x + ∆x) + 4 – (x² + 4x + 4)

= x² + 2x∆x + ∆x² + 4x + 4∆x + 4 – x² – 4x – 4

= 2x∆x + ∆x² + 4∆x

 A derivada da função y = x² + 4x + 8 é a função y’ = 2x + 4. Observe o gráfico:

A  derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

    A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
    y' , dy/dx  ou f ' (x).

    A derivada de uma função f(x) no ponto x₀ é dada por:

    

Regras de derivação:

Derivadas essenciais:

Regra nº 1: (k' = 0) - Derivada de uma constante:

Segundo a regra assume-se k como sendo uma constante, simplificando; uma constante é um número qualquer (pertencente a qualquer dos conjuntos de números).

Exemplo:  

A derivada de uma constante (k) é sempre igual a 0.

Regra nº 2: (x' = 1) - Derivada de x: 

Assume-se x como a variável de uma função; em uma função a variável poderá ser definida por outra letra qualquer normalmente é usada a letrax.
Exemplo:                  

A derivada da variável (usualmente X) é sempre igual a 1.

Regra nº 3: (k . x' = k) - Derivada de uma constante multiplicada por x:
A derivada da multiplicação entre uma constante e a váriavel x é igual a própria constante como se pode verificar no exemplo abaixo onde é utilizada a regra nº 7 (derivada da multiplicação). 

Exemplo:

A derivada de uma Constante vezes X é sempre igual a Constante.

Nota:  Atenção aos casos em que x apresenta um grau maior que 1 quando assim for a regra a utilizar será a regra nº4.

Regra nº 9: (k' = 0) - Derivada da potência de base x: 

Alpha é igual ao grau da função derivada, repare que o grau da potência decrescence sempre em -1 relativamente a potência inicial.

Exemplo: 

A derivada da potencia de base X é sempre igual ao grau da potência inicial, multiplicado pela base cujo grau decresce em  -1 unidade. 

Exercícios:

 1. Calcule a derivada da função exponencial:     

Desta forma, iremos mostrar ou explicar como resolver as derivadas indo diretamente a fórmula ou regras necessárias.

Comecemos com a resolução detalhada do exercício 1.; que é uma função exponencial. 

2. Calcule a derivada da função potência de base constante igual a 5:

 

3. Calcule a derivada da função raíz de indice 3: 

4. Derivada do Logaritmo    

4.1.

Relembrando  algumas regras gerais de derivação:

Regra da soma

Regra da subtração

Regra da multiplicação por um escalar

Regra do produto

Regra do quociente

 sendo esta válida para todo  no domínio das funções com .

Regra da Cadeia

onde  é a composição de  com . Sendo esta válida para  no domínio da função  e tal que  esteja no domínio da função .

(fonte: brasilescola entre outros)