"Calcular o limite é se aproximar o máximo possível de um ponto e,
mesmo assim, nunca alcançá-lo. "
Aplicações reais: Estudamos limite quando estabelecemos a relação entre tempo e espaço durante o percurso de um carro ou o que acontece com a vazão da água de um tanque ao longo do tempo (observa-se que a vazão da água diminui, isto porque a
vazão depende diretamente da pressão exercida pela altura da coluna de água do tanque e
com o escoamento da água, esta coluna diminui sua altura).O limite também está presente em situações relacionadas a eletro magnetismo (transmissões de rádio,determinar o limite da temperatura de um forno de microondas,celulares,...)
O limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos x e y. Utilizando a função y = x + 1, vamos determinar os valores de y à medida que x assume alguns valores. Veja:
Note que à medida que x se aproxima de –2, o valor de y se aproxima de –1, isto é, quando x tende a –2 (x → –2), y tende a –1 (y → –1). Portanto:
x → –1, y → 0
x → 1, y → 2
x → 2, y → 3
A utilização de limites ajuda na compreensão de diversas situações envolvendo funções, através de pontos notáveis como mínimo e máximo ou até mesmo os pontos de intersecção entre funções, a continuidade de funções também utiliza as noções de limites, bem como os problemas envolvendo séries numéricas convergentes ou divergentes.
Vamos trabalhar a função f(x) = x², mostrando que à medida que os valores de x aproximam de 3, pela esquerda ou pela direita, a função se aproxima do valor 9.
Pela direita
f(3,1) = (3,1)² = 9,61
f(3,01) = (3,01)² = 9,06
f(3,001) = (3,001)² = 9,006001
f(3,0001) = (3,0001)² = 9,00060001
Pela esquerda
f(2,9) = (2,9)² = 8,41
f(2,99) = (2,99)² = 8,9401
f(2,999) = (2,999)² = 8,994001
f(2,9999) = (2,9999)² = 8,99940001
Observe que à medida que os valores se aproximam de 3, tanto pela direita quanto pela esquerda, a imagem da função f(x) = x², fica mais próxima do valor 8.
Exemplo 1
Dada a função f(x) = 4x + 1, determine a sua imagem à medida que o valor de x tende a 2.
f(x) = 4x + 1 f(2) = 4 * 2 + 1 f(2) = 9
Exemplo 2
Vamos determinar o limite da função f(x) = x² – 5x + 3, quando x tende a 4.
Nesse caso devemos aplicar a seguinte regra: o limite das somas é a soma dos limites. Portanto, devemos determinar o limite de cada monômio e depois realizar a soma entre eles.
Exemplo 3
Calcular o limite da função
, quando x tende a –2.
Exemplo 4
Determine o limite da função
, à medida que x se aproxima de 1.
Teoremas
1 – O limite da soma de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à soma dos seus limites.
2 – O limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual a multiplicação de seus limites.
3 – O limite do quociente de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à divisão de seus limites, ressaltando que o limite do divisor seja diferente de zero.
4 – O limite da raiz positiva de uma função é igual à mesma raiz do limite da função, lembrando que esta raiz precisa ser real.
Devemos ter atenção em não supor que
, pois 
depende do comportamento de f(x) para os valores de x próximos, mas diferentes de a, enquanto f(a) é o valor da função em x = a.Determinando o limite de uma função
Propriedades dos Limites:
1ª) 
O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
Exemplo:
2ª) 
O limite do produto é o produto dos limites.
Exemplo:
3ª) 
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
Exemplo:
4ª) 
Exemplo:
5ª) 
Exemplo:
6ª) 
Exemplo:
7ª) 
Exemplo:
8ª) 
Exemplo:
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