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quinta-feira, 3 de dezembro de 2015

Estudo das derivadas

 As derivadas podem ser usadas para representar  tudo, desde a variação de taxas de juros até taxas em que peixes morrem e moléculas de gás se movimentam, elas têm implicações em todas as ciências.Outro exemplo é no caso de encher um recipiente com água. Sabendo a função que descreve o formato do recipiente e a quantidade de água que entra em determinado tempo, descobrimos a velocidade que a água cairá.
Encontramos derivadas também no comportamento da função de ondas estacionárias presentes nos sons de instrumentos musicais e de todos os tipos de sons.

Movimento das moléculas de gás

A derivada pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma curva e, fisicamente, como uma taxa de variação.
A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, supomos que f e g são funções deriváveis em \mathbb{R} e c é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar.

Precisamos estar cientes de que a Derivada é uma propriedade local da função, isto é, para um determinado valor de x. Por isso não podemos envolver toda a função. Observe o gráfico a seguir, ele demonstra a intersecção entre uma reta e uma parábola, função do 1º grau e função do 2º grau respectivamente:

A reta consiste na derivação da função da parábola.

Vamos determinar as variações de x quando aumenta ou diminui seus valores. Considerando que e x varia de x = 3 para x = 2, achar ∆x e ∆y.
∆x = 2 – 3 = –1

Agora vamos determinar a derivada da função y = x² + 4x + 4.
y + ∆y = (x + ∆x)² + 4(x + ∆x) + 4 – (x² + 4x + 4)
= x² + 2x∆x + ∆x² + 4x + 4∆x + 4 – x² – 4x – 4
= 2x∆x + ∆x² + 4∆x
 A derivada da função y = x² + 4x + 8 é a função y’ = 2x + 4. Observe o gráfico:
A  derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.
    A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
    y' , dy/dx  ou f ' (x).

    A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:
    

Regras de derivação:



Derivadas essenciais:
Regra nº 1: (k' = 0) - Derivada de uma constante:
Segundo a regra assume-se k como sendo uma constante, simplificando; uma constante é um número qualquer (pertencente a qualquer dos conjuntos de números).
Exemplo:  
A derivada de uma constante (k) é sempre igual a 0.


Regra nº 2: (x' = 1) - Derivada de x: 
Assume-se x como a variável de uma função; em uma função a variável poderá ser definida por outra letra qualquer normalmente é usada a letrax.
Exemplo:                  
A derivada da variável (usualmente X) é sempre igual a 1.

Regra nº 3: (k . x' = k) - Derivada de uma constante multiplicada por x:
A derivada da multiplicação entre uma constante e a váriavel x é igual a própria constante como se pode verificar no exemplo abaixo onde é utilizada a regra nº 7 (derivada da multiplicação). 
Exemplo:
A derivada de uma Constante vezes X é sempre igual a Constante.
Nota:  Atenção aos casos em que x apresenta um grau maior que 1 quando assim for a regra a utilizar será a regra nº4.


Regra nº 9: (k' = 0) - Derivada da potência de base x: 
Alpha é igual ao grau da função derivada, repare que o grau da potência decrescence sempre em -1 relativamente a potência inicial.
Exemplo: 
A derivada da potencia de base X é sempre igual ao grau da potência inicial, multiplicado pela base cujo grau decresce em  -1 unidade. 


Exercícios:
 1. Calcule a derivada da função exponencial:     


Desta forma, iremos mostrar ou explicar como resolver as derivadas indo diretamente a fórmula ou regras necessárias.
Comecemos com a resolução detalhada do exercício 1.; que é uma função exponencial. 

2. Calcule a derivada da função potência de base constante igual a 5:
 

3. Calcule a derivada da função raíz de indice 3: 

4. Derivada do Logaritmo    
4.1.




Relembrando  algumas regras gerais de derivação:

Regra da soma
\left({f + g}\right)' = f' + g'
Regra da subtração
(f-g)' = f' - g'
Regra da multiplicação por um escalar
(cf)' = cf'
\left({fg}\right)' = f'g + fg'
 \left(\frac{f}{g}\right)'= \frac{f'g-fg'}{g^2} sendo esta válida para todo x no domínio das funções com g(x)\neq 0.
(f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)
onde (f\circ g)(x) := f(g(x)) é a composição de f com g. Sendo esta válida para x no domínio da função g e tal que g(x) esteja no domínio da função f.


(fonte: brasilescola entre outros)

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