Quadriláteros: exercícios e teoria

QUADRILÁTEROS


CONCEITO

QUADRILÁTERO é um poligono de quatro lados.

No quadrilátero ao abaixo destacamos:

- Vértices: A, B, C, D
- Lados : AB, BC, CD e DA
- Ângulos internos : A, B, C, e D
- Lados opostos : AB e CD, AD e BC
- Ângulos opostos : A e C, B e D

Lembre-se de que um quadrilatero é convexo quando qualquer sgmento com extremeidades no quadrilatero está contido nele.

Estudaremos apenas os quadriláteros convexos.

DIAGONAL

O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado diagonal.

Na figura, AC e BD são diagonais.


EXERCÍCIOS

1) Observe o quadrilátero e responda:

a) Quais são os lados ?
b) Quais são os vértices?
c) Quais são os ângulos internos?
d) Quais são as diagonais indicadas?

2) Considere o quadrilátero ABCD

a) Nomeie os dois pares de lados oposto.
b) Nomeie os dois pares de ângulos opostos.

3)  Perímetro de um quadrilátero mede 41 cm . Quanto mede cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2, 3x + 1  e  2x -4?


SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM QUADRILÁTERO

ABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide em dois triângulos

veja:

A soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos ângulos internos do quadrilátero, logo:

A soma dos ângulos internos de um quadrilatero é : 180° + 180° = 360°

EXERCICIOS

4) Calcule o valor de x nos quadrilateros;

5) Calcule o valor de x nos seguiontes quadrilateros:

6) Calcule o valor de x nos quadriláteros:

7) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras:

8) Calcule x na figura:

PARALELOGRAMOS

Paralelogramo é o quadrilatero que tem os lados opostos paralelos

tipos de paralelogramos

Retangulo - Possui quatro ângulos retos

Losango - Possui os quatro lados congruentes.

Quadrado - Possui os qutro lados congruentes e os quatro ângulos retos

note que:

- todo o quadrado é um losango

- todo quadro é um retângulo

TEOREMA

Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

Prova:

Exercicios Resolvidos

9) Determine as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:

Solução:

a) Pelo teorema anterior : x = 50°

b) y + 50° = 180°  ( os ângulos não opostos são suplementares)

----y = 180° - 50°

----y = 130°

c) Pelo teorema anterior: z = 130°

2) Calcule o valor de x no paralelogramo abaixo:

EXERCÍCIOS

10) Observe a figura e calcule as medidas de x,y,z e w

11) Baseado nos resultados do exercícios anteriores, responda:

Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes?

12) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes:

13) Calcule o valor de x nos paralelogramos abaixo:

14) Calcule o valor de x nos paralelogramos abaixo:

Problemas resolvidos sistemas de equações com 2 incógnitas

 1) Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km em duas etapas, de modo que na primeira etapa percorra 60 km a mais que na segunda. Quantos quilômetros ele deverá percorrer em cada etapa?

 2) A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3. Determinar esses números.

 3) Um número é o quádruplo de outro e a soma dos dois é 40. Quais são os números?

 4) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130, e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Qual é o números de automóveis e bicicletas que se encontram no pátio?

 5) No zoológico há cisnes e girafas. São 96 cabeças e 242 patas. Quantos são os cisnes? E as girafas?

 6) Um tomate e um pepino pesam juntos 140g. Para fazer o equilíbrio da balança é preciso colocar 5 tomates de um lado e 2 pepinos do outro.Quanto pesa um tomate? E um pepino?

 7) A soma de dois números é 2 e a diferença é 6. Quais são os números?

 8) Quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00. Cinco camisetas e sete calções custam R$ 138,00. Qual é o preço de cada peça?

 9) Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de 15, e as guardou numa caixa. Contou em seguida 108 patas. Quantas aranhas e joaninhas ele apanhou? (lembre se que a aranha tem 8 patas e a joaninha 6)

 10) A diferença entre dois números é 3. O maior é 3/2 do menor. Quais são os números?


Resolução:
1)
Y = X + 60 
X + Y = 780 
X + X + 60 = 780 
2X = 780 - 60 
2X = 720 
X = 720/2 
X = 360 
Y = X + 60 
Y = 360 + 60 = 420 
Logo : 1a. Etapa 420 km, e 2a. Etapa 360 Km 

2)

A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3. Determine esses números. 
X + Y = 15 
X - Y = 3 = X = 3 + Y 

3 + Y + Y = 15 
2Y = 15 - 3 
Y = 12/2 
Y = 6 

X = 3 + Y 
X = 3 +6 
X = 9 

Logo os números são 6 e 9 

3)

Um número ao quádruplo de outro e a soma de dois é 40. Quais são os números? 
Y = 4X 
Y + X = 40 
4X + X = 40 
5X = 40 
X = 40/5 
X = 8 

Y = 4X 
Y = 4.8 = 32 

Logo os números são 8 e 32 

4)

4x+2y=130--------2y=(130-4x), y=(130-4x)/2 
y=3x 
3x=(130-4x)/2 
6x+4x=130 
10x=130 
x=130/10 
x=13, são os carros 
y=3x 
y=3*13 
y=39, são as bicicletas 
total:39+13=52 veículos

5)

25 girafas e 71 cisnes

6) Pepino 100 gr e tomate 40 gr

7) x=4 e y= -2

8) 9 Calções  e 15 camisetas

9) 9 aranhas e 6 joaninhas

10) 9 e 6

Estruturas Triangulares

EDIFÍCIO TORTO - BUILDING TWISTED

A cidade de Abu Dhabi, nos Emirados Árabes está instalada a torre mais inclinada do mundo: Gate Capital, quatro vezes mais “torta” que a torre italiana.
Deixando Pisa no passado, Gate Capital é mais do que uma torre com design diferenciado, é um complexo hoteleiro e comercial. Com 160 metros de altura e 35 andares, a Gate Capital Tower oferece 20 mil metros quadrados de espaço para escritórios, além de um hotel cinco estrelas: o Hyatt Capital Gate.

Elaborada pelo escritório RMJM Arquitetos, de Nova York, a proposta de design da Gate Capital Tower é misturar a beleza das ondas com a energia da arquitetura moderna. A ideia de movimento fica evidente a partir da inclinação da torre, que se dá a 18 graus a oeste, na direção oposta à magra do edifício. A torção contínua em toda sua forma resulta em uma edificação sem simetria, em que o efeito é justamente surpreender, seja por dentro, seja por fora.
Os 35 andares da torre são distribuídos da seguinte forma: do segundo ao 16º são andares destinados a espaço para escritórios, do 18º em diante são os pisos reservados ao hotel Hyatt Capital Gate. O primeiro piso e o 17º são plant rooms, salas utilizadas para abrigar máquinas de grande porte, como equipamentos de ar condicionado.

A área total construída é 53.100 metros quadrados, desse total 20.900 metros quadrados são reservados à área de escritórios e 20.050 metros quadrados para o hotel. A construção começou em setembro de 2007, e a parte externa foi concluída em dezembro de 2009. A inauguração do prédio, porém, está prevista para o segundo semestre de 2010.A edificação é sustentada por um exoesqueleto de aço conhecido por diagrid. Utilizado na construção de grandes edifícios de aço, o diagrid cria estruturas triangulares com vigas diagonais de suporte. A vantagem dessa técnica é que ele requer menos aço estrutural do que uma edificação convencional, já que dispensa a necessidade de pilares e vigas internas.

Abaixo vídeo sobre a construção da Leaning Tower

O vidro também foi um elemento imensamente presente na obra: foram utilizados na fachada 21.000 metros quadrados do material. Foram mais de 12.500 placas de vidros moldadas manualmente, de forma que uma ficasse diferente da outra.

Ideais sustentáveis também estiveram presentes na construção da Gate Capital Tower. A fachada de vidro duplo foi projetada para atingir uma maior eficiência energética. Dessa forma, resíduos de ar são pré-resfriados entre a fachada interna e externa, reduzindo assim o consumo energético do edifício através da reciclagem do ar usado.

Além disso, o aço inoxidável "splash" aplicado funciona como um dispositivo de sombreamento que elimina mais de 30% do calor do sol antes que chegue à torre, dispensando assim a necessidade de refrigeração no interior do edifício.

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EDIFÍCIO RETORCIDO - BUILDING TWISTED

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Edifício montanha / Building mountain

PRÉDIO CARACOL - BUILDING SPIRAL

Triângulos: exercícios com gabarito e teoria

TRIÂNGULOS

Conceito: Triângulo é um polígono de três lados

Na figura acima:
= Os pontos A, B e C são vértices do triângulo.
= Os segmentos AB, BC e CA são os lados do triângulo.
= Os ângulos A, B e C são ângulos internos do triângulo

ÂNGULOS EXTERNO

Angulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno

PERÍMETRO

O perímetro de um  triângulo é igual à soma das medidas dos seus lados .

Perímetro ABC = AB + AC + BC



CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS 


Quanto aos lados os trângulos se classificam em:

= Equilátero quando tem os três lados congruentes.
= Isósceles quando tem dois lados congruentes
= Escaleno quando não temlados congruentes

Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em: 

= Acutângulo quando te três ângulos agudos 
= Retângulo quando tem um ângulo reto.
= Obtusângulo quando tem um angulo obtuso

Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa.

EXERCÍCIOS

1) Observe o triângulo retangulo e responda:

a) Quais são os vértices?
b) Quais são os lados?
c) Quais são os ângulos?

2) O perimetro de um triângulo é 25 cm. Dois lados medem respectivamente 7,8 cm e 8,2 cm.  Calcule a medida do terceiro lado?

3) Determine o comprimento do lado BC, sabendo que o perímewtro do triângulo ABC é 48 cm.

4) O perímetro do triângulo ´34 cm . Determine o comprimento do menor lado.

5) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos lados.

6) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos ângulos ;

7) Observe a figura e responda:

a) Que nome recebe o lado BC?

b) Que nome recebem os lados AB e AC?


ELEMENTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO

 Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um ponto chamado baricentro

Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.

Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um ponto interior chamado incentro.

Altura de um triângulo é o segmento de perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento

Todo o trângulo tem três alturas que se encontram em um ponto chamado ortocentro

SOMA DAS MEDIDAS DOS ANGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO

Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos

Vamos à demonstração desse teorema.

TEOREMA

Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180° 

Prova

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 Calcular x no triângulo abaixo:

Calcule x no triângulo abaixo:

 Calcule x no triângulo abaixo:

EXERCÍCIOS

8) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo?

9) Copie e complete o quandro, sendo A,B e C ângulos internos de um triângulo.

10) Determine x em cada um dos triângulos

11) Determine x em cada um dos triângulos:

12) Determine a medida dos ângulos x, y e z.

TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Prova:

consideremos um triângulo ABC. vamos provar que m(ê) = m(Â) + m (B) 

Exemplos

Calcule o valor de x no triângulo abaixo:

EXERCÍCIOS

13) Determine a medida do ângulo externo indicado em cada triângulo:

14) Calcule o valor de x nos triângulos dados:

15) Calcule o valor de x nos triângulos dados:

16) Calcule o valor de x nos triângulos dados:

17) Calcule o valor de x:

18) Calcule w e y :

CONCRÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Intuitivamente, dois triângulos ABC e RST são congruentes se for possivel transportar um deles sobre o outro, de modo que eles coincidam.

Definição

Dois triângulos são chamados congruentes quando os lados e os angulos correspondentes são congruentes.

logo:

CASOS DE  CONGRUÊNCIA

O estudo dos casos de congruência de dois triângulos tem por finalidade estabelecer o menor número de condições para que dois triângulos sejam congruêntes.

1º CAS0 : L. L. L. ( lado, lado, lado)

Dois triângulos que têm os três lados respectivamente congruentes são congruentes.

2º CASO L. A. L. (lado, ângulo,  lado)

Dois treângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formados respectivamente congruentes são con gruentes.

3º CASO A. L. A. ( ângulo, lado , ângulo)

Dois triângulos que tem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.

4º CASO : L. A. A° ( lado , ângulo, ângulo oposto)

Dois trângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.

EXERCÍCIOS

19) Cite, em cada item, o caso de congruência dos triângulos.