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quinta-feira, 3 de dezembro de 2015

Estudo dos limites

"Calcular o limite é se aproximar o máximo possível de um ponto e, mesmo assim, nunca alcançá-lo. "
Aplicações reais: Estudamos limite quando estabelecemos a relação entre tempo e espaço durante o percurso de um carro ou o que acontece com a vazão da água de um tanque ao longo do tempo (observa-se que a vazão da água diminui, isto porque a vazão depende diretamente da pressão exercida pela altura da coluna de água do tanque e com o escoamento da água, esta coluna diminui sua altura).O limite também está presente em situações relacionadas a eletro magnetismo (transmissões de rádio,determinar o limite da temperatura de um forno de microondas,celulares,...)

O limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos x e y. Utilizando a função y = x + 1, vamos determinar os valores de y à medida que x assume alguns valores. Veja:
 

Note que à medida que x se aproxima de –2, o valor de y se aproxima de –1, isto é, quando x tende a –2 (x → –2), y tende a –1 (y → –1). Portanto:

x → –1, y → 0
x → 1, y → 2
x → 2, y → 3

A utilização de limites ajuda na compreensão de diversas situações envolvendo funções, através de pontos notáveis como mínimo e máximo ou até mesmo os pontos de intersecção entre funções, a continuidade de funções também utiliza as noções de limites, bem como os problemas envolvendo séries numéricas convergentes ou divergentes.

Vamos trabalhar a função f(x) = x², mostrando que à medida que os valores de x aproximam de 3, pela esquerda ou pela direita, a função se aproxima do valor 9.

Pela direita 

f(3,1) = (3,1)² = 9,61
f(3,01) = (3,01)² = 9,06
f(3,001) = (3,001)² = 9,006001
f(3,0001) = (3,0001)² = 9,00060001


Pela esquerda

f(2,9) = (2,9)² = 8,41
f(2,99) = (2,99)² = 8,9401
f(2,999) = (2,999)² = 8,994001
f(2,9999) = (2,9999)² = 8,99940001 




Observe que à medida que os valores se aproximam de 3, tanto pela direita quanto pela esquerda, a imagem da função f(x) = x², fica mais próxima do valor 8.



Exemplo 1

Dada a função f(x) = 4x + 1, determine a sua imagem à medida que o valor de x tende a 2.


f(x) = 4x + 1 f(2) = 4 * 2 + 1 f(2) = 9


Exemplo 2

Vamos determinar o limite da função f(x) = x² – 5x + 3, quando x tende a 4.

Nesse caso devemos aplicar a seguinte regra: o limite das somas é a soma dos limites. Portanto, devemos determinar o limite de cada monômio e depois realizar a soma entre eles.



Exemplo 3 
Calcular o limite da função , quando x tende a –2.

Exemplo 4 

Determine o limite da função , à medida que x se aproxima de 1.

Teoremas

1 – O limite da soma de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à soma dos seus limites.

2 – O limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual a multiplicação de seus limites.

3 – O limite do quociente de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à divisão de seus limites, ressaltando que o limite do divisor seja diferente de zero.

4 – O limite da raiz positiva de uma função é igual à mesma raiz do limite da função, lembrando que esta raiz precisa ser real.


Devemos ter atenção em não supor que  , pois  depende do comportamento de f(x) para os valores de x próximos, mas diferentes de a, enquanto f(a) é o valor da função em x = a.


Determinando o limite de uma função

Propriedades dos Limites:

1ª)    
   O limite da soma é a soma dos limites.
   O limite da diferença é a diferença dos limites.
   Exemplo:
   

2ª)    
   O limite do produto é o produto dos limites.
   Exemplo:
   

3ª)    
   O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
   Exemplo:
   

4ª)    
   Exemplo:
   

5ª)    
   Exemplo:
   

6ª)    
    Exemplo:
   

7ª)    
   Exemplo:
   

8ª)    
   Exemplo:
   


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