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quinta-feira, 3 de dezembro de 2015

Estudo das integrais


Você acreditaria se eu dissesse que se você andasse em linha reta na direção de uma parede você nunca chegaria a ela? O cálculo integral permite a você provar matematicamente essa ideia maluca. Quando você pensar em cálculo, pense pequeno, como em infinitesimal. Subdividindo o espaço entre você e a parede em divisões cada vez menores, você pode estabelecer matematicamente que existe um número infinito de divisões, e que você nunca poderá chegar realmente à parede. Não tentem isso em casa, crianças, não sem ajuda de integrais e derivadas, as ferramentas básicas do cálculo. O estudo do cálculo integral inclui: integrais e sua inversa, diferenciais, derivadas, antiderivadas e aproximação da área de regiões curvilíneas.

Aplicações práticas de integrais:  usadas em qualquer situação que vc tenha que dividir algo complicado em partes pequenas mais simples e depois somar. 


 Porque apenas uma variável não chega!





No mundo que nos rodeia quase tudo depende de várias variáveis: pressão atmosférica, temperatura, densidades de massa ou de carga eléctrica, grandezas econômicas, grandezas mecânicas como a posição, a velocidade ou a aceleração.  Não conhece-lás é deixar-nos incapazes de quantificar e analisar de forma científica quase tudo o que nos rodeia; como se fossemos analfabetos na biblioteca mais rica do mundo! 

Para estudar a cobertura do Pavilhão Atlântico



(Foto retirada da web page do Parque das Nações. )

Para construir uma estrutura como a cobertura do Pavilhão Atlântico na figura acima , temos de conseguir responder a várias questões que de imediato se põem, por exemplo: 

  • Quanto pesa a cobertura (qual é a sua massa) ?
  • Qual é a área que ocupa ?
  • Em que pontos devem ser colocados os apoios e que cargas devem poder suportar ?
  • Que ângulos com a vertical devem ou podem os apoios fazer ?
 Em tudo isto se utiliza as integrais (neste caso mais simplesmente superfícies e integrais de superfície). 

Para perceber o Electromagnetismo



O Electromagentismo é uma parte essencial da Física e uma ferramenta de importância fundamental em praticamente todas as Engenharias. O Electromagentismo é omnipresente na vida quotidiana: telemóveis, televisões, rádios, leitores de CD, computadores, trovoadas, reações químicas, a visão, o radar, a luz das estrelas são entre muitas outras coisas fenómenos influenciados pelo Electromagnetismo.

Para perceber a Mecânica


(Foto retirada da web page da NASA .)


Entre os conceitos fundamentais da Mecânica encontram-se os conceitos de posição, velocidade, aceleração e força. Todas estas grandezas são representadas matematicamente por campos vectoriais. O Cálculo Integral de Várias Variáveis é crucial para se estudar a Mecânica. O trabalho de uma força ao longo de uma trajetória é calculado através de um integral de linha. 


 Para perceber a Mecânica dos Fluidos


(Foto retirada da web page do Windsurf Magazin .)
Os resultados do Cálculo Integral de Várias Variáveis são importantes para se descreverem as leis de conservação (ou de continuidade) da Mecânica dos Fluidos. 
Um exemplo evidente é o da aerodinâmica de um avião, associada a uma boa performance e a um mais baixo consumo de combustível, que é intensivamente testada em todos os novos protótipos em túneis de vento. Um exemplo mais surpreendente é fornecido pelo estudo dos problemas do trânsito numa grande cidade que pode ser modelado por um problema de mecânica dos fluidos fazendo-se variar a velocidade, compressibilidade, viscosidade e outras propriedades do fluido consoante a situação concreta que se pretende estudar. 


 Para perceber a Mecânica Quântica



(Figura retirada da web page do European Laboratory For Particle Physics - CERN.)

 A estrutura periódica dos elementos, a estabilidade de compostos moleculares ou as reações químicas são  influenciados pelos sistemas atômicos ou moleculares reais dependentes de conceitos básicos de Cálculo Integral de Várias Variáveis, como por exemplo os integrais múltiplos. 

 Para um bom trabalho numérico



(Foto retirada da web page do Computational High Energy Physics Group do Departamento de Física da Brown University, Providence, EUA . A foto representa um supercomputador Cray onde são realizados cálculos numéricos muito exigentes relativos a problemas de Teoria Quântica do Campo - esta é a teoria em que melhor se descreve a Física das Partículas Elementares. )


Provavelmente a maioria os problemas práticos de Engenharia vão necessitar de ser analisados com a ajuda de métodos numéricos. Por muito sofisticado que seja o software a utilizar para se atacar numericamente um problema que envolva os tópicos descritos acima, uma utilização eficiente desse software e um trabalho numérico de boa qualidade só é possível quando se entende com solidez a teoria e os conceitos correspondentes. 


Na computação


A engenharia da computação utiliza integral para  analisar a tratabilidade dos dados de um problema/algoritmos. 



O limite da soma é a integral. Por exemplo, para saber a área de uma figura complicada, vc divide a curva em pequenos intervalos e aproxima a área pela de um retângulo. A soma da área de todos os retângulos será uma aproximação da área da figura.  Esse método é utilizado pra vários outros cálculos, por exemplo pro cálculo do momento de inércia de algumas figuras e outros mais. 

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração. Todas elas visando resolver alguns problemas conceituais relacionadas a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. No entanto todas estas definições dão a mesma resposta para o resultado final de uma integração.
A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é:
se e somente se
Índice
1 Definição conceitual 2 Teorema fundamental do Cálculo 3 Passo-a-Passo 4 Exemplos de integração 5 Definições de integral
Definição conceitual
Para descrevermos a integral de uma função f(x) de um intervalo x entre [a, b] utiliza-se a notação: A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque intuitivamente a
Integrando a área de uma função abaixo de uma curva integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
onde:
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), f(xi) é o valor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando N for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou seja que o limite
esteja definido. O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar em linguagem matemática precisa. Por isto existem várias formas de se definir a integração de maneira formal. O resultado entretando é coerente entre elas.
Teorema fundamental do Cálculo Se resolvermos a integral acima entre os limites a e b, o resultado final pode ser escrito como:
Onde a função F(x) é a função resultante da integração da função f(x). O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função F(x).
O resultado acima é extremamente importante pois ele nos oferece uma dica de como obter a integral. Para ver isto, supunha que o limite superior da integral, isto é, b é muito próximo de a, tal que possamos escrever:
b = a + ∆x Como os pontos limites da integral estão muito próximos podemos escrever:
E olhando na definição da integração como um limite, dada acima, podemos dizer que a integral, neste caso se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto podemos dizer, sem causar um erro muito grande, que:
Comparando com a definição da derivada de uma função:
vemos que a função que procuramos F(x) é uma função tal que, quando tomamos a sua derivada obtemos a função f(x). Em outras palavras, se sabemos como calcular a derivada de uma função podemos também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade nos mostra que a integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se derivarmos uma função e em seguida a integrarmos, obteremos a função original. Esta propriedade é chamada de Teorema fundamental do Cálculo.
Passo-a-Passo
Integral Definida - Uma integral definida consta basicamente em integrar uma função constante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a função integrada a cada membro.
Fórmula das Primitivas
Exemplo:
Tratamos cada membro da função como uma função em separado, para em seguida efetuar a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual substituiremos o valor de X pelos valores do intervalo, feito isso usamos o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.
No intervalo (0,3) f(x) = x2 + 2x + 4

Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral.

Geramos a outra função, que será usada para substituirmos os valores do intervalo.
Para x = 0 f(a) = 0
Para x = 3
f(b) = 30 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO.

Exemplos de integração Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns:
(Integral da função constante)
(Integral da função f(x) = x )
Por definição a barra é utilizada com o significado da diferença f(b) - f(a)

Definições de integral
Para definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo.
Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de Riemann-Stieltjes Integral de Gauge
Tábua de integrais
Integração é uma das duas operações básicas em cálculo. Como, ao contrário da diferenciação, é uma operação não-trivial, existem tabelas de integrais conhecidas que frequentemente se mostram úteis. Esta página relaciona algumas das antiderivadas mais comuns; uma lista mais completa pode ser encontrada em Lista de integrais.
Usa-se C como constante arbitrária de integração que só pode ser determinada se tivermos conhecimento do valor da integral em algum ponto específico. Cada função tem infinitas antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor específico de C.
O uso da plica ' denota a derivada da função em ordem a x. Estas fórmulas são apenas outra forma de apresentação das asserções da tabela de derivadas.
Regras de integração de funções em geral:

ou, de outra forma,


Integrais de Funções Simples Funções Racionais

Logaritmos

Caso particular: Funções Exponenciais

Caso particular: Funções Irracionais

Caso particular:

Caso particular: Funções Trigonométricas
Funções Hiperbólicas
Integrais Definidas
Existem funções cujas antiderivadas não podem ser expressas de forma fechada. No entanto, os valores das integrais definidas dessas funções em intervalos comuns podem ser calculados. Algumas integrais definidas de uso frequente estão relacionadas abaixo.


(Origem: Wikipédia e outros)


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