Como construir a bissetriz de um ângulo?

 Se construirmos um ângulo qualquer e depois traçarmos uma semi-reta de mesma origem e interior a esse ângulo, veremos que o tal ângulo ficará dividido em duas partes.

As medidas dos dois ângulos, formados pela semi-reta que construímos no interior do ângulo original com cada lado dele, vão depender da posição em que colocamos a dita semi-reta.

Haverá uma única posição em que as medidas dos dois ângulos serão iguais. É à semi-reta nessa posição que chamamos bissetriz de um ângulo.

DEFINIÇÃO DE BISSETRIZ

Podemos então definir bissetriz como:

Bissetriz é a semi-reta de mesma origem e interior a um determinado ângulo que o divide em dois ângulos congruentes, ou seja, em dois ângulos de medidas iguais.

CONSTRUÇÃO DE UMA BISSETRIZ

Vamos agora, ver como é que se traça uma bissetriz. Necessitaremos de papel, régua, lápis e compasso.

1) Primeiramente, com a régua e o lápis, construímos, no papel, um ângulo qualquer. Partindo de um ponto O, que será o nosso vértice, traçamos uma semi-reta OA e depois uma semi-reta OB formando uma abertura.

2) Pegamos, agora, o compasso. Com a ponta seca no ponto O, e com uma abertura qualquer, traçamos um arco de circunferência que intersecte os dois lados do ângulo, definindo os pontos C e D.

3) Ainda com o compasso, e com uma abertura um pouco maior do que o arco CD, colocamos a ponta seca no ponto C e traçamos um arco no interior do ângulo. Com a mesma abertura, colocamos a ponta seca no ponto D e traçamos outro arco de modo que os dois arcos traçados se intersectem. Definimos, assim, o ponto E.

4) Pegamos, então, o lápis e a régua e traçamos uma semi-reta com início em O e que passe pelo ponto E.

5) A esta semi-reta OE, que divide o ângulo AÔB em duas partes iguais, ou seja, em dois ângulos congruentes (mesma medida), chamamos bissetriz.

6) Essa construção é válida tanto para ângulos agudos como para ângulos obtusos. 





(Material de referência http://www.sofazquemsabe.com)

Construindo ângulos com transferidor

1.     Para desenhar um ângulo de 75^o , primeiro desenhe um segmento de reta que é um lado do ângulo. Marque um ponto nesta linha para representar o vértice.

Coloque a marca do centro do transferidor no ponto que você quer o vértice. Faça uma pequena marca de lápis no caderno ao lado do ponto do transferidor que identifique o ângulo de 75^o .

Coloque o transferidor ao lado e ponha uma borda alinhada com o vértice e com a marca de lápis. Trace um segmento de reta tão longa quanto você precisar. Os dois segmentos de reta que desenhamos formam os lados de um ângulo de 75^o . Ver passos na figura seguinte.

2.     Agora desenhe ângulos com as seguinte medidas:

30^o , 45^o , 90^o, e 135^o .

Definindo e construindo uma circunferência

Observe a figura abaixo e perceba que todos os segmentos de reta têm a mesma medida, 3 cm.

Portanto, os pontos A, B, C, D, E e F distam 3 cm do ponto O.

Se considerarmos todos os pontos, mas todos mesmo, que distam 3cm de O, teremos uma CIRCUNFERÊNCIA.

O ponto O é o CENTRO da circunferência. A distância de 3 cm, do ponto O até o ponto genérico P, é chamada de RAIO da circunferência.

Indicamos essa circunferência assim: C(O, 3 cm). Leia-se: circunferência de centro O eraio 3 cm.

É simples traçar essa circunferência com um compasso. Observe:

Construção da circunferência de raio 3cm.

Basta tomar o compasso com uma abertura constante de 3 cm e fincando a ponta seca no ponto fixo O, girar o compasso e traçar no papel a circunferência de centro O e raio 3 cm.

Dessa maneira, podemos generalizar a definição de circunferência:

Circunferência é um conjunto de pontos de um plano que estão a uma dada distância constante de um determinado ponto fixo do plano.

O ponto fixo é o centro. A distância constante é o raio.

(Material de referência www.sofazquemsabe.com)

A circunferência: Raio, Diâmetro, corda e arco

A circunferência: Raio, Diâmetro, corda e arco

A circunferência é uma figura formada pela união de infinitos pontos que estão localizados à mesma distância de seu centro. Observe:

Na circunferência, temos o raio e o diâmetro. O raio é a medida do centro até à circunferência, e o diâmetro é a distância entre um lado e o outro da circunferência, passando pelo ponto central.

Raio

Diâmetro

Em relação ao raio e ao diâmetro, temos que em qualquer circunferência o diâmetro possui o dobro do valor do raio. 

A medida do contorno da circunferência corresponde ao seu próprio comprimento (da circunferência). E quanto maior o raio, maior a medida do seu comprimento.

Descobrindo e calculando o valor de π (PI) 

Em uma circunferência, se dividirmos o seu comprimento pela medida do seu diâmetro, calculamos um número de valor aproximado: 3,14159265, conhecido como π (PI). Essa divisão é válida para todas as figuras de medidas circulares.

Comprimento

Diâmetro

(Material de referência http://www.escolakids.com)

A reta e suas partes

RETA

A linha reta é a mais simples de todas as linhas Um fio esticado representa bem a sua imagem. Ela pode ser traçada com o auxílio de uma régua.

Imagine agora uma linha reta infinita, sem começo, sem fim, sem espessura. É assim que se concebe uma reta em matemática.

A representação de uma linha reta em Desenho Geométrico é feita através de setas nas extremidades e nomeada por uma letra minúscula.

UM PONTO DEFINE UMA RETA ?

Por um ponto podem passar infinitas retas.

Mas para se obter uma linha reta são necessários dois pontos.

A reta é formada por infinitos pontos que estão alinhados. Ela é ilimitada nos dois sentidos. Quando construímos uma reta devemos utilizar letras minúsculas para representá-la. Observe:

Uma reta pode ser construída em três posições: horizontal, vertical ou inclinada.

Horizontal

Vertical 

Inclinada

Duas ou mais retas podem ter as seguintes posições:

Concorrentes 
Retas concorrentes possuem um ponto em comum, pois elas se cruzam. 

Paralelas 
As retas paralelas não possuem ponto em comum.

SEGMENTO DE RETA

Segmento quer dizer parte, pedaço. A palavra vem do latim "segmentum", que significa "corte". Segmento de reta é a parte da reta compreendida entre dois de seus pontos, que são chamados extremos. Na linguagem comum costuma-se dizer que segmento é uma parte da reta que tem começo e fim. No segmento AB representado abaixo, os pontos A e B são os extremos.

 

O segmento de reta é limitado por dois pontos da reta. Observe:

A parte entre os pontos A e B é chamado de segmento de reta. Veja mais segmentos de reta:

SEMI-RETA

Na figura abaixo a linha reta cheia que se prolonga infinitamente para a direita, é uma semi-reta de origem :

A linha tracejada é outra semi-reta de origem A. Portanto, um ponto de uma reta separada em duas partes, e cada uma dessas partes, mais o próprio ponto, é uma semi-reta. O ponto que divide a reta é a origem da semi-reta. Na linguagem comum, diz-se que a semi-reta é a parte da reta que tem início em um ponto mas não tem final. As semi-retas são usadas, por exemplo, na noção de ângulo. Em Desenho Geométrico, costuma-se representar uma semi-reta por uma reta que começa em um ponto e nomeá-la por uma letra minúscula.

A semirreta possui origem, mas é ilimitada no outro sentido, isso é, possui início, mas não tem fim.

Exercícios de Ângulos: agudo, obtuso, reto, raso ou 1 volta

O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).

Classificação de ângulos 

Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:

Agudo: ângulo com medida menor que 90º.
Reto: ângulo com medida igual a 90º.
Obtuso: ângulo com medida maior que 90º.
Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.

           agudo                       reto             obtuso                        raso

EXERCÍCIOS

1) Classifique os ângulos apresentados nas figuras em agudos, obtusos ou reto:

Resp: a) agudo         b) obtuso       c) reto

2) Identifique na figura:

Resp: a) BDE e DEC        b) ABD , ECA  e BAC     c) não tem nessa figura

3) Responda:

a) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 3 horas é um ângulo agudo, reto ou obtuso?                                                                                       Reto

b) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2 horas é um ângulo agudo,reto ou obtuso?                                                                            Agudo

c) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 5 horas é um  ângulo é um ângulo agudo, reto ou obtuso?                                                               Obtuso    

Resp: agudo, obtuso e reto

Resp: a) 90º, b) 110º c) 50º  d) 60º

4) O esquema a seguir representa um bairro de uma cidade. Observe-o e responda as questões: 

 

A) Escreva o nome de duas ruas paralelas à Rua México. ____________________________     ________________________________________

B) Escreva o nome de duas ruas perpendiculares à Rua França. ________________________

 ________________________________________

 C) O nome de uma rua concorrente à Rua Brasil._________________________________

5) Desenhe os ângulos pedidos em cada item. 

a)    Ângulo reto.                        b) Ângulo agudo.                           c) Ângulo obtuso.

                                   

6) Observe os relógios a seguir e responda às questões: 

 a) Em qual relógio os ponteiros formam um ângulo reto? ____________________________C e D

b) Em qual relógio os ponteiros formam um ângulo agudo? ___________________________A

c) Em qual relógio os ponteiros formam um ângulo obtuso?___________________________B

7)Usando o transferidor descubra os ângulos abaixo: 

8) Calcule o valor do ângulo X em cada imagem: 

Resp: a) nos dois casos                     

9) O gráfico de colunas representa o tempo do banho, em minutos, uma família com sete pessoas, sendo 3 meninas (A,B,C), 2 meninos (D,E), mãe (M) e pai (P).

Qual o tempo total de banho das mulheres da casa?  

a) 55 minutos.

b) 70 minutos.

c) 1 hora e 5 minutos.

d) 1 hora e 15 minutos.

Resp: c)

(Material  de referência http://www.brasilescola.com)

O ponto, a reta e o plano

→ Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,...
→ Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,...
→ Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex:

Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou axioma é aceito sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova.

1º Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.
2º Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta).

3º Pontos colineares pertencem à mesma reta.

4º Três pontos determinam um único plano.

5º Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste plano.

6º Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum.

(Ufpe 95) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso.

1. Analise as seguintes afirmações:

(     ) Existem dois planos distintos, passando ambos por um mesmo ponto e perpendiculares a uma reta.

(     ) Se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a um deles será paralelo ao outro.

(     ) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.

(     ) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta paralela a um deles será perpendicular ao outro.

(     ) Uma reta perpendicular a duas retas concorrentes de um plano é perpendicular a esse plano.

(Ufba 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos.

2. Sobre pontos, retas e planos, pode-se afirmar:

(01) Por três pontos, passa uma única reta.

(02) Por três pontos, passa um único plano.

(04) Por um ponto fora de um plano, passa uma única reta perpendicular a esse plano.

(08) Planos paralelos interceptam duas retas distintas quaisquer, determinando sobre elas segmentos proporcionais.

(16) O plano que contém uma perpendicular a outro plano é perpendicular a esse segundo plano.

(32) Toda reta paralela a um plano é paralela a qualquer reta desse plano.

Soma (          )



(Material de referência  http://www.infoescola.com)